Calcul intégral — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Primitives

Définition

F est une primitive de f sur I si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I.

Si F est une primitive de f, alors toute primitive est de la forme F + C (C ∈ ℝ).

Primitives usuelles

f(x)	F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	xⁿ⁺¹/(n+1)
1/x	ln\|x\|
e^x	e^x
cos(x)	sin(x)
sin(x)	-cos(x)
1/cos²(x)	tan(x)
u'/u	ln\|u\|
u'·e^u	e^u
u'·uⁿ	uⁿ⁺¹/(n+1)
u'/√u	2√u

II. Intégrale définie

Théorème fondamental

Si f est continue sur [a,b] et F est une primitive de f, alors :

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b

Propriétés

Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g
Relation de Chasles : ∫_a^b f + ∫_b^c f = ∫_a^c f
Positivité : Si f ≥ 0 sur [a,b], alors ∫_a^b f ≥ 0
Inégalité : Si f ≤ g sur [a,b], alors ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g
Valeur absolue : |∫_a^b f| ≤ ∫_a^b |f|

III. Intégration par parties

∫_a^b u·v' dx = [u·v]_a^b - ∫_a^b u'·v dx

IV. Calcul d'aires

Aire entre C_f et l'axe des x sur [a,b] : A = ∫_a^b |f(x)| dx

Aire entre deux courbes C_f et C_g : A = ∫_a^b |f(x) - g(x)| dx

V. Valeur moyenne

μ = (1/(b-a)) · ∫_a^b f(x) dx

🔑 Formules clés à retenir

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
IPP : ∫uv' = [uv] - ∫u'v
Aire = ∫|f(x)| dx
Valeur moyenne = (1/(b-a))·∫f(x) dx

Calcul intégral — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Calcul de primitives et intégrales

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les intégrales suivantes :

∫₀¹ (3x² - 2x + 1) dx
∫₁^e (1/x) dx
∫₀¹ e^2x dx
∫₀^π/2 cos(x) dx
∫₁⁴ 1/√x dx

Ma réponse

Correction détaillée

1.

[x³ - x² + x]₀¹ = (1 - 1 + 1) - 0 = 1

2.

[ln(x)]₁^e = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1

3.

[(1/2)e^2x]₀¹ = (1/2)e² - 1/2 = (e² - 1)/2

4.

[sin(x)]₀^π/2 = sin(π/2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

5.

∫x^-1/2 dx = [2√x]₁⁴ = 2√4 - 2√1 = 4 - 2 = 2

Primitives usuelles et changement de variable

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les primitives suivantes :

∫ (3x² + 2x - 5) dx
∫ sin(2x) dx
∫ e^3x+1 dx
∫ 1/(3x-2) dx
∫ cos²(x) dx (utiliser la formule cos²x = (1+cos2x)/2)
∫ x·√(x²+1) dx

Ma réponse

Correction détaillée

1.

∫ (3x²+2x-5) dx = x³ + x² - 5x + C

2.

∫ sin(2x) dx = -(1/2)cos(2x) + C

(Vérification : [(−1/2)cos(2x)]' = (−1/2)·(−2)sin(2x) = sin(2x) ✓)

3.

∫ e^3x+1 dx = (1/3)e^3x+1 + C

4.

∫ 1/(3x-2) dx = (1/3)·ln|3x-2| + C

5.

cos²(x) = (1+cos(2x))/2

∫ cos²(x) dx = ∫ (1+cos(2x))/2 dx = x/2 + sin(2x)/4 + C

6. Changement de variable u = x²+1

du = 2x dx, donc x dx = du/2

∫ x·√(x²+1) dx = (1/2)∫ √u du = (1/2)·(2/3)u^3/2 = (1/3)(x²+1)^3/2 + C

Valeur moyenne et calcul d'aire

🟢 Facile

Énoncé

1. Calculer la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0, 3].

2. Calculer l'aire du domaine délimité par :

La courbe y = x², l'axe des x, et les droites x = 1 et x = 3
Les courbes y = x² et y = x (entre leurs intersections)
La courbe y = sin(x) et l'axe des x sur [0, 2π]

Ma réponse

Correction détaillée

1. Valeur moyenne

μ = (1/(3-0))·∫₀³ x² dx = (1/3)·[x³/3]₀³ = (1/3)·9 = 3

2a. Aire sous y = x²

A = ∫₁³ x² dx = [x³/3]₁³ = 27/3 - 1/3 = 26/3 u.a.

2b. Aire entre y = x² et y = x

Intersections : x² = x ⟺ x(x-1) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 1

Sur [0,1] : x ≥ x² (car x·(1-x) ≥ 0)

A = ∫₀¹ (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6 u.a.

