Dérivation

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Dérivation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Nombre dérivé et tangente

Définition

Soit f définie sur un intervalle I et a ∈ I. On dit que f est dérivable en a si la limite suivante existe et est finie :

f'(a) = limx→a [f(x) − f(a)]/(x − a) = limh→0 [f(a + h) − f(a)]/h

Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a.

Interprétation géométrique

Si f est dérivable en a, la courbe Cf admet en A(a ; f(a)) une tangente d'équation :

y = f'(a)(x − a) + f(a)

f'(a) est le coefficient directeur de cette tangente.

Dérivabilité et continuité

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproque est fausse (ex. : x ↦ |x| est continue en 0 mais non dérivable).

II. Dérivabilité à droite / à gauche

Définitions

  • fd'(a) = limx→a+ [f(x) − f(a)]/(x − a)
  • fg'(a) = limx→a− [f(x) − f(a)]/(x − a)

f est dérivable en a ⇔ fd'(a) et fg'(a) existent et sont égales.

Exemple : f(x) = |x| en 0. fd'(0) = 1 et fg'(0) = −1 ⇒ f non dérivable en 0. La courbe présente un point anguleux.

III. Dérivées des fonctions usuelles

Tableau à connaître

f(x)f'(x)Domaine de dérivabilité
k (constante)0ℝ
x1ℝ
xn (n ∈ ℕ*)n·xn−1ℝ
1/x−1/x²ℝ*
1/xn−n/xn+1ℝ*
√x1/(2√x)]0, +∞[
sin(x)cos(x)ℝ
cos(x)−sin(x)ℝ
tan(x)1 + tan²(x) = 1/cos²(x)ℝ \ {π/2 + kπ}

IV. Opérations sur les dérivées

Règles de calcul

Soient u et v deux fonctions dérivables sur I, et λ ∈ ℝ.

  • (u + v)' = u' + v'
  • (λ·u)' = λ·u'
  • (u · v)' = u'·v + u·v'
  • (1/v)' = −v'/v²   (si v ≠ 0)
  • (u/v)' = (u'·v − u·v')/v²   (si v ≠ 0)
  • (un)' = n·u'·un−1
  • (√u)' = u'/(2√u)   (si u > 0)

Dérivée d'une composée

Soit g dérivable en f(a) et f dérivable en a. Alors g ∘ f est dérivable en a et :

(g ∘ f)'(a) = g'(f(a)) · f'(a)

Cas particuliers :

  • (sin(u))' = u'·cos(u)    (cos(u))' = −u'·sin(u)
  • (tan(u))' = u'·(1 + tan²(u)) = u'/cos²(u)

V. Dérivée et sens de variation

Théorème fondamental

Soit f dérivable sur un intervalle I.

  • f' ≥ 0 sur I ⇔ f croissante sur I
  • f' ≤ 0 sur I ⇔ f décroissante sur I
  • f' = 0 sur I ⇔ f constante sur I
  • f' > 0 sur I (sauf points isolés) ⇒ f strictement croissante sur I

Étude des variations

  1. Calculer f'(x).
  2. Étudier le signe de f'(x) (factoriser, étudier discriminant, etc.).
  3. Dresser le tableau de variations en précisant les limites aux bornes.
  4. En déduire les extrema éventuels.

VI. Extrema locaux

Condition nécessaire

Si f admet un extremum local en a (a intérieur à I) et f est dérivable en a, alors f'(a) = 0.

Réciproque fausse : f(x) = x³ a f'(0) = 0 sans que 0 soit un extremum.

Condition suffisante (changement de signe)

Si f'(x) change de signe en a :

  • + puis − ⇒ maximum local en a
  • − puis + ⇒ minimum local en a

VII. Dérivées d'ordre supérieur

  • f'' = (f')' : dérivée seconde
  • f'' > 0 sur I ⇒ f est convexe (courbe tournée vers le haut)
  • f'' < 0 sur I ⇒ f est concave (courbe tournée vers le bas)
  • Un point d'inflexion est un point où f'' s'annule en changeant de signe

VIII. Approximation affine (tangente)

Développement au premier ordre

Si f est dérivable en a, alors au voisinage de a :

f(a + h) ≈ f(a) + h·f'(a)

pour h petit. La courbe est proche de sa tangente au voisinage du point de tangence.

🔑 Formules clés à retenir

  • Nombre dérivé : f'(a) = limh→0 [f(a+h)−f(a)]/h
  • Tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a)
  • Usuelles : (xn)' = nxn−1 · (1/x)' = −1/x² · (√x)' = 1/(2√x) · (sin)' = cos · (cos)' = −sin
  • Opérations : (uv)' = u'v+uv' · (u/v)' = (u'v−uv')/v² · (un)' = nu'un−1
  • Composée : (g∘f)' = f'·(g'∘f)
  • Variations : f' ≥ 0 ⇔ f croissante · f' ≤ 0 ⇔ f décroissante
  • Extremum local : f'(a) = 0 et changement de signe de f'
  • Dérivabilité ⇒ continuité (réciproque fausse)
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

f'(a) = 0 ≠ extremum : f'(a) = 0 est une condition nécessaire mais pas suffisante pour un extremum. Il faut vérifier le changement de signe de f'. Ex : f(x) = x³ a f'(0) = 0 mais 0 est un point d'inflexion, pas un extremum.

❌

Dérivée de u/v : (u/v)' = (u'v − uv')/v². L'ordre est important ! "u prime v MOINS u v prime" — pas l'inverse. Une erreur d'ordre change le signe.

❌

Dérivabilité ≠ continuité : dérivable ⇒ continue, mais continue ⇒ pas forcément dérivable. La valeur absolue f(x) = |x| est continue en 0 mais pas dérivable.

🟢 Astuces de pros

✅

Équation de la tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a). Toujours calculer f(a) et f'(a) d'abord, puis substituer.

✅

Dérivée d'une composée f(g(x)) : = g'(x) · f'(g(x)). "Dérivée de l'extérieur × dérivée de l'intérieur". Ex : (sin(x²))' = 2x·cos(x²).

💡

Tableau de variations : le signe de f' donne le sens de variation. Met f'(x) = 0, étudie le signe de f' sur chaque intervalle, puis déduis les variations et les extremums locaux.