Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 7 : Probabilités

I. Vocabulaire

Expérience aléatoire : résultat imprévisible. Univers Ω : ensemble des issues.
Événement A ⊂ Ω. P(A) : probabilité de A, avec 0 ≤ P(A) ≤ 1.
P(Ω)=1, P(∅)=0. P(Ā)=1−P(A).

II. Opérations sur les événements

Union : P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
Incompatibles (A∩B=∅) : P(A∪B) = P(A)+P(B)
Indépendants : P(A∩B) = P(A)×P(B)

III. Probabilité conditionnelle

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) (probabilité de A sachant B)
Formule des probabilités totales :
Si (Bᵢ) est une partition de Ω : P(A) = Σ P(A|Bᵢ)×P(Bᵢ)

IV. Variables aléatoires et loi binomiale

Variable aléatoire X : Espérance E(X) = Σ xᵢP(X=xᵢ)
Loi binomiale B(n,p) : P(X=k) = C(n,k)×pᵏ×(1−p)ⁿ⁻ᵏ
E(X) = np, Var(X) = np(1−p)

🔑 Formules clés à retenir

P(Ā)=1−P(A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
Indépendants : P(A∩B)=P(A)×P(B)
Binomiale : P(X=k)=Cₙᵏ pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ
E(X)=np, Var(X)=np(1−p)

Probabilités — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Probabilités simples — dé et pièce

🟢 Facile

Énoncé

On lance un dé équilibré à 6 faces. 1) P(obtenir un pair) ? 2) P(obtenir >4) ? 3) P(pair OU >4) ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) P(pair)=3/6=1/2

2) P(>4)=P({5,6})=2/6=1/3

3) A∩B={6} → P(A∪B)=1/2+1/3−1/6=3/6+2/6−1/6=4/6=2/3

Événement complémentaire

🟢 Facile

Énoncé

P(A)=0,35 et A, B indépendants avec P(B)=0,6. Calculer P(Ā), P(A∩B), P(A∪B).

Ma réponse

Correction détaillée

P(Ā)=1−0,35=0,65

P(A∩B)=0,35×0,6=0,21 (indépendants)

P(A∪B)=0,35+0,6−0,21=0,74

Tableau de probabilités

🟢 Facile

Énoncé

Enquête auprès de 200 personnes : 120 hommes (dont 80 actifs), 80 femmes (dont 45 actives). On choisit une personne au hasard. P(active) ? P(homme actif) ?

Ma réponse

Correction détaillée

Actifs total = 80+45=125

P(active)=125/200=5/8

P(homme actif)=80/200=2/5

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Probabilité conditionnelle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une urne contient 4 boules rouges et 6 bleues. On tire deux boules sans remise. P(2 rouges) ? P(1 rouge | la 1ère est rouge) ?

Ma réponse

Correction détaillée

P(R₁∩R₂)=P(R₁)×P(R₂|R₁)=(4/10)×(3/9)=12/90=2/15

P(R₂|R₁)=3/9=1/3

Formule des probabilités totales

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Machine A (60% de la production, 2% défectueuse), machine B (40%, 4% défectueuse). On choisit une pièce au hasard. P(défectueuse) ?

Ma réponse

Correction détaillée

P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)

=0,02×0,6+0,04×0,4=0,012+0,016=0,028

Soit 2,8% de pièces défectueuses.

Variable aléatoire — espérance

🟡 Intermédiaire

Énoncé

X : nombre de faces "1" en lançant 2 dés. Donner la loi de X et calculer E(X).

Ma réponse

Correction détaillée

P(X=0)=(5/6)²=25/36 | P(X=1)=2×(1/6)×(5/6)=10/36 | P(X=2)=1/36

E(X)=0×25/36+1×10/36+2×1/36=12/36=1/3

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Loi binomiale

🔴 Difficile

Énoncé

Un QCM a 10 questions, chacune avec 4 réponses dont une seule correcte. Un élève répond au hasard. X=nombre de bonnes réponses. 1) Loi de X. 2) P(X≥1). 3) E(X).

Ma réponse

Correction détaillée

1) X∼B(10;1/4)

2) P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(3/4)¹⁰=1−0,0563≈0,944

3) E(X)=10×1/4=2,5

Indépendance et test

🔴 Difficile

Énoncé

P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,2. 1) A et B sont-ils indépendants ? 2) P(A|B) ? 3) P(B|A) ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) P(A)×P(B)=0,4×0,5=0,2=P(A∩B) → A et B sont indépendants

2) P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,2/0,5=0,4=P(A) (cohérent avec indépendance)

3) P(B|A)=0,2/0,4=0,5=P(B) ✓

Problème complet — dépistage

🔴 Difficile

Énoncé

Un test médical : sensibilité 95% (P(+|malade)), spécificité 90% (P(−|sain)). La maladie touche 1% de la population. P(malade|test+) ?

Ma réponse

Correction détaillée

P(M)=0,01, P(M̄)=0,99

P(+)=P(+|M)P(M)+P(+|M̄)P(M̄)=0,95×0,01+0,10×0,99=0,0095+0,099=0,1085

P(M|+)=P(+|M)P(M)/P(+)=0,0095/0,1085≈8,76%