2c. Aire entre sin(x) et l'axe sur [0, 2π]

sin(x) ≥ 0 sur [0, π] et sin(x) ≤ 0 sur [π, 2π]

A = ∫₀^π sin(x) dx + ∫_π^2π |sin(x)| dx

= [-cos(x)]₀^π + [-cos(x)]_2π^π ... = (1+1) + (1+1) = 4 u.a.

🟡 Exercices Intermédiaires

2 exercices

Intégration par parties

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer par intégration par parties :

I = ∫₀¹ x·e^x dx
J = ∫₁^e x·ln(x) dx
K = ∫₀¹ x²·e^x dx

Ma réponse

Correction détaillée

1. I = ∫x·e^x dx

u = x, v' = e^x ⟹ u' = 1, v = e^x

I = [x·e^x]₀¹ - ∫₀¹ e^x dx = e - [e^x]₀¹ = e - (e - 1) = 1

2. J = ∫x·ln(x) dx

u = ln(x), v' = x ⟹ u' = 1/x, v = x²/2

J = [x²ln(x)/2]₁^e - ∫₁^e x/2 dx = e²/2 - [x²/4]₁^e

= e²/2 - (e²/4 - 1/4) = e²/2 - e²/4 + 1/4 = (e² + 1)/4

3. K = ∫x²·e^x dx (double IPP)

1ère IPP : u = x², v' = e^x

K = [x²e^x]₀¹ - 2∫₀¹ xe^x dx = e - 2I = e - 2(1) = e - 2

Inégalités intégrales et valeur moyenne

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1. Montrer que : 1 ≤ ∫₀¹ e^x² dx ≤ e

2. Soit f(x) = x·cos(x). Calculer ∫₀^π/2 f(x) dx par intégration par parties.

3. Calculer la valeur moyenne de g(x) = x·e^x sur [0, 1].

4. Montrer que ∫₀¹ x/(x²+1) dx = (1/2)·ln2.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Inégalité

Sur [0,1] : 0 ≤ x ≤ 1, donc 0 ≤ x² ≤ 1, donc e⁰ ≤ e^x² ≤ e¹

Donc 1 ≤ e^x² ≤ e sur [0,1].

En intégrant : ∫₀¹ 1 dx ≤ ∫₀¹ e^x² dx ≤ ∫₀¹ e dx

1 ≤ ∫₀¹ e^x² dx ≤ e. ✓

2. IPP : ∫ x·cos(x) dx

u = x, v' = cos(x) ⟹ u' = 1, v = sin(x)

∫₀^π/2 x·cos(x) dx = [x·sin(x)]₀^π/2 - ∫₀^π/2 sin(x) dx

= (π/2·sin(π/2) - 0) - [-cos(x)]₀^π/2

= π/2 - (-cos(π/2) + cos(0)) = π/2 - (0 + 1) = π/2 - 1

3. Valeur moyenne de x·e^x

μ = (1/1)·∫₀¹ x·e^x dx = I₁ (calculé dans int-i1 = 1)

La valeur moyenne est 1.

4.

∫₀¹ x/(x²+1) dx = (1/2)·∫₀¹ 2x/(x²+1) dx = (1/2)·[ln(x²+1)]₀¹

= (1/2)·(ln2 - ln1) = (1/2)·ln2 = (ln2)/2. ✓

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Calcul d'intégrales par parties itérées (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

On considère J_n = ∫₀^π xⁿ·sin(x) dx pour n ∈ ℕ.

Calculer J₀ et J₁.
Montrer la relation de récurrence : J_n = πⁿ - n(n-1)·J_n-2 pour n ≥ 2.
Calculer J₂ et J₃.
Montrer que J_n > 0 pour tout n ≥ 0.
Montrer que J_n ≤ πⁿ⁺¹/(n+1) et en déduire un encadrement.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

J₀ = ∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -(-1) + 1 = 2

J₁ : IPP avec u = x, v' = sin(x) ⟹ u' = 1, v = -cos(x)

J₁ = [-x·cos(x)]₀^π + ∫₀^π cos(x) dx = π + [sin(x)]₀^π = π + 0 = π

2. Récurrence

IPP deux fois : u = xⁿ, v' = sin(x) ⟹ u' = nx^n-1, v = -cos(x)

J_n = [-xⁿcos(x)]₀^π + n∫₀^π x^n-1cos(x) dx = πⁿ + n∫₀^π x^n-1cos(x) dx

2ème IPP sur ∫ x^n-1cos(x) : u = x^n-1, v' = cos(x)

= [x^n-1sin(x)]₀^π - (n-1)∫₀^π x^n-2sin(x) dx = 0 - (n-1)J_n-2

Donc J_n = πⁿ + n·(-(n-1)J_n-2) = πⁿ - n(n-1)J_n-2. ✓

3.

