Dérivabilité et étude de fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Dérivabilité

Définition

f est dérivable en a si lim_x→a (f(x) - f(a))/(x - a) existe et est finie. Cette limite est f'(a).

Dérivées des fonctions usuelles

f(x)	f'(x)
xⁿ	nx^n-1
1/x	-1/x²
√x	1/(2√x)
e^x	e^x
ln(x)	1/x
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
tan(x)	1 + tan²(x) = 1/cos²(x)

Règles de dérivation

(f + g)' = f' + g'
(k·f)' = k·f'
(f·g)' = f'g + fg'
(f/g)' = (f'g - fg')/g²
(f∘g)' = g' · (f'∘g) ou (f(g(x)))' = g'(x) · f'(g(x))

II. Tangente

L'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse a est :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

III. Théorème de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle

Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a) = f(b), alors ∃c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = 0.

Théorème des accroissements finis (TAF)

Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors ∃c ∈ ]a,b[ tel que :

f(b) - f(a) = f'(c) · (b - a)

IV. Méthode d'étude d'une fonction

Domaine de définition
Limites aux bornes
Dérivée et tableau de variation
Points particuliers (intersection avec les axes)
Asymptotes (horizontales, verticales, obliques)
Courbe représentative

🔑 Formules clés à retenir

(e^u)' = u'·e^u
(ln u)' = u'/u
(uⁿ)' = n·u'·u^n-1
(√u)' = u'/(2√u)
Tangente : y = f'(a)(x-a) + f(a)
TAF : f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)

Dérivabilité et étude de fonctions — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

8 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 8 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Calcul de dérivées

🟢 Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

f(x) = x³ - 4x² + 7x - 2
g(x) = (2x + 1)(x² - 3)
h(x) = (3x - 1)/(x + 2)
k(x) = √(2x + 5)
m(x) = e^3x-1
p(x) = ln(x² + 1)

Ma réponse

Correction détaillée

1.

f'(x) = 3x² - 8x + 7

2.

g'(x) = 2(x²-3) + (2x+1)(2x) = 2x²-6+4x²+2x = 6x² + 2x - 6

3.

h'(x) = (3(x+2) - (3x-1)·1)/(x+2)² = (3x+6-3x+1)/(x+2)² = 7/(x+2)²

4.

k'(x) = 2/(2√(2x+5)) = 1/√(2x+5)

5.

m'(x) = 3·e^3x-1 = 3e^3x-1

6.

p'(x) = 2x/(x²+1) = 2x/(x²+1)

Tangente à une courbe

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = x³ - 3x + 1.

Calculer f'(x).
Déterminer l'équation de la tangente (T) à C_f au point d'abscisse x₀ = 1.
Déterminer les points de C_f où la tangente est horizontale.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

f'(x) = 3x² - 3

2.

f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 et f'(1) = 3 - 3 = 0

(T) : y = f'(1)(x-1) + f(1) = 0·(x-1) + (-1)

(T) : y = -1

3.

Tangente horizontale ⟺ f'(x) = 0 ⟺ 3x² - 3 = 0 ⟺ x² = 1 ⟺ x = ±1

Points : (1, -1) et (-1, 3)

Règles de dérivation - Produit, quotient, composée

🟢 Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

f(x) = (x² + 1)·sin(x)
g(x) = e^x·cos(x)
h(x) = sin(x)/(x² + 1)
k(x) = ln(x² + x + 1)
m(x) = √(x² - 3x + 2)
p(x) = e^sin(x)

Ma réponse

Correction détaillée

1. Règle du produit : (uv)' = u'v + uv'

f'(x) = 2x·sin(x) + (x²+1)·cos(x) = 2x·sin(x) + (x²+1)·cos(x)

2.

g'(x) = e^x·cos(x) + e^x·(-sin(x)) = e^x(cos(x) - sin(x))

3. Règle du quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v²

h'(x) = (cos(x)·(x²+1) - sin(x)·2x)/(x²+1)²

= ((x²+1)cos(x) - 2x·sin(x))/(x²+1)²

4. Règle de la chaîne : (ln u)' = u'/u

k'(x) = (2x+1)/(x²+x+1) = (2x+1)/(x²+x+1)

5. (√u)' = u'/(2√u)

m'(x) = (2x-3)/(2√(x²-3x+2)) = (2x-3)/(2√(x²-3x+2))

6. (e^u)' = u'·e^u

p'(x) = cos(x)·e^sin(x) = cos(x)·e^sin(x)

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Étude complète d'une fonction

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = (x² - 1)·e^-x.

