Le dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Principes fondamentaux

Principe additif : Si A et B sont disjoints, Card(A∪B) = Card(A) + Card(B)
Principe multiplicatif : Card(A×B) = Card(A) × Card(B)

II. Permutations

Permutations de n éléments

n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1

0! = 1

III. Arrangements

A_n^p = n!/(n-p)! = n(n-1)...(n-p+1)

IV. Combinaisons

Coefficient binomial

C_n^p = ⁿC_p = n!/(p!(n-p)!)

C_n⁰ = C_nⁿ = 1 ; C_n¹ = n ; C_n^p = C_n^n-p

Triangle de Pascal : C_n+1^p = C_n^p-1 + C_n^p

V. Formule du binôme de Newton

(a+b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C_n^k a^n-k b^k

🔑 Formules clés à retenir

n! = n×(n-1)×...×1
A_n^p = n!/(n-p)!
C_n^p = n!/(p!(n-p)!)
(a+b)ⁿ = Σ C_n^k a^n-kb^k

Le dénombrement — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Calculs de factorielles et combinaisons

🟢 Facile

Énoncé

Calculer 5!, 7! et 10!/(8!)
Calculer C₆², C₈³ et C₁₀⁴
Développer (x+1)⁴ avec le binôme de Newton.

Ma réponse

Correction détaillée

5! = 120, 7! = 5040, 10!/8! = 10×9 = 90
C₆² = 6!/(2!4!) = 15, C₈³ = 8!/(3!5!) = 56, C₁₀⁴ = 210
(x+1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1

Arrangements : formule et applications

🟢 Facile

Énoncé

On rappelle que A_n^p = n!/(n-p)! désigne le nombre d'arrangements de p éléments parmi n.

Calculer A₆², A₇³ et A₁₀².
De combien de façons peut-on ranger 4 livres distincts parmi 9 livres sur une étagère (l'ordre compte) ?
Un code PIN à 4 chiffres est formé de chiffres tous distincts choisis parmi {0, 1, ..., 9}. Combien de codes différents peut-on former ?
Comparer A_nⁿ et n!.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Calculs

A₆² = 6!/(6-2)! = 6!/4! = 6×5 = 30

A₇³ = 7!/4! = 7×6×5 = 210

A₁₀² = 10!/8! = 10×9 = 90

2. Rangement de livres

L'ordre compte ⟹ on utilise les arrangements.

A₉⁴ = 9!/(9-4)! = 9×8×7×6 = 3 024 façons.

3. Code PIN

4 chiffres distincts parmi 10, l'ordre compte :

A₁₀⁴ = 10×9×8×7 = 5 040 codes différents.

4. A_nⁿ

A_nⁿ = n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n!. Un arrangement de n éléments parmi n est une permutation.

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Problèmes de dénombrement

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un comité de 5 personnes doit être formé à partir de 8 hommes et 6 femmes.

Combien de comités peut-on former ?
Combien de comités contenant exactement 3 hommes et 2 femmes ?
Combien de comités contenant au moins une femme ?

Ma réponse

Correction détaillée

C₁₄⁵ = 14!/(5!9!) = 2002
C₈³ × C₆² = 56 × 15 = 840
Au moins 1 femme = Total - Aucune femme = C₁₄⁵ - C₈⁵ = 2002 - 56 = 1946

Probabilités et dénombrement : tirage sans remise

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire simultanément 3 boules.

Combien d'issues possibles y a-t-il ?
Combien d'issues donnent 3 boules rouges ? 2 rouges et 1 bleue ? 1 rouge et 2 bleues ?
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule bleue.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Nombre total d'issues

Tirage simultané de 3 boules parmi 8 (l'ordre ne compte pas) :

Ω = C₈³ = 8!/(3!×5!) = 56

2. Issues favorables

3 rouges : C₅³ = 10

2 rouges + 1 bleue : C₅² × C₃¹ = 10 × 3 = 30

1 rouge + 2 bleues : C₅¹ × C₃² = 5 × 3 = 15

Vérification : 10 + 30 + 15 + C₃³ = 10+30+15+1 = 56. ✓

3. P(au moins une bleue)

P(au moins 1 bleue) = 1 - P(aucune bleue) = 1 - 10/56 = 46/56 = 23/28 ≈ 0.821

4. P(exactement 2 rouges)

P(2 rouges) = 30/56 = 15/28 ≈ 0.536

Triangle de Pascal et coefficients binomiaux

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Compléter les lignes 0 à 5 du triangle de Pascal.
Vérifier la relation C_n+1^p = C_n^p-1 + C_n^p pour n = 4, p = 2.
Développer (2x - 1)⁴ en utilisant le binôme de Newton.
En déduire la valeur exacte de (1.9)⁴ = (2 - 0.1)⁴.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Triangle de Pascal

n=0 :         1
n=1 :        1  1
n=2 :       1  2  1
n=3 :      1  3  3  1
n=4 :     1  4  6  4  1
n=5 :    1  5 10 10  5  1

