I. Notion de limite
Limite finie en un point
On dit que f admet ℓ comme limite en a, et on note limx→a f(x) = ℓ, si f(x) peut être rendu aussi proche de ℓ qu'on veut dès que x est suffisamment proche de a.
Limite infinie
- limx→a f(x) = +∞ : f(x) dépasse tout réel M lorsque x est proche de a.
- limx→+∞ f(x) = ℓ : f(x) se rapproche de ℓ quand x devient très grand.
Unicité : si la limite existe, elle est unique.
II. Limites de référence
À connaître par cœur
- limx→+∞ xn = +∞ (n ∈ ℕ*)
- limx→−∞ xn = +∞ si n pair ; −∞ si n impair
- limx→±∞ 1/xn = 0
- limx→0+ 1/x = +∞ ; limx→0− 1/x = −∞
- limx→+∞ √x = +∞ ; limx→0+ √x = 0
Limites trigonométriques fondamentales
- limx→0 sin(x)/x = 1
- limx→0 (1 − cos(x))/x² = 1/2
- limx→0 tan(x)/x = 1
III. Opérations sur les limites
Soient lim f = ℓ et lim g = ℓ' (ℓ, ℓ' finis ou infinis). Alors :
- Somme : lim(f + g) = ℓ + ℓ' (sauf forme indéterminée "∞ − ∞")
- Produit : lim(f · g) = ℓ · ℓ' (sauf "0 · ∞")
- Quotient : lim(f/g) = ℓ/ℓ' (sauf "0/0", "∞/∞" et ℓ' = 0)
Les 4 formes indéterminées (FI)
∞ − ∞ 0 · ∞ ∞/∞ 0/0
IV. Lever les formes indéterminées
Polynômes en ±∞
La limite d'un polynôme en ±∞ est celle de son terme de plus haut degré.
Exemple : limx→+∞ (x³ − 5x² + 2) = limx→+∞ x³ = +∞.
Fonctions rationnelles en ±∞
La limite d'une fraction rationnelle en ±∞ est celle du quotient des termes de plus haut degré.
Exemple : limx→+∞ (2x² + 1)/(3x² − x) = limx→+∞ 2x²/3x² = 2/3.
Racines : multiplier par la quantité conjuguée
Exemple : limx→+∞ (√(x+1) − √x). On multiplie haut et bas par √(x+1) + √x :
= lim (x+1 − x)/(√(x+1) + √x) = lim 1/(√(x+1) + √x) = 0.
Forme 0/0 : factoriser
Exemple : limx→2 (x² − 4)/(x − 2) = lim (x−2)(x+2)/(x−2) = lim (x+2) = 4.
V. Théorèmes de comparaison
Théorème des gendarmes
Si, au voisinage de a, on a u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et lim u = lim v = ℓ, alors lim f = ℓ.
Comparaison à l'infini
- Si f(x) ≥ u(x) et lim u = +∞, alors lim f = +∞.
- Si f(x) ≤ v(x) et lim v = −∞, alors lim f = −∞.
Passage à la limite dans les inégalités
Si f(x) ≤ g(x) au voisinage de a et lim f = ℓ, lim g = ℓ', alors ℓ ≤ ℓ'.
VI. Limite et composition
Composition des limites
Si limx→a f(x) = b et limu→b g(u) = ℓ, alors limx→a g(f(x)) = ℓ.
Exemple : limx→+∞ sin(1/x). Posons u = 1/x. Quand x → +∞, u → 0, et sin(u) → 0. Donc la limite vaut 0.
VII. Continuité en un point
Définition
f est continue en a (a ∈ Df) si :
limx→a f(x) = f(a)
f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Continuité à droite / à gauche
- Continue à droite en a : limx→a+ f(x) = f(a)
- Continue à gauche en a : limx→a− f(x) = f(a)
f continue en a ⇔ continue à droite ET à gauche en a.
VIII. Opérations et continuité
Stabilité
Si f et g sont continues en a, alors :
- f + g, λ·f, f · g sont continues en a.
- f/g est continue en a si g(a) ≠ 0.
- g ∘ f est continue en a si g est continue en f(a).
Fonctions usuelles continues
Sont continues sur leur domaine : polynômes, fractions rationnelles, √, sin, cos, tan, |x|.
IX. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Théorème (TVI)
Soit f continue sur [a, b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un c ∈ [a, b] tel que f(c) = k.
Corollaire (cas strictement monotone)
Si f est continue et strictement monotone sur [a, b], alors pour tout k entre f(a) et f(b), il existe un unique c ∈ [a, b] tel que f(c) = k.
Application : existence d'une racine
Si f continue et f(a)·f(b) < 0, alors l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a, b[.
Exemple : f(x) = x³ + x − 1 est continue sur ℝ. f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0 ⇒ ∃ c ∈ ]0, 1[ : f(c) = 0. De plus f strictement croissante (somme de croissantes) ⇒ unicité.
X. Image d'un intervalle
Théorème
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Si f est continue sur [a, b] (segment fermé borné), alors f([a, b]) = [m, M] où m = min f et M = max f : f atteint ses bornes.