Baccalauréat 2024

1. Récurrence :
Initialisation : u₀ = 2, donc 0 ≤ u₀ ≤ 2. ✓
Hérédité : Supposons 0 ≤ u_n ≤ 2. Alors ½u_n ∈ [0, 1], donc u_n+1 = ½u_n + 1 ∈ [1, 2] ⊂ [0, 2]. ✓

2. Monotonie :
u_n+1 − u_n = ½u_n + 1 − u_n = 1 − ½u_n
Puisque u_n ≤ 2, on a ½u_n ≤ 1, donc u_n+1 − u_n ≥ 0.
La suite est croissante, majorée par 2, donc convergente.

3. Limite :
En passant à la limite dans u_n+1 = ½u_n + 1 : ℓ = ½ℓ + 1 → ½ℓ = 1 → ℓ = 2.

4. Suite géométrique :
v_n+1 = u_n+1 − 2 = (½u_n + 1) − 2 = ½u_n − 1 = ½(u_n − 2) = ½v_n
Donc (v_n) est géométrique de raison q = ½ et v₀ = u₀ − 2 = 0.
Donc v_n = 0 pour tout n, soit u_n = 2 pour tout n ≥ 0.

1. D_f = ℝ∖{1}

2. Limites :
lim_x→1⁺ f(x) = +∞  |  lim_x→1⁻ f(x) = −∞
lim_x→±∞ f(x) = ±∞

3. Asymptote oblique :
Division euclidienne : x² − 2x + 2 = (x−1)(x−1) + 1
Donc f(x) = (x−1) + 1/(x−1)
lim_x→±∞ [f(x) − (x−1)] = lim_x→±∞ 1/(x−1) = 0
Donc (Δ) : y = x − 1 est asymptote oblique.

4. Dérivée :
f(x) = (x−1) + 1/(x−1)
f'(x) = 1 − 1/(x−1)² = [(x−1)² − 1]/(x−1)²
= (x² − 2x)/(x−1)² = x(x−2)/(x−1)²

Signe de f'(x) :
• f'(x) > 0 sur ]−∞, 0[ ∪ ]2, +∞[
• f'(x) < 0 sur ]0, 1[ ∪ ]1, 2[
• f'(0) = 0 → maximum local f(0) = −2
• f'(2) = 0 → minimum local f(2) = 2

5. Tracer la courbe avec les points clés : (0, −2) max local, (2, 2) min local, asymptote verticale x=1, asymptote oblique y=x−1.

1. I₀ = ∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e − 1

2. Intégration par parties :
u = xⁿ, v' = e^x → u' = nxⁿ⁻¹, v = e^x
I_n = [xⁿe^x]₀¹ − ∫₀¹ nxⁿ⁻¹e^x dx
= 1·e − 0 − n·I_n−1
I_n = e − n·I_n−1 ✓

3. I₁ = e − 1·I₀ = e − (e−1) = 1
I₂ = e − 2·I₁ = e − 2 ≈ 0,718

4. Sur [0,1] : 0 < xⁿ < 1 et e^x > 0, donc I_n > 0.
De plus e^x ≤ e ≤ 3 mais mieux : on compare xⁿe^x ≤ e·xⁿ
I_n ≤ e·∫₀¹xⁿdx = e/(n+1).
Pour la borne stricte : comparer avec ∫₀¹ xⁿdx = 1/(n+1) directement :
sur ]0,1[, e^x < e mais on note que ∫₀¹ xⁿe^xdx < e∫₀¹xⁿdx.
Et I_n > ∫₀¹xⁿ·1dx est faux (e^x>1), donc on a bien 0 < I_n < e/(n+1).

1. b − a = 3 − (1+i) = 2 − i → |b−a| = √5, arg = arctan(−½)
c − a = (2+2i) − (1+i) = 1+i → |c−a| = √2, arg = π/4

2. |b−a| = √5, |c−a| = √2, |c−b| = |2+2i−3| = |−1+2i| = √5
AB = BC = √5 et AC = √2 ≠ AB
Donc triangle ABC est isocèle en A avec AB = BC.
De plus : AB² + BC² = 5 + 5 ≠ AC² = 2... vérification angle en B.
cos(∠BAC) = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (5+2−5)/(2√10) = 2/(2√10) = 1/√10.

3. f est définie par : f(z) = αz + β avec f(a) = b et f(b) = c.
Rapport k = |c−b|/|b−a| = √5/√5 = 1, angle θ = arg((c−b)/(b−a))
(c−b)/(b−a) = (−1+2i)/(2−i) = (−1+2i)(2+i)/((2−i)(2+i)) = (−2−i+4i+2i²)/(5) = (−4+3i)/5
Donc k = |(-4+3i)/5| = 5/5 = 1, c'est une rotation d'angle θ = arg(−4+3i).
Centre : f(z) = e^iθz + β, il vérifie f(ω) = ω → ω = β/(1−e^iθ).

1. X suit une loi géométrique de paramètre p = 1/6.
P(X = k) = (5/6)^k−1 × (1/6) pour k ≥ 1.

2. P(X = 3) = (5/6)² × (1/6) = 25/216 ≈ 0,116
P(X ≤ 4) = 1 − P(X > 4) = 1 − (5/6)⁴ = 1 − 625/1296 = 671/1296 ≈ 0,518

3. E(X) = 1/p = 1/(1/6) = 6.
Interprétation : en moyenne, il faut lancer le dé 6 fois avant d'obtenir un 6.

4. P(X ≤ n) ≥ 0,9
1 − (5/6)ⁿ ≥ 0,9
(5/6)ⁿ ≤ 0,1
n·ln(5/6) ≤ ln(0,1)
n ≥ ln(0,1)/ln(5/6) = −ln10/(ln5−ln6) ≈ 2,302/0,182 ≈ 12,6
Donc le plus petit entier est n = 13.