I. Barycentre de deux points pondérés
Définition
Soient A, B deux points du plan et α, β deux réels tels que α + β ≠ 0. Le barycentre des points pondérés (A ; α) et (B ; β) est l'unique point G tel que :
α·GA→ + β·GB→ = 0→
On note G = bar{(A, α) ; (B, β)}.
Expression du vecteur position
Pour tout point M du plan :
(α + β)·MG→ = α·MA→ + β·MB→
En particulier, en prenant M = A : AG→ = β/(α+β) · AB→.
Cas particulier : isobarycentre
Si α = β, G est le milieu de [AB] : G = bar{(A,1); (B,1)}.
II. Propriétés fondamentales
Homogénéité
Pour tout k ∈ ℝ*, bar{(A, kα) ; (B, kβ)} = bar{(A, α) ; (B, β)}.
On peut donc toujours se ramener à des coefficients de somme 1 (coordonnées barycentriques normalisées).
Appartenance à la droite (AB)
Le barycentre G de (A, α) et (B, β) (avec α + β ≠ 0) appartient à la droite (AB). Plus précisément :
- G ∈ [AB] ⇔ α et β de même signe.
- G ∉ [AB] (extérieur à [AB]) ⇔ α et β de signes opposés.
III. Barycentre de trois points pondérés
Définition
Soient A, B, C et α, β, γ avec α + β + γ ≠ 0. Le barycentre G de (A, α), (B, β), (C, γ) est l'unique point tel que :
α·GA→ + β·GB→ + γ·GC→ = 0→
Pour tout M : (α + β + γ)·MG→ = α·MA→ + β·MB→ + γ·MC→.
IV. Théorème d'associativité
Associativité du barycentre
Si G = bar{(A, α), (B, β), (C, γ)} avec α + β + γ ≠ 0 et α + β ≠ 0, et si H = bar{(A, α), (B, β)}, alors :
G = bar{(H, α + β) ; (C, γ)}
On remplace deux points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.
Application : centre de gravité
Le centre de gravité G d'un triangle ABC est l'isobarycentre des trois sommets : G = bar{(A,1),(B,1),(C,1)}.
Par associativité avec A' milieu de [BC] : G = bar{(A, 1), (A', 2)}, donc AG→ = (2/3)·AA'→. On retrouve que G est situé aux 2/3 de chaque médiane depuis le sommet.
V. Coordonnées du barycentre
Expression cartésienne
Dans un repère, si A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), alors G = bar{(A,α),(B,β),(C,γ)} a pour coordonnées :
xG = (α·xA + β·xB + γ·xC)/(α + β + γ)
yG = (α·yA + β·yB + γ·yC)/(α + β + γ)
VI. Alignement et concours
Critère d'alignement
Trois points A, B, C sont alignés ⇔ il existe α, β, γ non tous nuls avec α + β + γ = 0 tels que α·A→ + β·B→ + γ·C→ = 0→ (écriture affine).
Plus utile : si M = bar{(A, α), (B, β)} et N = bar{(A, α'), (C, γ')}, on peut utiliser l'associativité pour prouver l'alignement de M, N et d'un troisième barycentre.
Concours de droites
Pour montrer que trois droites sont concourantes, on peut chercher un point commun comme barycentre des points définissant chacune d'elles.
VII. Lignes de niveau avec MA² et MB²
Formule fondamentale (réduction)
Soient A, B, G le milieu de [AB]. Pour tout M :
MA² + MB² = 2·MI² + AB²/2 (où I est milieu)
MA² − MB² = 2·MI→ · BA→
Ligne de niveau { M : α·MA² + β·MB² = k }
Si α + β ≠ 0, on pose G = bar{(A,α),(B,β)}. Alors :
α·MA² + β·MB² = (α + β)·MG² + α·GA² + β·GB²
La ligne de niveau est donc un cercle de centre G (ou l'ensemble vide, ou un point).
Si α + β = 0, elle se ramène à MA→ · u→ = k : c'est une droite perpendiculaire à (AB).
VIII. Ligne de niveau MA/MB = k
Cercle d'Apollonius
L'ensemble des points M tels que MA/MB = k (k > 0, k ≠ 1) est un cercle dont le diamètre est [IJ] où :
- I = bar{(A, 1), (B, k)} (intérieur au segment)
- J = bar{(A, 1), (B, −k)} (extérieur)
Si k = 1 : c'est la médiatrice de [AB].