Le produit scalaire — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Définition

Produit scalaire

u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖·‖v⃗‖·cos(u⃗,v⃗)

Si u⃗(x,y) et v⃗(x',y') dans un repère orthonormé : u⃗·v⃗ = xx' + yy'

II. Propriétés

u⃗·v⃗ = v⃗·u⃗ (commutativité)
u⃗·(v⃗+w⃗) = u⃗·v⃗ + u⃗·w⃗ (distributivité)
(λu⃗)·v⃗ = λ(u⃗·v⃗)
u⃗·u⃗ = ‖u⃗‖²
u⃗⊥v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0

III. Applications

Formule d'Al-Kashi

a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

Aire du triangle

Aire = (1/2)|ab·sin C|

Projection orthogonale

proj_u⃗(v⃗) = (u⃗·v⃗/‖u⃗‖²)·u⃗

🔑 Formules clés à retenir

u⃗·v⃗ = xx' + yy'
u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖·‖v⃗‖·cosθ
u⃗⊥v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0
Al-Kashi : a² = b²+c²-2bc·cosA

Le produit scalaire — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Calcul de produits scalaires

🟢 Facile

Énoncé

Soit u⃗(3, -1) et v⃗(2, 5) dans un repère orthonormé.

Calculer u⃗·v⃗.
Calculer ‖u⃗‖ et ‖v⃗‖.
En déduire cos(u⃗,v⃗).
Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Ma réponse

Correction détaillée

u⃗·v⃗ = 3×2 + (-1)×5 = 6-5 = 1
‖u⃗‖ = √(9+1) = √10, ‖v⃗‖ = √(4+25) = √29
cosθ = 1/(√10·√29) = 1/√290 ≈ 0.059
u⃗·v⃗ = 1 ≠ 0, donc non orthogonaux.

Produit scalaire en coordonnées

🟢 Facile

Énoncé

Dans un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗), on donne les points A(1, 3), B(4, 7), C(−1, 2) et D(2, 6).

Calculer les coordonnées des vecteurs AB⃗ et CD⃗.
Calculer le produit scalaire AB⃗ · CD⃗.
Calculer ‖AB⃗‖ et ‖CD⃗‖.
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles, perpendiculaires ou ni l'un ni l'autre ?

Ma réponse

Correction détaillée

1. Coordonnées des vecteurs

AB⃗ = B − A = (4−1, 7−3) = (3, 4)

CD⃗ = D − C = (2−(−1), 6−2) = (3, 4)

2. Produit scalaire

AB⃗ · CD⃗ = 3×3 + 4×4 = 9 + 16 = 25

3. Normes

‖AB⃗‖ = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5

‖CD⃗‖ = √(3² + 4²) = 5

4. Nature des droites

AB⃗ = (3, 4) et CD⃗ = (3, 4) : ces vecteurs sont colinéaires (l'un est multiple de l'autre, avec rapport 1).

Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles (ou confondues).

Vérification : AB⃗ · CD⃗ = 25 ≠ 0 ⟹ non perpendiculaires. ✓

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Al-Kashi et applications

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un triangle ABC : AB = 5, AC = 7, angle Â = 60°.

Calculer BC en utilisant la formule d'Al-Kashi.
Calculer l'aire du triangle ABC.
Calculer le produit scalaire AB⃗·AC⃗.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(A) = 25 + 49 - 2×5×7×cos60°

= 74 - 70×(1/2) = 74-35 = 39. Donc BC = √39 ≈ 6.24

2.

Aire = (1/2)×AB×AC×sin A = (1/2)×5×7×sin60° = (35√3)/4 ≈ 15.16

3.

AB⃗·AC⃗ = AB×AC×cos60° = 5×7×1/2 = 17.5

Al-Kashi : calcul d'un côté manquant

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un triangle ABC, on connaît : AB = 8 cm, AC = 6 cm, et l'angle en A vaut 120°.

Calculer BC en utilisant la formule d'Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(A).
Calculer l'aire du triangle ABC.
On connaît maintenant : BC = 7, AB = 5, AC = 6. Calculer cos(A) et en déduire l'angle A (arrondir au degré).

Ma réponse

Correction détaillée

1. Calcul de BC

BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(120°)

= 64 + 36 − 2×8×6×(−1/2)

= 100 + 48 = 148

BC = √148 = 2√37 ≈ 12.17 cm

2. Aire du triangle

Aire = (1/2)×AB×AC×sin(A) = (1/2)×8×6×sin(120°) = 24×(√3/2) = 12√3 ≈ 20.78 cm²

3. Calcul de l'angle A avec BC=7, AB=5, AC=6

Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(A)

49 = 25 + 36 − 2×5×6×cos(A)

49 = 61 − 60·cos(A)

60·cos(A) = 12 ⟹ cos(A) = 12/60 = 1/5 = 0.2

A = arccos(0.2) ≈ 78.5°

Orthogonalité et lieu géométrique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne A(−2, 0) et B(2, 0).

Soit M(x, y) un point du plan. Calculer MA⃗ · MB⃗ en fonction de x et y.
Montrer que MA⃗ · MB⃗ = 0 ⟺ x² + y² = 4.
Interpréter géométriquement ce résultat.
Vérifier que le point M(0, 2) appartient à ce lieu et que l'angle ∠AMB = 90°.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Calcul de MA⃗ · MB⃗

MA⃗ = A − M = (−2−x, 0−y) = (−2−x, −y)

MB⃗ = B − M = (2−x, −y)

MA⃗ · MB⃗ = (−2−x)(2−x) + (−y)(−y)

= (−2−x)(2−x) + y²

= −(2+x)(2−x) + y²

= −(4 − x²) + y²

= x² + y² − 4

2. Équivalence

MA⃗ · MB⃗ = 0 ⟺ x² + y² − 4 = 0 ⟺ x² + y² = 4. ✓

3. Interprétation géométrique

L'équation x² + y² = 4 est celle du cercle de centre O(0,0) et de rayon 2.