Déterminer le domaine de définition de f.
Calculer les limites de f en -∞ et en +∞.
Calculer f'(x) et étudier son signe.
Dresser le tableau de variation de f.
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

D_f = ℝ (polynôme × exponentielle)

2.

lim_x→+∞ (x²-1)e^-x = 0 (croissances comparées : e^x >> x²)

lim_x→-∞ (x²-1)e^-x = +∞ · +∞ = +∞

3.

f'(x) = 2x·e^-x + (x²-1)·(-e^-x) = e^-x(2x - x² + 1) = e^-x(-x² + 2x + 1)

Signe de -x² + 2x + 1 : Δ = 4 + 4 = 8, x = (2±2√2)/2 = 1 ± √2

f'(x) > 0 ⟺ x ∈ ]1-√2, 1+√2[

4. Tableau de variation

f décroissante sur ]-∞, 1-√2], croissante sur [1-√2, 1+√2], décroissante sur [1+√2, +∞[

Min en x = 1-√2 : f(1-√2) = ((1-√2)²-1)·e^-(1-√2) = (2-2√2)·e^√2-1

Max en x = 1+√2 : f(1+√2) = (2+2√2)·e^-1-√2

5.

f(0) = -1, f'(0) = e⁰(0-0+1) = 1

y = x - 1

Tableau de variations complet et asymptotes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = (x² - 2x + 3)/(x - 1) définie sur ℝ{1}.

Calculer les limites de f en 1^-, 1⁺, +∞ et -∞.
Montrer que la droite y = x - 1 est asymptote oblique à la courbe de f.
Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations complet de f.
Déterminer les extrema locaux de f.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Limites

lim_x→1⁻ f(x) : au voisinage de 1, x²-2x+3 → 2 > 0 et x-1 → 0⁻, donc f(x) → -∞

lim_x→1⁺ f(x) : x-1 → 0⁺, donc f(x) → +∞

La droite x = 1 est asymptote verticale.

En +∞ et -∞ : divisons. (x²-2x+3)/(x-1) = x - 1 + 2/(x-1) (division euclidienne)

Donc lim (f(x)-(x-1)) = lim 2/(x-1) = 0 : la droite y = x-1 est asymptote oblique en ±∞.

2. Division euclidienne

x²-2x+3 = (x-1)(x-1) + 2, donc f(x) = x - 1 + 2/(x-1). ✓

3. Position par rapport à l'asymptote

f(x) - (x-1) = 2/(x-1). Ce terme est positif si x > 1 et négatif si x < 1.

Courbe au-dessus de l'asymptote pour x > 1, en-dessous pour x < 1.

4. Dérivée

f'(x) = 1 - 2/(x-1)² = ((x-1)²-2)/(x-1)² = (x²-2x-1)/(x-1)²

f'(x) = 0 ⟺ x²-2x-1 = 0 ⟺ x = 1 ± √2

Sur ]-∞, 1-√2] : f' > 0 (croissante) ; sur [1-√2, 1[ : f' < 0 (décroissante)

Sur ]1, 1+√2] : f' < 0 (décroissante) ; sur [1+√2, +∞[ : f' > 0 (croissante)

5. Extrema

Maximum local en x = 1-√2 : f(1-√2) = (1-√2) - 1 + 2/(1-√2-1) = -√2 + 2/(-√2) = -√2 - √2 = -2√2

Minimum local en x = 1+√2 : f(1+√2) = √2 + 2/√2 = √2 + √2 = 2√2

Optimisation - Problème concret

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On veut fabriquer une boîte cylindrique sans couvercle, de volume fixé V = 500π cm³.

Soit r le rayon de la base (en cm) et h la hauteur (en cm).

Exprimer h en fonction de r en utilisant la contrainte de volume.
Exprimer la surface totale S(r) (base + surface latérale) en fonction de r seul.
Calculer S'(r) et déterminer la valeur de r qui minimise S(r) sur ]0, +∞[.
Calculer la hauteur et la surface minimale correspondantes.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Contrainte de volume

V = πr²h = 500π ⟹ h = 500/r²

2. Surface totale

Aire base = πr², Aire latérale = 2πrh = 2πr·(500/r²) = 1000π/r

S(r) = πr² + 1000π/r pour r > 0

3. Minimisation

S'(r) = 2πr - 1000π/r²

S'(r) = 0 ⟺ 2πr = 1000π/r² ⟺ 2r³ = 1000 ⟺ r³ = 500 ⟺ r = ∛500 = 5∛4 ≈ 7.94 cm

S''(r) = 2π + 2000π/r³ > 0 : c'est bien un minimum.

