المتتاليات العددية
1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma
Une suite numérique (un) est une application de ℕ dans ℝ.
un+1 = un + r
un = u0 + nr
S = (n+1)(u0+un)/2
un+1 = q·un
un = u0·qn
S = u0(1-qn+1)/(1-q) si q ≠ 1
1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus
7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction
Énoncé
Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique, géométrique ou ni l'un ni l'autre :
Ma réponse
Réponse :
Correction détaillée
Énoncé
Karim économise chaque mois. En janvier il économise 200 DH, et chaque mois suivant il économise 50 DH de plus que le mois précédent.
Ma réponse
Réponse :
Correction détaillée
u1 = 200 DH, un+1 = un + 50 pour tout n ≥ 1.
La différence un+1 - un = 50 est constante, donc (un) est arithmétique de raison r = 50 et de premier terme u1 = 200.
un = u1 + (n-1)×r = 200 + (n-1)×50 = 150 + 50n DH
u12 = 150 + 50×12 = 150 + 600 = 750 DH
S = somme de u1 à u12 (12 termes)
S = 12 × (u1 + u12) / 2 = 12 × (200 + 750) / 2 = 12 × 475 = 5 700 DH
Énoncé
1. Calculer S = 1 + 3 + 5 + ... + 99 (somme des 50 premiers nombres impairs).
2. Calculer T = 1 + 1/3 + 1/9 + ... + 1/3n.
3. Un capital de 10 000 DH est placé à 5% d'intérêts composés par an. Calculer le capital après 10 ans.
Ma réponse
Réponse :
Correction détaillée
Suite arithmétique : u0=1, r=2, 50 termes (u49=99)
S = 50×(1+99)/2 = 50×50 = 2500
Suite géométrique : premier terme 1, raison 1/3, n+1 termes
T = (1-(1/3)n+1)/(1-1/3) = (3/2)(1-1/3n+1)
Cn = C0×(1.05)n = 10000×(1.05)10 ≈ 16 288.95 DH
Énoncé
Une banque propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 4%. On place un capital initial C0 = 20 000 DH.
Ma réponse
Réponse :
Correction détaillée
Chaque année, le capital est multiplié par (1 + 4/100) = 1.04
Cn = 20 000 × (1.04)n
Cn+1/Cn = [20 000 × (1.04)n+1] / [20 000 × (1.04)n] = 1.04
Le rapport est constant, donc (Cn) est géométrique de raison q = 1.04 et de premier terme C0 = 20 000.
Cn ≥ 2C0 ⟺ (1.04)n ≥ 2 ⟺ n·ln(1.04) ≥ ln 2
n ≥ ln 2 / ln 1.04 ≈ 0.693 / 0.0392 ≈ 17.7
Le capital double après 18 ans.
C5 = 20 000 × (1.04)⁵ = 20 000 × 1.2166... ≈ 24 333 DH
Énoncé
Soit (un) définie par u0 = 3 et un+1 = (un + 4) / 2 pour tout n ∈ ℕ.
Ma réponse
Réponse :
Correction détaillée
u0 = 3
u1 = (3 + 4)/2 = 3.5
u2 = (3.5 + 4)/2 = 3.75
u3 = (3.75 + 4)/2 = 3.875
La suite semble croissante et tend vers 4.
Correction : Recalculons : u1 = 3.5 < 4. Montrons plutôt que un ≤ 4 pour tout n ≥ 0.
Initialisation : u0 = 3 ≤ 4. ✓
Hérédité : Si un ≤ 4, alors un+1 = (un+4)/2 ≤ (4+4)/2 = 4. ✓
Donc un ≤ 4 pour tout n.
un+1 - un = (un+4)/2 - un = (4 - un)/2 ≥ 0 car un ≤ 4.
Donc (un) est croissante. Croissante et majorée par 4 ⟹ elle converge vers une limite ℓ.
ℓ = (ℓ+4)/2 ⟹ 2ℓ = ℓ+4 ⟹ ℓ = 4.
Énoncé
Soit (un) définie par u0 = 1/2 et un+1 = un(1 - un).
Ma réponse
Réponse :
Correction détaillée
Par récurrence : si 0 < un < 1, alors un(1-un) > 0 et un(1-un) ≤ 1/4 < 1. ✓
un+1 = un(1-un) ≤ (un+(1-un))²/4 = 1/4 (inégalité AM-GM). ✓
Pour n ≥ 1 : un ≤ 1/4, donc 1-un ≥ 3/4.
un+1/un = 1-un < 1 (car un > 0). Donc (un) décroissante. ✓
Décroissante minorée par 0 ⟹ converge vers ℓ.
ℓ = ℓ(1-ℓ) ⟹ ℓ² = 0 ⟹ ℓ = 0
Énoncé
Soit f(x) = x/2 + 1/x et (un) définie par u0 = 3, un+1 = f(un) pour tout n ∈ ℕ.
Ma réponse
Réponse :
Correction détaillée
f(x) = x/2 + 1/x. Par l'inégalité AM-GM : x/2 + 1/x ≥ 2√(x/2 · 1/x) = 2√(1/2) = 2/√2 = √2. ✓
Initialisation : u1 = f(u0) = f(3) = 3/2 + 1/3 = 11/6 ≥ √2 ≈ 1.41. ✓
Hérédité : Si un ≥ √2 > 0, alors un+1 = f(un) ≥ √2 par la question 1. ✓
un+1 - un = un/2 + 1/un - un = 1/un - un/2 = (2 - un²)/(2un)
Pour n ≥ 1 : un ≥ √2 ⟹ un² ≥ 2 ⟹ 2 - un² ≤ 0 ⟹ un+1 - un ≤ 0.
Donc (un) est décroissante à partir de n = 1. ✓
Décroissante et minorée par √2 ⟹ converge vers ℓ.
ℓ = f(ℓ) = ℓ/2 + 1/ℓ ⟹ ℓ/2 = 1/ℓ ⟹ ℓ² = 2 ⟹ ℓ = √2 (car ℓ > 0).