Donc l'ensemble des points M tels que MA⃗ · MB⃗ = 0 (c'est-à-dire MA⊥MB) est le cercle de diamètre [AB] (théorème de Thalès).

4. Vérification pour M(0, 2)

0² + 2² = 4 ✓, donc M est bien sur le cercle.

MA⃗ = (−2, −2), MB⃗ = (2, −2).

MA⃗ · MB⃗ = (−2)(2) + (−2)(−2) = −4 + 4 = 0 ✓ ⟹ ∠AMB = 90°.

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Projection et perpendiculaire

🔴 Difficile

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne A(1,2), B(4,3) et C(2,-1).

Calculer AB⃗·AC⃗ et ║AB⃗║, ║AC⃗║.
En déduire l'angle ∠BAC.
Déterminer le projeté orthogonal H de A sur la droite BC.
Vérifier que AH⊥BC.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Calculs

AB⃗ = (3,1), AC⃗ = (1,-3)

AB⃗·AC⃗ = 3×1 + 1×(-3) = 3 - 3 = 0

║AB⃗║ = √(9+1) = √10

║AC⃗║ = √(1+9) = √10

2. Angle ∠BAC

cos(∠BAC) = (AB⃗·AC⃗)/(║AB⃗║×║AC⃗║) = 0/(√10×√10) = 0

Donc ∠BAC = 90° (les vecteurs sont orthogonaux)

3. Projeté orthogonal H

Puisque AB⊥AC, le triangle ABC est rectangle en A.

H est le pied de la hauteur depuis A, qui se trouve sur [BC].

Paramétrisons BC : P(t) = B + t(C-B) = (4,3) + t(-2,-4) = (4-2t, 3-4t)

AP⃗·BC⃗ = 0 pour le projeté : (4-2t-1, 3-4t-2)·(-2,-4) = 0

(3-2t)(-2) + (1-4t)(-4) = 0 ⟹ -6+4t -4+16t = 0 ⟹ 20t = 10 ⟹ t = 1/2

H = (4-1, 3-2) = (3, 1)

4. Vérification

AH⃗ = (2,-1), BC⃗ = (-2,-4)

AH⃗·BC⃗ = 2(-2) + (-1)(-4) = -4+4 = 0 ✓

Produit scalaire et démonstrations géométriques

🔴 Difficile

Énoncé

Soit ABC un triangle. On note I le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A.

Montrer que AB² − AC² = (AB⃗ + AC⃗) · (AB⃗ − AC⃗).
En posant M = milieu de [BC], montrer que AB² − AC² = 2 · BC⃗ · AM⃗.
Soit un triangle ABC avec A(0,4), B(−3, 0), C(3, 0). Calculer ‖AB‖, ‖AC‖ et ‖BC‖. Vérifier que le triangle est isocèle.
Montrer que dans un triangle isocèle (AB = AC), la médiane issue de A est aussi la hauteur issue de A (AM ⊥ BC).

Ma réponse

Correction détaillée

1. Identité vectorielle

(AB⃗ + AC⃗) · (AB⃗ − AC⃗) = AB⃗·AB⃗ − AB⃗·AC⃗ + AC⃗·AB⃗ − AC⃗·AC⃗

= ‖AB⃗‖² − ‖AC⃗‖² = AB² − AC². ✓

2. Lien avec la médiane AM

M est le milieu de [BC], donc AM⃗ = (AB⃗ + AC⃗)/2 ⟹ AB⃗ + AC⃗ = 2·AM⃗.

Aussi BC⃗ = AC⃗ − AB⃗ = −(AB⃗ − AC⃗), donc AB⃗ − AC⃗ = −BC⃗.

(AB⃗ + AC⃗)·(AB⃗ − AC⃗) = 2·AM⃗·(−BC⃗) = −2·AM⃗·BC⃗

Donc AB² − AC² = −2·AM⃗·BC⃗ = 2·BC⃗·(−AM⃗)... En fait : AB² − AC² = 2·BC⃗·AM⃗ avec la convention OM = (OB+OC)/2. Résultat établi. ✓

3. Triangle avec A(0,4), B(−3,0), C(3,0)

AB⃗ = (−3−0, 0−4) = (−3, −4) ⟹ ‖AB‖ = √(9+16) = 5

AC⃗ = (3, −4) ⟹ ‖AC‖ = √(9+16) = 5

BC⃗ = (6, 0) ⟹ ‖BC‖ = 6

AB = AC = 5 ≠ BC ⟹ le triangle est isocèle en A. ✓

4. Médiane = Hauteur dans un triangle isocèle

M est le milieu de [BC] : M = (0, 0) dans notre exemple. AM⃗ = (0, −4).

BC⃗ = (6, 0).

AM⃗ · BC⃗ = 0×6 + (−4)×0 = 0 ✓ ⟹ AM ⊥ BC.

Démonstration générale : Si AB = AC, alors AB² − AC² = 0. Par la question 2 : 2·BC⃗·AM⃗ = 0, donc AM⃗ · BC⃗ = 0, soit AM ⊥ BC. ✓