Baccalauréat 2022

1. Récurrence :
Initialisation : u₀ = 0 ∈ [0,2] ✓
Hérédité : Si 0 ≤ u_n ≤ 2, alors 2 ≤ u_n+2 ≤ 4, donc u_n+1 = √(u_n+2) ∈ [√2, 2] ⊂ [0,2] ✓

2. Monotonie :
u_n+1² − u_n² = (u_n+2) − u_n² = −(u_n²−u_n−2) = −(u_n−2)(u_n+1)
Puisque u_n ∈ [0,2] : (u_n−2) ≤ 0 et (u_n+1) > 0, donc u_n+1²−u_n² ≥ 0.
Or u_n ≥ 0 et u_n+1 ≥ 0, donc u_n+1 ≥ u_n : la suite est croissante.

3. La suite est croissante et majorée par 2, donc elle converge.
Limite ℓ : ℓ = √(ℓ+2) → ℓ² = ℓ+2 → ℓ²−ℓ−2 = 0 → (ℓ−2)(ℓ+1) = 0
ℓ = 2 ou ℓ = −1. Puisque u_n ≥ 0, on a ℓ = 2.

4. Si u_n = 2 pour un certain n, alors u_n+1 = √4 = 2, et par récurrence u_k = 2 pour tout k ≥ n. Mais u₀ = 0, u₁ = √2 < 2, u₂ = √(√2+2) < 2 (vérifiable). En fait u_n < 2 pour tout n (par l'inégalité stricte dans la récurrence pour u₀=0). La limite est quand même 2 par le théorème de la limite monotone.

1. lim_x→0⁺ ln(x)/x = −∞ (ln→−∞, x→0⁺)
lim_x→0⁺ f(x) = 0 − 2 + (−∞) = −∞

lim_x→+∞ [f(x)−x] = lim_x→+∞ [−2 + ln(x)/x] = −2 + 0 = −2

2. lim_x→+∞ [f(x)−(x−2)] = lim_x→+∞ ln(x)/x = 0
Donc la droite y = x−2 est asymptote oblique à (C_f) en +∞.

3. f'(x) = 1 + (1/x·x − ln(x)·1)/x² = 1 + (1−ln(x))/x²
= (x² + 1 − ln(x))/x²
Hmm, calculons plus soigneusement :
f(x) = x − 2 + (ln x)/x
f'(x) = 1 + (1/x·x − lnx·1)/x² = 1 + (1−lnx)/x² = (x²+1−lnx)/x²
Pour x>0 : x²>0, x²≥0 et 1−lnx peut être négatif pour grand x. Mais x²+1 > lnx pour tout x>0 (classique), donc f'(x) > 0 toujours.
⚠️ Si f(x) = x−2+lnx/x avec dérivée = 1+(1−lnx)/x², signe de 1+(1−lnx)/x² :
= 0 ⟺ x²+1−lnx = 0, ce qui n'a pas de solution réelle simple. f est croissante sur ]0,+∞[.

4. f strictement croissante sur ]0,+∞[, f(0⁺)=−∞, f(+∞)=+∞.
f(1) = 1−2+0 = −1 (point de passage).

1. ∫ln(x)dx : IPP, u=lnx, v'=1 → [xlnx−x]₁^e = (e−e)−(0−1) = 1
A_g = [x²/2−x]₁^e = (e²/2−e)−(1/2−1) = e²/2−e+1/2 = (e²−2e+1)/2 = (e−1)²/2

2. Soit h(x) = (x−1)−ln(x). h(1)=0, h'(x)=1−1/x=(x−1)/x ≥ 0 pour x≥1.
Donc h croissante → h(x) ≥ h(1) = 0, soit ln(x) ≤ x−1 ✓
Graphiquement : la courbe de ln(x) est en dessous de la droite y=x−1 pour x>1.

3. Puisque ln(x) ≤ x−1 sur [1,e] et les fonctions sont positives :
A_f = 1 ≤ A_g = (e−1)²/2 ≈ (1,718)²/2 ≈ 1,476 ✓

4. Aire entre courbes = A_g − A_f = (e−1)²/2 − 1
= (e²−2e+1)/2 − 1 = (e²−2e+1−2)/2 = (e²−2e−1)/2
≈ (7,389−5,436−1)/2 ≈ 0,476 unités d'aire.

1. P(i) = i³ − (3+i)i² + (2+3i)i − 2i
= −i − (3+i)(−1) + (2i+3i²) − 2i
= −i + 3+i + 2i−3 − 2i
= (3−3) + (−i+i+2i−2i) = 0 ✓

2. Division euclidienne :
P(z) = (z−i)(z²+az+b)
Développement : z³+az²+bz−iz²−iaz−ib = z³+(a−i)z²+(b−ia)z−ib
Identification :
• a−i = −(3+i) → a = −3
• −ib = −2i → b = 2
• Vérif : b−ia = 2−i(−3) = 2+3i ✓
P(z) = (z−i)(z²−3z+2)

3. z²−3z+2 = (z−1)(z−2) = 0 → z=1 ou z=2
Les trois racines de P sont : z₁ = i, z₂ = 1, z₃ = 2

4. Points : A(0,1), B(1,0), C(2,0) dans le plan complexe.
BC = |2−1| = 1 (base sur l'axe réel)
Hauteur depuis A(0,1) = ordonnée de A = 1
Aire = ½ × base × hauteur = ½ × 1 × 1 = ½ unité d'aire

1. AB⃗ = B−A = (1,1,−2)
AC⃗ = C−A = (−1,1,1)
AD⃗ = D−A = (2,2,−1)

2. Si A,B,C colinéaires : AC⃗ = λ·AB⃗
(−1,1,1) = λ(1,1,−2) → λ=−1 et λ=1 : contradiction.
Donc A, B, C ne sont pas colinéaires.

3. Vecteur normal : n⃗ = AB⃗ ∧ AC⃗
n⃗ = |i⃗ j⃗ k⃗ |
|1 1 −2|
|−1 1 1|
n_x = 1×1−(−2)×1 = 1+2 = 3
n_y = −(1×1−(−2)×(−1)) = −(1−2) = 1
n_z = 1×1−1×(−1) = 1+1 = 2
n⃗ = (3,1,2)

Équation : 3(x−1)+1(y−0)+2(z−1)=0 → 3x+y+2z−5=0

4. Distance : d(D, plan) = |3×3+1×2+2×0−5|/√(9+1+4)
= |9+2+0−5|/√14 = 6/√14 = 6√14/14 = 3√14/7