Logique mathématique — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Propositions et connecteurs logiques

Définition

Une proposition est un énoncé qui est soit vrai (V), soit faux (F).

Connecteurs logiques

Négation : non P (notée ¬P ou P̄). Vraie quand P est fausse.
Conjonction : P et Q (notée P ∧ Q). Vraie quand P et Q sont toutes deux vraies.
Disjonction : P ou Q (notée P ∨ Q). Vraie quand au moins l'une est vraie.
Implication : P ⟹ Q. Fausse uniquement quand P est vraie et Q fausse.
Équivalence : P ⟺ Q. Vraie quand P et Q ont la même valeur de vérité.

II. Quantificateurs

∀ (pour tout) : ∀x ∈ E, P(x) signifie que P(x) est vraie pour tout x de E.
∃ (il existe) : ∃x ∈ E, P(x) signifie qu'il existe au moins un x dans E tel que P(x) est vraie.

Négation des quantificateurs

¬(∀x, P(x)) ⟺ ∃x, ¬P(x)
¬(∃x, P(x)) ⟺ ∀x, ¬P(x)

III. Raisonnements mathématiques

Raisonnement direct : On part de l'hypothèse pour arriver à la conclusion.
Contraposée : (P⟹Q) ⟺ (¬Q⟹¬P)
Par l'absurde : On suppose ¬P et on aboutit à une contradiction.
Par récurrence : Initialisation + Hérédité ⟹ ∀n, P(n)
Contre-exemple : Pour réfuter ∀x P(x), il suffit de trouver un x₀ tel que ¬P(x₀).
Disjonction de cas : On étudie tous les cas possibles séparément.

🔑 Formules clés à retenir

¬(P ∧ Q) ⟺ (¬P) ∨ (¬Q)
¬(P ∨ Q) ⟺ (¬P) ∧ (¬Q)
(P⟹Q) ⟺ (¬Q⟹¬P)
¬(∀x, P(x)) ⟺ ∃x, ¬P(x)

Logique mathématique — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Négation de propositions

🟢 Facile

Énoncé

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes :

∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
∃x ∈ ℝ, x² + x + 1 = 0
∀x ∈ ℝ, x > 0 ⟹ ln(x) > 0
∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N, |u_n - ℓ| < ε

Ma réponse

Correction détaillée

∃x ∈ ℝ, x² < 0
∀x ∈ ℝ, x² + x + 1 ≠ 0
∃x ∈ ℝ, x > 0 et ln(x) ≤ 0
∃ε > 0, ∀N ∈ ℕ, ∃n ≥ N, |u_n - ℓ| ≥ ε

Contraposée et réciproque

🟢 Facile

Énoncé

Pour chacune des implications suivantes, écrire la contraposée et la réciproque, puis indiquer si elles sont vraies ou fausses :

Si n est pair, alors n² est pair.
Si x > 2, alors x² > 4.
Si x² = 4, alors x = 2.

Ma réponse

Correction détaillée

Rappel

Pour P ⟹ Q : contraposée = (¬Q ⟹ ¬P) ; réciproque = (Q ⟹ P)

1. n pair ⟹ n² pair

Contraposée : n² impair ⟹ n impair. Vraie (par factorisation).

Réciproque : n² pair ⟹ n pair. Vraie (démontrée par l'absurde).

2. x > 2 ⟹ x² > 4

Contraposée : x² ≤ 4 ⟹ x ≤ 2. Vraie.

Réciproque : x² > 4 ⟹ x > 2. Fausse (contre-exemple : x = −3, x² = 9 > 4 mais x < 2).

3. x² = 4 ⟹ x = 2

Contraposée : x ≠ 2 ⟹ x² ≠ 4. Fausse (contre-exemple : x = −2 ≠ 2 mais (−2)² = 4).

Réciproque : x = 2 ⟹ x² = 4. Vraie.

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Raisonnement par récurrence

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ* :

1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

Ma réponse

Correction détaillée

Initialisation (n=1)

1² = 1 et 1×2×3/6 = 1. ✓

Hérédité

Supposons P(n) : Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

Σ_k=1ⁿ⁺¹ k² = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)²

= (n+1)[n(2n+1)/6 + (n+1)] = (n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]/6

= (n+1)(2n² + n + 6n + 6)/6 = (n+1)(2n² + 7n + 6)/6

= (n+1)(n+2)(2n+3)/6 = (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 ✓

Récurrence : divisibilité par 6

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout entier n ∈ ℕ, le produit n(n+1)(n+2) est divisible par 6.

Ma réponse

Correction détaillée

Initialisation (n = 0)

0 × 1 × 2 = 0, qui est divisible par 6. ✓

Hérédité

Supposons que n(n+1)(n+2) est divisible par 6 (hypothèse de récurrence).

