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Session Rattrapage

Baccalauréat 2023

2ème Bac Sciences Mathématiques — Maroc

Durée : 180 min
5 exercices
Total : 20 pts
Coefficient 7
⏱️

Mode examen : Lance le chronomètre, résous chaque exercice sans regarder les corrigés, puis consulte les solutions pour te corriger. Chaque exercice vaut 4 points — gère bien ton temps (≈ 36 min par exercice).

1

Dénombrement et Probabilités — Loi binomiale

4 points
Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On effectue 4 tirages avec remise. On dit qu'un tirage est un succès si la boule tirée porte un numéro pair.

Partie 1 — Dénombrement

2 pts
1. Combien de résultats distincts (suites ordonnées de 4 tirages) sont possibles ?

2. Combien de ces résultats comprennent exactement 3 succès (c'est-à-dire exactement 3 boules paires parmi les 4 tirées) ?

3. En déduire la probabilité d'obtenir exactement 3 succès.

Partie 2 — Loi binomiale

2 pts
Soit X le nombre de succès (boules paires) en 4 tirages avec remise.

4. Justifier que X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

5. Calculer E(X), V(X), et la probabilité P(X ≥ 2).
2

Suites numériques — Suite définie par une relation de récurrence

4 points
Soit la suite (un) définie par u1 = 1 et, pour tout entier naturel n ≥ 1 : un+1 = (3un + 4) / (un + 2).

Partie 1 — Bornée et monotone

2 pts
1. Calculer u2 et u3.

2. Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 1 : 1 ≤ un ≤ 2.

3. Montrer que la suite est croissante.

Partie 2 — Limite

2 pts
4. En admettant que (un) converge, calculer sa limite ℓ. On justifiera qu'il y a deux valeurs candidates et on choisira la bonne.
3

Nombres complexes — Module, argument et interprétation géométrique

4 points
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O, û, v̂), on considère le nombre complexe z0 = −1 + i√3.

Partie 1 — Forme trigonométrique et puissances

2 pts
1. Calculer le module |z0| et un argument arg(z0). En déduire la forme trigonométrique de z0.

2. Calculer z06 et z09, puis simplifier z09 / z06.

Partie 2 — Équation dans ℂ et interprétation géométrique

2 pts
3. Résoudre dans ℂ l'équation : z² − 2z + 4 = 0. Exprimer les solutions sous forme algébrique et trigonométrique.

4. Soient A et B les points d'affixes z1 et z2 (les deux solutions). Calculer la distance AB et l'argument de (z2 − z1). Quelle est la nature du triangle OAB ?
4

Étude de fonction — Fonction exponentielle

4 points
Soit la fonction f définie sur ℝ par : f(x) = (x² − x + 1)ex. On note (Cf) sa courbe représentative.

Partie 1 — Limites, signe et asymptotes

2 pts
1. Calculer limx→−∞ f(x) et limx→+∞ f(x).

2. Étudier le signe de f(x) sur ℝ. (On calculera le discriminant de x²−x+1.)

Partie 2 — Dérivée et variations

2 pts
3. Calculer f'(x) et l'écrire sous la forme f'(x) = P(x)·ex où P est un trinôme du second degré.

4. Dresser le tableau de variations de f. Calculer les valeurs exactes des extrema locaux.
5

Calcul intégral — Aire et intégration par parties

4 points
On considère les fonctions f(x) = xex et g(x) = ex définies sur ℝ. On note (Cf) et (Cg) leurs courbes représentatives.

Partie 1 — Intersection et intégrale par parties

2 pts
1. Déterminer les points d'intersection de (Cf) et (Cg).

2. Calculer par intégration par parties : I = ∫01 xex dx.

Partie 2 — Aire entre les courbes

2 pts
3. Étudier le signe de f(x) − g(x) sur [0, 1]. En déduire l'aire A de la région délimitée par (Cf), (Cg), et les droites x=0 et x=1.

4. Calculer aussi ∫01 ex dx et en déduire la valeur numérique exacte de A.
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