Étude de fonctions

دراسة الدوال

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Étude de fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Plan d'étude d'une fonction

Étapes à suivre

  1. Domaine de définition Df.
  2. Parité / périodicité : réduction éventuelle du domaine d'étude.
  3. Limites aux bornes de Df (et continuité).
  4. Dérivée f'(x), signe, tableau de variations.
  5. Branches infinies et asymptotes.
  6. Points particuliers : intersections avec (Ox), (Oy), tangentes remarquables.
  7. Tracé de la courbe Cf.

II. Asymptotes

Asymptote verticale

Si limx→a f(x) = ±∞, la droite d'équation x = a est une asymptote verticale à Cf.

Asymptote horizontale

Si limx→±∞ f(x) = ℓ (ℓ ∈ ℝ), la droite d'équation y = ℓ est une asymptote horizontale à Cf en ±∞.

Asymptote oblique

La droite d'équation y = ax + b (a ≠ 0) est une asymptote oblique à Cf en +∞ (resp. −∞) si :

limx→+∞ [f(x) − (ax + b)] = 0

Méthode de recherche

  1. Calculer a = limx→+∞ f(x)/x. Si finie et non nulle, continuer.
  2. Calculer b = limx→+∞ [f(x) − ax]. Si finie, alors y = ax + b est asymptote oblique.
  3. Position : étudier le signe de f(x) − (ax + b) pour savoir si Cf est au-dessus ou en dessous.

III. Branches paraboliques

Branche parabolique

Lorsqu'il n'y a pas d'asymptote oblique, on étudie lim f(x)/x :

  • Si limx→±∞ f(x)/x = ±∞ : branche parabolique de direction (Oy).
  • Si limx→±∞ f(x)/x = 0 (avec lim f = ±∞) : branche parabolique de direction (Ox).
  • Si limx→±∞ f(x)/x = a (fini non nul) et lim [f(x) − ax] = ±∞ : branche parabolique de direction y = ax.

IV. Éléments de symétrie

Axe de symétrie vertical x = a

Cf admet la droite x = a comme axe de symétrie si :

∀x ∈ Df, 2a − x ∈ Df   et   f(2a − x) = f(x)

Cas particulier : a = 0 ⇔ f paire.

Centre de symétrie Ω(a, b)

Cf admet le point Ω(a ; b) comme centre de symétrie si :

∀x ∈ Df, 2a − x ∈ Df   et   f(2a − x) + f(x) = 2b

Cas particulier : Ω = O ⇔ f impaire.

V. Position relative de deux courbes

Comparer Cf et Cg

Étudier le signe de f(x) − g(x) sur Df ∩ Dg :

  • f(x) − g(x) > 0 ⇒ Cf au-dessus de Cg
  • f(x) − g(x) < 0 ⇒ Cf en dessous de Cg
  • f(x) − g(x) = 0 ⇒ point d'intersection

VI. Points remarquables et tangentes

  • Intersection avec (Ox) : résoudre f(x) = 0.
  • Intersection avec (Oy) : calculer f(0) si 0 ∈ Df.
  • Tangente horizontale : f'(x) = 0.
  • Point à tangente verticale : lim [f(x) − f(a)]/(x−a) = ±∞.
  • Point d'inflexion : f''(x) s'annule en changeant de signe (changement de convexité).

VII. Étude réduite par parité ou périodicité

Domaine d'étude

  • f paire : étudier sur Df ∩ [0, +∞[, puis symétrie / (Oy).
  • f impaire : étudier sur Df ∩ [0, +∞[, puis symétrie / O.
  • f T-périodique : étudier sur [a, a + T], puis translations de vecteur T·i→.
  • Combinaison (périodique + paire/impaire) : étudier sur [0, T/2].

VIII. Exemple-type : fonction rationnelle avec asymptote oblique

f(x) = (x² + 1)/(x − 1)

1. Domaine : Df = ℝ \ {1}.

2. Division euclidienne : x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2, donc f(x) = x + 1 + 2/(x − 1).

3. Limites : limx→1+ f = +∞ ; limx→1− f = −∞ ⇒ x = 1 asymptote verticale.

limx→±∞ [f(x) − (x + 1)] = lim 2/(x−1) = 0 ⇒ y = x + 1 asymptote oblique.

4. Dérivée : f'(x) = 1 − 2/(x−1)² = [(x−1)² − 2]/(x−1)². f'(x) = 0 ⇔ (x−1)² = 2 ⇔ x = 1 ± √2.

5. Variations : croissante sur ]−∞, 1−√2], décroissante sur [1−√2, 1[, décroissante sur ]1, 1+√2], croissante sur [1+√2, +∞[.

6. Position / asymptote oblique : f(x) − (x+1) = 2/(x−1). Positif si x > 1 (Cf au-dessus), négatif si x < 1 (en dessous).

7. Centre de symétrie : on vérifie que f(2−x) + f(x) = 2·2 = 4, donc Ω(1 ; 2) est centre de symétrie.

🔑 Formules clés à retenir

  • Plan d'étude : Domaine → Parité/Période → Limites → Dérivée et variations → Asymptotes/branches → Points remarquables → Tracé
  • Asymptote verticale : limx→a f = ±∞ ⇒ x = a
  • Asymptote horizontale : limx→±∞ f = ℓ ⇒ y = ℓ
  • Asymptote oblique y = ax+b : a = lim f(x)/x, b = lim [f(x)−ax]
  • Position : signe de f(x) − (ax+b)
  • Axe x = a : f(2a−x) = f(x) · Centre Ω(a,b) : f(2a−x) + f(x) = 2b
  • Branches paraboliques : si f(x)/x → ±∞ direction (Oy), → 0 direction (Ox)
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Asymptote horizontale ≠ pas d'intersection : une asymptote horizontale y = ℓ peut être franchie par la courbe — la définition dit juste que f(x) → ℓ en ±∞, pas que f(x) ≠ ℓ pour tout x fini !

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Asymptote oblique : ordre des calculs : d'abord calculer a = lim f(x)/x, PUIS b = lim [f(x) − ax]. Inverser l'ordre donne des erreurs.

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Oublier l'étude de position par rapport aux asymptotes : après avoir trouvé une asymptote y = ax+b, calculer le signe de f(x) − (ax+b) pour savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous.

🟢 Astuces de pros

✅

Plan d'étude dans l'ordre : ne pas sauter d'étapes ! Le domaine d'abord (il conditionne tout), puis la parité (qui réduit le travail de moitié si f est paire/impaire).

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Trouver les points d'inflexion : calculer f'', résoudre f''(x) = 0, vérifier que f'' change de signe. Le point d'inflexion est là où la courbure change de sens.

💡

Centre de symétrie : si Ω(a,b) est centre de symétrie, alors f(2a−x) + f(x) = 2b pour tout x. Vérifier cette relation algébriquement après avoir identifié le candidat.