2. Vérification pour n=4, p=2

C₅² = C₄¹ + C₄² ⟺ 10 = 4 + 6 = 10. ✓

3. Développement de (2x - 1)⁴

(2x - 1)⁴ = Σ_k=0⁴ C₄^k (2x)^4-k (-1)^k

= C₄⁰(2x)⁴ - C₄¹(2x)³ + C₄²(2x)² - C₄³(2x) + C₄⁴

= 16x⁴ - 4×8x³ + 6×4x² - 4×2x + 1

= 16x⁴ - 32x³ + 24x² - 8x + 1

4. Valeur de (1.9)⁴

(2 - 0.1)⁴ : poser x = 1/2 dans (2x-1) donne... Utilisons directement (a-b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴ avec a=2, b=0.1 :

(1.9)⁴ = 16 - 4×8×0.1 + 6×4×0.01 - 4×2×0.001 + 0.0001

= 16 - 3.2 + 0.24 - 0.008 + 0.0001 = 13.0321

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Binôme de Newton et identités

🔴 Difficile

Énoncé

Montrer que Σ_k=0ⁿ C_n^k = 2ⁿ
Montrer que Σ_k=0ⁿ (-1)^k C_n^k = 0
En déduire que la somme des C_n^k pour k pair = somme pour k impair = 2^n-1

Ma réponse

Correction détaillée

1.

Dans (1+1)ⁿ = Σ C_n^k 1^n-k·1^k = Σ C_n^k = 2ⁿ ✓

2.

Dans (1-1)ⁿ = Σ C_n^k(-1)^k = 0 ✓

3.

Σ_pair C_n^k - Σ_impair C_n^k = 0 (par 2.)

Σ_pair C_n^k + Σ_impair C_n^k = 2ⁿ (par 1.)

En additionnant : 2×Σ_pair = 2ⁿ, donc chaque somme = 2^n-1 ✓

Dénombrement avancé et combinatoire

🔴 Difficile

Énoncé

Dans une classe de 12 élèves, on forme un groupe de travail de 4 élèves dont obligatoirement le délégué de classe. Combien de groupes différents peut-on former ?
De combien de façons peut-on répartir 8 élèves en deux groupes de 4 (les groupes ne sont pas ordonnés entre eux) ?
Montrer que C_2nⁿ = Σ_k=0ⁿ (C_n^k)². (Indication : développer (1+x)²ⁿ de deux façons.)

Ma réponse

Correction détaillée

1. Groupe avec le délégué

Le délégué est forcément dans le groupe. Il reste à choisir 3 élèves parmi les 11 restants.

Nombre de groupes = C₁₁³ = 11!/(3!×8!) = 165

2. Répartition en deux groupes non ordonnés

Si les groupes étaient ordonnés (A et B distincts) : C₈⁴ = 70 façons.

Mais les deux groupes sont interchangeables ⟹ diviser par 2.

Nombre de répartitions = 70/2 = 35

3. Identité de Vandermonde : C_2nⁿ = Σ (C_n^k)²

Méthode : (1+x)²ⁿ = (1+x)ⁿ·(1+x)ⁿ

Côté gauche : le coefficient de xⁿ dans (1+x)²ⁿ est C_2nⁿ.

Côté droit : (Σ_k=0ⁿ C_n^k x^k) × (Σ_j=0ⁿ C_n^j x^j)

Le coefficient de xⁿ dans ce produit est Σ_k=0ⁿ C_n^k·C_n^n-k = Σ_k=0ⁿ C_n^k·C_n^k (car C_n^n-k = C_n^k)

= Σ_k=0ⁿ (C_n^k)². En identifiant : C_2nⁿ = Σ_k=0ⁿ (C_n^k)². ✓

Le dénombrement

Le dénombrement — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Principes fondamentaux

II. Permutations

Permutations de n éléments

III. Arrangements

IV. Combinaisons

Coefficient binomial

V. Formule du binôme de Newton

🔑 Formules clés à retenir

Le dénombrement — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calculs de factorielles et combinaisons

Arrangements : formule et applications

1. Calculs

2. Rangement de livres

3. Code PIN

4. Ann

🟡 Exercices Intermédiaires

Problèmes de dénombrement

Probabilités et dénombrement : tirage sans remise

1. Nombre total d'issues

2. Issues favorables

3. P(au moins une bleue)

4. P(exactement 2 rouges)

Triangle de Pascal et coefficients binomiaux

1. Triangle de Pascal

2. Vérification pour n=4, p=2

3. Développement de (2x - 1)⁴

4. Valeur de (1.9)⁴

🔴 Exercices Difficiles

Binôme de Newton et identités

1.

2.

3.

Dénombrement avancé et combinatoire

1. Groupe avec le délégué

2. Répartition en deux groupes non ordonnés

3. Identité de Vandermonde : C2nn = Σ (Cnk)²

4. A_nⁿ

3. Identité de Vandermonde : C_2nⁿ = Σ (C_n^k)²