J₂ = π² - 2·1·J₀ = π² - 2·2 = π² - 4

J₃ = π³ - 3·2·J₁ = π³ - 6π = π³ - 6π = π(π² - 6)

4. Positivité

Sur ]0, π[ : xⁿ > 0 et sin(x) > 0, donc xⁿ·sin(x) > 0.

Donc J_n = ∫₀^π xⁿsin(x) dx > 0. ✓

5. Majoration

Sur [0,π] : |sin(x)| ≤ 1 et 0 ≤ x ≤ π

xⁿsin(x) ≤ xⁿ·1 = xⁿ

J_n ≤ ∫₀^π xⁿ dx = [xⁿ⁺¹/(n+1)]₀^π = πⁿ⁺¹/(n+1)

Encadrement : 0 < J_n ≤ πⁿ⁺¹/(n+1). ✓

Calcul d'aire et intégrale avec paramètre (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = (x-1)e^-x+1 et g(x) = -(x-1)e^x-1.

Montrer que f(x) + g(x) = 0 si et seulement si x = 1.
Étudier la position relative de C_f et C_g.
Calculer l'aire du domaine délimité par C_f et C_g entre x = 0 et x = 1.
On pose I_n = ∫₀¹ xⁿ·e^-x dx. Montrer que I_n+1 = -e^-1 + (n+1)I_n.
Calculer I₀, I₁, I₂.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

f(x) + g(x) = (x-1)e^-x+1 - (x-1)e^x-1 = (x-1)(e^1-x - e^x-1)

= 0 ⟺ x = 1 ou e^1-x = e^x-1 ⟺ 1-x = x-1 ⟺ x = 1

Donc f(x) + g(x) = 0 ⟺ x = 1 ✓

2.

f(x) - g(x) = (x-1)(e^1-x + e^x-1)

e^1-x + e^x-1 > 0 toujours. Signe dépend de (x-1) :

f > g si x > 1, f < g si x < 1

3.

Sur [0,1] : g > f, donc A = ∫₀¹ (g(x)-f(x)) dx

= ∫₀¹ (1-x)(e^1-x + e^x-1) dx

Par IPP et calculs : A = 2 - 2/e u.a.

4. Relation de récurrence

I_n+1 = ∫₀¹ xⁿ⁺¹·e^-x dx. IPP : u = xⁿ⁺¹, v' = e^-x

= [-xⁿ⁺¹e^-x]₀¹ + (n+1)∫₀¹ xⁿ·e^-x dx

= -e^-1 + (n+1)I_n ✓

5.

I₀ = ∫₀¹ e^-x dx = [-e^-x]₀¹ = 1 - e^-1 = 1 - 1/e

I₁ = -e^-1 + I₀ = -1/e + 1 - 1/e = 1 - 2/e

I₂ = -e^-1 + 2I₁ = -1/e + 2(1-2/e) = 2 - 5/e = 2 - 5/e

Calcul intégral

Calcul intégral — Résumé de cours

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I. Primitives

Définition

Primitives usuelles

II. Intégrale définie

Théorème fondamental

Propriétés

III. Intégration par parties

IV. Calcul d'aires

V. Valeur moyenne

🔑 Formules clés à retenir

Calcul intégral — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calcul de primitives et intégrales

1.

2.

3.

4.

5.

Primitives usuelles et changement de variable

1.

2.

3.

4.

5.

6. Changement de variable u = x²+1

Valeur moyenne et calcul d'aire

1. Valeur moyenne

2a. Aire sous y = x²

2b. Aire entre y = x² et y = x

2c. Aire entre sin(x) et l'axe sur [0, 2π]

🟡 Exercices Intermédiaires

Intégration par parties

1. I = ∫x·ex dx

2. J = ∫x·ln(x) dx

3. K = ∫x²·ex dx (double IPP)

Inégalités intégrales et valeur moyenne

1. Inégalité

2. IPP : ∫ x·cos(x) dx

3. Valeur moyenne de x·ex

4.

🔴 Exercices Difficiles

Calcul d'intégrales par parties itérées (Bac)

1.

2. Récurrence

3.

4. Positivité

5. Majoration

Calcul d'aire et intégrale avec paramètre (Bac)

1.

2.

3.

4. Relation de récurrence

5.

1. I = ∫x·e^x dx

3. K = ∫x²·e^x dx (double IPP)

3. Valeur moyenne de x·e^x