Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 6 : Géométrie dans l'espace

I. Positions relatives

Deux droites : parallèles, sécantes, ou non coplanaires (gauches).
Droite et plan : parallèle, sécante (en un point), ou incluse dans le plan.
Deux plans : parallèles ou sécants (selon une droite).

II. Droite perpendiculaire à un plan

Une droite d est perpendiculaire à un plan P si elle est perpendiculaire à toute droite de P passant par son pied.
Théorème des 3 perpendiculaires : Soit d une droite de P, H le pied de la perpendiculaire à P. Si d'⊥d dans P, alors d'⊥(Hd).

III. Repère dans l'espace

Dans un repère (O;i⃗,j⃗,k⃗), tout point M a des coordonnées (x;y;z).
Distance OM = √(x²+y²+z²)
Distance AB = √((xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²)
Milieu M = ((xA+xB)/2;(yA+yB)/2;(zA+zB)/2)

IV. Volumes et surfaces

Pyramide : V = (1/3)×Aire(base)×hauteur
Cône : V = (1/3)πr²h
Sphère : V = (4/3)πr³, S = 4πr²
Cylindre : V = πr²h

🔑 Formules clés à retenir

dist(A,B)=√(Δx²+Δy²+Δz²)
V(pyramide)=(1/3)×B×h
V(sphère)=(4/3)πr³, S=4πr²
V(cône)=(1/3)πr²h
Théorème des 3 ⊥

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Volume d'une pyramide

🟢 Facile

Énoncé

Une pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 8 cm. Calculer son volume.

Ma réponse

Correction détaillée

Aire base = 6² = 36 cm²

V = (1/3)×36×8 = 96 cm³

Volume et surface d'une sphère

🟢 Facile

Énoncé

Sphère de rayon 3 cm. Calculer le volume et la surface.

Ma réponse

Correction détaillée

V = (4/3)×π×27 = 36π cm³ ≈ 113 cm³

S = 4×π×9 = 36π cm² ≈ 113 cm²

Distance entre deux points de l'espace

🟢 Facile

Énoncé

A(1,2,3) et B(4,6,3). Calculer AB et le milieu M de [AB].

Ma réponse

Correction détaillée

AB=√((4−1)²+(6−2)²+(3−3)²)=√(9+16+0)=√25=5

M=((1+4)/2;(2+6)/2;(3+3)/2)=(2,5;4;3)

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Positions relatives — cube

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un cube ABCDA'B'C'D', décrire la position relative de : 1) AB et CD' 2) La droite AA' et le plan ABCD 3) Les plans ABB'A' et DCC'D'

Ma réponse

Correction détaillée

1) AB et CD' sont non coplanaires (gauches)

2) AA' est perpendiculaire au plan ABCD

3) Les plans ABB'A' et DCC'D' sont parallèles

Théorème des 3 perpendiculaires

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans le tétraèdre SABC avec SA⊥(ABC). H est le pied de la hauteur de S. D est le milieu de BC. Montrer que AD⊥BC.

Ma réponse

Correction détaillée

SA⊥(ABC) → SA⊥BC. Comme SABC, AB=AC (si isocèle), on a AD⊥BC dans le triangle isocèle ABC. Par le théorème des 3 ⊥ : BC⊥SA et BC⊥AD → BC⊥ plan SAD → BC⊥(SAD) → BC⊥HD.

AD⊥BC ✓

Volume d'un cône et d'un cylindre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un cône et un cylindre ont même rayon r=5 cm et même hauteur h=12 cm. 1) Calculer leurs volumes. 2) Quel est le rapport V(cône)/V(cylindre) ?

Ma réponse

Correction détaillée

V(cône)=(1/3)×π×25×12=100π cm³

V(cylindre)=π×25×12=300π cm³

Rapport = 100π/300π = 1/3

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Angle d'une arête dans un solide

🔴 Difficile

Énoncé

Pyramide régulière S-ABCD, base carrée de côté 4 cm, hauteur SO=3 cm (O = centre de la base). 1) Calculer l'arête latérale SA. 2) Calculer l'angle que fait SA avec la base. 3) Volume de la pyramide.

Ma réponse

Correction détaillée

O est le centre de ABCD → OA = (4√2)/2 = 2√2 cm

SA²=SO²+OA²=9+8=17 → SA=√17≈4,12 cm

tan(angle)=SO/OA=3/(2√2) → angle=arctan(3/(2√2))≈46,7°

V=(1/3)×16×3=16 cm³

Section d'un cube par un plan

🔴 Difficile

Énoncé

Dans le cube ABCDA'B'C'D' de côté 1, trouver la nature et l'aire de la section par le plan passant par A, C' et le milieu M de [BB'].

Ma réponse

Correction détaillée

A(0,0,0), C'(1,1,1), M=(1,1/2,0) dans le repère du cube.

AC'=√3 (diagonale du cube). AM=√(1+1/4)=√(5/4)=√5/2. MC'=√(0+1/4+1)=√(5/4)=√5/2.

AM=MC' et AC'≠AM → triangle isocèle.

Aire = ... (calcul vectoriel) ≈ √3/2 × √(5/4)

Sphère inscrite dans un cube

🔴 Difficile

Énoncé

Un cube de côté a. 1) Rayon de la sphère inscrite dans le cube (tangente aux 6 faces). 2) Rayon de la sphère circonscrite (passant par les 8 sommets). 3) Rapport des volumes.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Sphère inscrite : r=a/2 → V=(4/3)π(a/2)³=πa³/6

2) Sphère circonscrite : R=demi-diagonale=a√3/2 → V=(4/3)π(a√3/2)³=π√3a³/2

3) Rapport = (πa³/6)/(πa³) = 1/6 (sphère inscrite / cube)