Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 8 : Nombres complexes

I. Définition et forme algébrique

On pose i² = −1. Un nombre complexe s'écrit z = a + bi avec a,b ∈ ℝ.
Re(z) = a (partie réelle), Im(z) = b (partie imaginaire).
Conjugué : z̄ = a − bi. Module : |z| = √(a²+b²).

II. Opérations

Addition : (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
Multiplication : (a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i
Division : z/w = z·w̄/|w|²
Propriétés : |z·w|=|z||w|, |z/w|=|z|/|w|, z·z̄=|z|²

III. Forme trigonométrique (polaire)

z = r(cos θ + i sin θ) avec r=|z| et θ=arg(z) (argument).
Formule de Moivre : [r(cosθ+i sinθ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
Multiplication : |z₁z₂|=|z₁||z₂|, arg(z₁z₂)=arg(z₁)+arg(z₂)

IV. Représentation géométrique

Le plan complexe : tout point M(a,b) a pour affixe z=a+bi.
|z|= distance à l'origine, |z₁−z₂|= distance entre deux points.

🔑 Formules clés à retenir

i²=−1, z=a+bi
|z|=√(a²+b²)
z̄=a−bi, z·z̄=|z|²
Forme trig : z=r(cosθ+i sinθ)
Moivre : zⁿ=rⁿ(cos nθ+i sin nθ)
Équation z²=−a : z=±i√a

Nombres complexes — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Opérations en forme algébrique

🟢 Facile

Énoncé

z₁=3+2i, z₂=1−4i. Calculer : 1) z₁+z₂ 2) z₁×z₂ 3) |z₁| et |z₂|

Ma réponse

Correction détaillée

1) z₁+z₂=(3+1)+(2−4)i=4−2i

2) z₁z₂=(3×1−2×(−4))+(3×(−4)+2×1)i=(3+8)+(−12+2)i=11−10i

3) |z₁|=√(9+4)=√13 | |z₂|=√(1+16)=√17

Conjugué et division

🟢 Facile

Énoncé

z₁=2+3i, z₂=1−i. Calculer z₁/z₂ sous forme algébrique.

Ma réponse

Correction détaillée

z₁/z₂ = z₁×z̄₂/|z₂|² = (2+3i)(1+i)/2

= (2+2i+3i+3i²)/2 = (2+5i−3)/2 = (−1+5i)/2 = −1/2 + 5i/2

Équation dans ℂ

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℂ : 1) z²+4=0 2) z²−2z+5=0

Ma réponse

Correction détaillée

1) z²=−4 → z=±2i

2) Δ=4−20=−16 → z=(2±4i)/2=1±2i

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Module et argument

🟡 Intermédiaire

Énoncé

z=1+i√3. 1) Calculer |z|. 2) Trouver arg(z). 3) Écrire z sous forme trigonométrique.

Ma réponse

Correction détaillée

1) |z|=√(1+3)=2

2) cos θ=1/2, sin θ=√3/2 → θ=π/3

3) z=2(cos π/3 + i sin π/3)

Formule de Moivre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

z=1+i (forme trig : z=√2·e^(iπ/4)). Calculer z⁸.

Ma réponse

Correction détaillée

|z|=√2, arg(z)=π/4

z⁸=(√2)⁸(cos 8π/4+i sin 8π/4)=16(cos 2π+i sin 2π)=16×1=16

Interprétation géométrique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans le plan complexe, A d'affixe 1+2i et B d'affixe 4−i. 1) Calculer |zA−zB|. 2) Milieu M de [AB]. 3) Vérifier que A est sur le cercle centré en O de rayon √5.

Ma réponse

Correction détaillée

1) zA−zB=(1−4)+(2−(−1))i=−3+3i → |zA−zB|=√(9+9)=3√2

2) zM=(zA+zB)/2=(5+i)/2=5/2+i/2

3) |zA|=√(1+4)=√5 ✓

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Racines carrées d'un complexe

🔴 Difficile

Énoncé

Trouver les racines carrées de z=−3+4i (chercher z=a+bi tel que z²=−3+4i).

Ma réponse

Correction détaillée

(a+bi)²=a²−b²+2abi=−3+4i

Système : a²−b²=−3 et 2ab=4 → ab=2 → b=2/a

a²−4/a²=−3 → a⁴+3a²−4=0 → (a²−1)(a²+4)=0 → a=±1

a=1→b=2 : 1+2i | a=−1→b=−2 : −1−2i

Équation du 3ème degré — racine complexe

🔴 Difficile

Énoncé

P(z)=z³−3z²+7z−5. Vérifier que z₁=1 est racine. Factoriser P. Résoudre P(z)=0 dans ℂ.

Ma réponse

Correction détaillée

P(1)=1−3+7−5=0 ✓ → (z−1) est facteur.

Division : z³−3z²+7z−5=(z−1)(z²−2z+5)

Δ=4−20=−16 → z=(2±4i)/2=1±2i

Solutions : z=1, z=1+2i, z=1−2i

Transformation géométrique complexe

🔴 Difficile

Énoncé

f(z)=iz+1−i. 1) Montrer que f est une rotation (trouver son centre et son angle). 2) Image de A(affixe 2) par f.

Ma réponse

Correction détaillée

f(z)=iz+(1−i). Forme f(z)=e^(iπ/2)·z+(1−i) → rotation de centre Ω et angle π/2.

Centre : f(Ω)=Ω → iΩ+(1−i)=Ω → Ω(i−1)=−(1−i)=i−1 → Ω=1.

Centre : 1 (affixe 1), angle : π/2.

f(2)=i×2+(1−i)=2i+1−i=1+i