Trigonométrie — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct.

Valeurs remarquables

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2
cos x	1	√3/2	√2/2	1/2	0
sin x	0	1/2	√2/2	√3/2	1

II. Formules d'addition

Formules fondamentales

cos(a+b) = cos a·cos b - sin a·sin b
cos(a-b) = cos a·cos b + sin a·sin b
sin(a+b) = sin a·cos b + cos a·sin b
sin(a-b) = sin a·cos b - cos a·sin b
tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a·tan b)

III. Formules de duplication

cos(2a) = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a
sin(2a) = 2sin a·cos a
tan(2a) = 2tan a/(1 - tan²a)

IV. Linéarisation

cos²x = (1 + cos 2x)/2
sin²x = (1 - cos 2x)/2

V. Équations trigonométriques

cos x = cos a ⟺ x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ
sin x = sin a ⟺ x = a + 2kπ ou x = π-a + 2kπ

🔑 Formules clés à retenir

cos²x + sin²x = 1
cos(a±b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
sin(a±b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos 2a = 2cos²a - 1
sin 2a = 2sin a cos a

Trigonométrie — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Valeurs exactes et simplifications

🟢 Facile

Énoncé

Calculer cos(π/12) et sin(π/12). (Indication : π/12 = π/3 - π/4)
Simplifier : cos²(x) - sin²(x)
Résoudre : cos(x) = √3/2 sur [0, 2π[

Ma réponse

Correction détaillée

1.

cos(π/12) = cos(π/3 - π/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4)

= (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = (√2 + √6)/4

sin(π/12) = (√6 - √2)/4

2.

cos²x - sin²x = cos(2x)

3.

cos x = cos(π/6) ⟹ x = π/6 ou x = 2π - π/6 = 11π/6. S = {π/6, 11π/6}

Cercle trigonométrique : placer des angles

🟢 Facile

Énoncé

Sur le cercle trigonométrique, placer les points correspondant aux angles suivants et donner leurs coordonnées (cos, sin) exactes :

5π/6
−π/4
7π/3
−5π/3

Ma réponse

Correction détaillée

Méthode

Ramener l'angle dans [0, 2π[ en ajoutant ou soustrayant des multiples de 2π, puis utiliser les valeurs remarquables.

1. 5π/6

5π/6 = π - π/6 (2ème quadrant). cos(5π/6) = -cos(π/6) = -√3/2, sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2.

2. −π/4

−π/4 est dans le 4ème quadrant. cos(−π/4) = cos(π/4) = √2/2, sin(−π/4) = −sin(π/4) = −√2/2.

3. 7π/3

7π/3 = 2π + π/3, donc correspond à π/3. cos(7π/3) = cos(π/3) = 1/2, sin(7π/3) = sin(π/3) = √3/2.

4. −5π/3

−5π/3 + 2π = π/3, donc correspond à π/3. cos(−5π/3) = 1/2, sin(−5π/3) = √3/2.

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Équations trigonométriques

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

2cos²x - 3cos x + 1 = 0
sin(2x) = sin(x)
cos x + sin x = 1

Ma réponse

Correction détaillée

1.

Posons t = cos x : 2t² - 3t + 1 = 0 ⟹ (2t-1)(t-1) = 0

t = 1/2 : x = ±π/3 + 2kπ ; t = 1 : x = 2kπ

2.

sin 2x = sin x ⟹ 2sin x cos x - sin x = 0 ⟹ sin x(2cos x - 1) = 0

sin x = 0 : x = kπ ; cos x = 1/2 : x = ±π/3 + 2kπ

3.

√2·cos(x - π/4) = 1 ⟹ cos(x - π/4) = 1/√2 = cos(π/4)

x - π/4 = ±π/4 + 2kπ ⟹ x = 0 + 2kπ ou x = π/2 + 2kπ

Formules d'addition : calcul de sin(75°)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer la valeur exacte de sin(75°) en utilisant la formule d'addition sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b. (75° = 45° + 30°)
Calculer cos(75°).
En déduire tan(75°) sous forme simplifiée.
Calculer sin(15°) et cos(15°) sans calcul supplémentaire.

Ma réponse

Correction détaillée

1. sin(75°)

sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin 45°·cos 30° + cos 45°·sin 30°

= (√2/2)×(√3/2) + (√2/2)×(1/2)

= √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

2. cos(75°)

cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos 45°·cos 30° − sin 45°·sin 30°

= (√2/2)×(√3/2) − (√2/2)×(1/2)

= √6/4 − √2/4 = (√6 − √2)/4

3. tan(75°)

tan(75°) = sin(75°)/cos(75°) = (√6+√2)/(√6−√2)

En rationalisant : × (√6+√2)/(√6+√2) = (√6+√2)²/(6-2) = (8+4√3)/4 = 2 + √3

4. sin(15°) et cos(15°)

15° = 90° − 75°, donc sin(15°) = cos(75°) = (√6 − √2)/4 et cos(15°) = sin(75°) = (√6 + √2)/4.