Montrons que (n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 6.

(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)

• Le premier terme n(n+1)(n+2) est divisible par 6 par hypothèse.

• Pour le second terme 3(n+1)(n+2) : parmi deux entiers consécutifs (n+1) et (n+2), l'un est pair, donc (n+1)(n+2) est divisible par 2. Ainsi 3(n+1)(n+2) est divisible par 6.

La somme est donc divisible par 6. ✓

Conclusion

Par le principe de récurrence, n(n+1)(n+2) est divisible par 6 pour tout n ∈ ℕ.

Négation de propositions quantifiées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, puis dire si la proposition initiale est vraie ou fausse :

∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
∃x ∈ ℝ, x² + 1 = 0
∀x ∈ ℝ*, ∃n ∈ ℕ, n > x
∃x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, x + y = 0

Ma réponse

Correction détaillée

Règles

¬(∀x, P(x)) ⟺ ∃x, ¬P(x) | ¬(∃x, P(x)) ⟺ ∀x, ¬P(x)

1. ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0

Négation : ∃x ∈ ℝ, x² < 0

La proposition initiale est vraie (un carré est toujours positif).

2. ∃x ∈ ℝ, x² + 1 = 0

Négation : ∀x ∈ ℝ, x² + 1 ≠ 0

La proposition initiale est fausse (x² + 1 ≥ 1 > 0 pour tout réel x).

3. ∀x ∈ ℝ*, ∃n ∈ ℕ, n > x

Négation : ∃x ∈ ℝ*, ∀n ∈ ℕ, n ≤ x

La proposition initiale est vraie (propriété d'Archimède).

4. ∃x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, x + y = 0

Négation : ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x + y ≠ 0

La proposition initiale est fausse : si x = 0, alors pour y = 1 on a x + y = 1 ≠ 0.

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Raisonnement par l'absurde

🔴 Difficile

Énoncé

1. Montrer par l'absurde que √2 est irrationnel.

2. Montrer que si n² est pair, alors n est pair.

3. En déduire que √2 ∉ ℚ par une autre méthode (contraposée).

Ma réponse

Correction détaillée

1. √2 irrationnel

Supposons √2 = p/q avec p, q ∈ ℤ, q ≠ 0, pgcd(p,q) = 1.

2 = p²/q² ⟹ p² = 2q² ⟹ p² est pair ⟹ p est pair (par 2.)

p = 2k ⟹ 4k² = 2q² ⟹ q² = 2k² ⟹ q est pair.

Contradiction : p et q sont tous deux pairs, donc pgcd(p,q) ≥ 2 ≠ 1.

Donc √2 ∉ ℚ. ✓

2. Contraposée : n impair ⟹ n² impair

n = 2k+1 ⟹ n² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1 impair. ✓

3.

Même démonstration, en utilisant la contraposée de 2. directement.

Tables de vérité et équivalences logiques

🔴 Difficile

Énoncé

Dresser la table de vérité de (P ⟹ Q) ∧ (Q ⟹ P) et montrer qu'elle est équivalente à (P ⟺ Q).
Montrer à l'aide d'une table de vérité que ¬(P ∧ Q) ⟺ (¬P) ∨ (¬Q) (loi de De Morgan).
Déterminer les valeurs de vérité de : [(P ⟹ Q) ∧ ¬Q] ⟹ ¬P

Ma réponse

Correction détaillée

1. Table de (P ⟹ Q) ∧ (Q ⟹ P)

P	Q	P⟹Q	Q⟹P	(P⟹Q)∧(Q⟹P)	P⟺Q
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	V	F	F	F
F	F	V	V	V	V

Les deux colonnes finales sont identiques : (P⟹Q)∧(Q⟹P) ⟺ (P⟺Q) ✓

2. Loi de De Morgan : ¬(P∧Q) ⟺ (¬P)∨(¬Q)

P	Q	P∧Q	¬(P∧Q)	¬P	¬Q	(¬P)∨(¬Q)
V	V	V	F	F	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	F	V	V	F	V
F	F	F	V	V	V	V

Colonnes identiques ⟹ ¬(P∧Q) ⟺ (¬P)∨(¬Q) ✓

3. [(P⟹Q) ∧ ¬Q] ⟹ ¬P est une tautologie (toujours vraie)

C'est le modus tollens : si (P⟹Q) et ¬Q, alors ¬P. On peut le vérifier sur les 4 lignes : la prémisse (P⟹Q)∧¬Q n'est vraie que quand P=F, Q=F, et dans ce cas ¬P = V. Résultat : toujours V.