Résolution d'équations trigonométriques

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans [0, 2π] les équations suivantes :

sin(x) = √3/2
cos(2x) = 1/2
2sin²(x) − sin(x) − 1 = 0

Ma réponse

Correction détaillée

1. sin(x) = √3/2

sin(x) = sin(π/3)

Solutions générales : x = π/3 + 2kπ ou x = π − π/3 + 2kπ = 2π/3 + 2kπ

Dans [0, 2π] : x = π/3 ou x = 2π/3

2. cos(2x) = 1/2

cos(2x) = cos(π/3)

Solutions générales : 2x = π/3 + 2kπ ou 2x = −π/3 + 2kπ

Donc : x = π/6 + kπ ou x = −π/6 + kπ

Dans [0, 2π] : x ∈ {π/6, 7π/6, 5π/6, 11π/6}

(Pour k=0 : π/6 et −π/6 [exclu car négatif] ; pour k=1 : 7π/6 et 5π/6 ; pour k=2 : 13π/6 [exclu] et 11π/6)

3. 2sin²(x) − sin(x) − 1 = 0

Posons t = sin(x) : 2t² − t − 1 = 0 ⟹ (2t + 1)(t − 1) = 0

t = −1/2 : sin(x) = −1/2, donc x = 7π/6 ou x = 11π/6 dans [0, 2π]

t = 1 : sin(x) = 1, donc x = π/2

S = {π/2, 7π/6, 11π/6}

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Linéarisation et calculs avancés

🔴 Difficile

Énoncé

Linéariser cos⁴(x).
Montrer que cos(π/5) = (1+√5)/4.
Calculer le produit cos(π/7)·cos(2π/7)·cos(3π/7).

Ma réponse

Correction détaillée

1.

cos⁴x = (cos²x)² = ((1+cos2x)/2)² = (1 + 2cos2x + cos²2x)/4

= (1 + 2cos2x + (1+cos4x)/2)/4 = (3 + 4cos2x + cos4x)/8

2.

On pose θ = π/5, donc 5θ = π. Ainsi 3θ = π - 2θ, donc cos3θ = -cos2θ.

4cos³θ - 3cosθ = -(2cos²θ - 1). Posons c = cosθ :

4c³ - 3c + 2c² - 1 = 0 ⟹ (c-1)(4c² + 2c - 1)... Non, c ≠ 1.

4c³ + 2c² - 3c - 1 = 0 ⟹ (c+1)(4c² - 2c - 1) = 0

c ≠ -1, donc 4c² - 2c - 1 = 0 ⟹ c = (2+√20)/8 = (1+√5)/4 ✓

3.

En utilisant le polynôme de Tchebychev : le produit = 1/8

Transformation a·cos(x) + b·sin(x) = R·cos(x − φ)

🔴 Difficile

Énoncé

Écrire f(x) = cos(x) + √3·sin(x) sous la forme R·cos(x − φ) avec R > 0 et φ ∈ [0, 2π[.
En déduire le maximum et le minimum de f, et les valeurs de x ∈ [0, 2π] qui les réalisent.
Résoudre l'équation f(x) = 1 sur [0, 2π].
Résoudre l'inéquation f(x) ≥ 1 sur [0, 2π].

Ma réponse

Correction détaillée

1. Forme R·cos(x − φ)

R·cos(x − φ) = R·cos φ·cos x + R·sin φ·sin x

On identifie avec cos(x) + √3·sin(x) :

R·cos φ = 1 et R·sin φ = √3

R² = 1² + (√3)² = 1 + 3 = 4, donc R = 2.

tan φ = √3/1 = √3, et φ est dans le 1er quadrant, donc φ = π/3.

f(x) = 2·cos(x − π/3)

2. Maximum et minimum

Maximum : f(x) = 2 quand cos(x − π/3) = 1, soit x − π/3 = 0 ⟹ x = π/3. f_max = 2.

Minimum : f(x) = −2 quand cos(x − π/3) = −1, soit x − π/3 = π ⟹ x = 4π/3. f_min = −2.

3. f(x) = 1

2·cos(x − π/3) = 1 ⟹ cos(x − π/3) = 1/2 = cos(π/3)

x − π/3 = ±π/3 + 2kπ

x = π/3 + π/3 = 2π/3 ou x = π/3 − π/3 = 0

Dans [0, 2π] : S = {0, 2π/3} (et 2π pour x=0+2π mais 2π est la borne)

4. f(x) ≥ 1

2·cos(x − π/3) ≥ 1 ⟺ cos(x − π/3) ≥ 1/2

cos θ ≥ 1/2 ⟺ θ ∈ [−π/3, π/3] + 2kπ

Donc x − π/3 ∈ [−π/3, π/3] ⟹ x ∈ [0, 2π/3]

f(x) ≥ 1 pour x ∈ [0, 2π/3] dans [0, 2π].