4. Surface minimale

h = 500/r² = 500/(500^{2/3}) = 500^{1/3} = ∛500 = r

Remarquable : h = r à l'optimum (la hauteur égale le rayon).

S_min = πr² + 1000π/r = π·500^{2/3} + 1000π·500^{-1/3} = 3π·500^{2/3} ≈ 594π ≈ 1866 cm²

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Théorème de Rolle et accroissements finis (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = x·e^-x²/2.

Montrer que f est impaire et calculer ses limites en ±∞.
Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations complet.
Montrer que pour tout x ∈ ℝ : |x·e^-x²/2| ≤ e^-1/2.
En appliquant le théorème des accroissements finis à f sur [a, b], montrer que :

|f(b) - f(a)| ≤ |b - a| · max_[a,b]|f'(x)|

En déduire que pour tout a,b ∈ ℝ : |b·e^-b²/2 - a·e^-a²/2| ≤ |b-a|.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Imparité et limites

f(-x) = (-x)·e^-x²/2 = -x·e^-x²/2 = -f(x) : f est impaire. ✓

lim_x→+∞ x·e^-x²/2 = 0 (croissances comparées : e^x²/2 >> x)

lim_x→-∞ x·e^-x²/2 = 0 (par imparité)

2. Dérivée et variations

f'(x) = e^-x²/2 + x·(-x)·e^-x²/2 = e^-x²/2(1 - x²)

f'(x) = 0 ⟺ x² = 1 ⟺ x = ±1

f'(x) > 0 sur ]-1, 1[ et f'(x) < 0 sur ]-∞,-1[ et ]1,+∞[

Maximum en x = 1 : f(1) = 1·e^-1/2 = e^-1/2

Minimum en x = -1 : f(-1) = -e^-1/2 (par imparité)

3. Inégalité

f atteint son maximum absolu en x = 1 (valeur e^-1/2) et son minimum en x = -1 (valeur -e^-1/2).

Donc pour tout x ∈ ℝ : -e^-1/2 ≤ x·e^-x²/2 ≤ e^-1/2

⟹ |x·e^-x²/2| ≤ e^-1/2. ✓

4. Théorème des accroissements finis

f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Par le TAF :

∃c ∈ ]a,b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)·(b-a)

Donc |f(b)-f(a)| = |f'(c)|·|b-a| ≤ |b-a|·max_[a,b]|f'|. ✓

5. Application

|f'(x)| = |1-x²|·e^-x²/2 ≤ e^-x²/2 ≤ e⁰ = 1

Donc max|f'(x)| ≤ 1 sur tout intervalle, et par le TAF :

|b·e^-b²/2 - a·e^-a²/2| = |f(b)-f(a)| ≤ |b-a|. ✓

Étude de fonction avec paramètre (Bac national)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f_m(x) = x³ - 3mx + 2 où m est un paramètre réel.

Étudier les variations de f_m selon les valeurs de m.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles f_m admet un maximum local et un minimum local.
Montrer que si m > 0, l'équation f_m(x) = 0 admet trois solutions distinctes si et seulement si m > 1.
Application : résoudre x³ - 6x + 2 = 0 (nombre de solutions).

Ma réponse

Correction détaillée

1. Variations

f'_m(x) = 3x² - 3m = 3(x² - m)

Si m ≤ 0 : f'(x) ≥ 0 pour tout x, f est croissante sur ℝ.

Si m > 0 : f'(x) = 0 ⟺ x = ±√m

f croissante sur ]-∞, -√m], décroissante sur [-√m, √m], croissante sur [√m, +∞[

2. Extrema locaux

f admet un max local et un min local ⟺ m > 0

Max local en x = -√m : f(-√m) = -m√m + 3m√m + 2 = 2m√m + 2

Min local en x = √m : f(√m) = m√m - 3m√m + 2 = -2m√m + 2

3. Trois solutions

f admet 3 solutions ⟺ max local > 0 et min local < 0

Max local = 2m√m + 2 > 0 toujours vrai (m > 0)

Min local = -2m√m + 2 < 0 ⟺ 2m√m > 2 ⟺ m√m > 1 ⟺ m^3/2 > 1 ⟺ m > 1

4. Application

x³ - 6x + 2 = 0 : ici 3m = 6, donc m = 2 > 1.

L'équation admet trois solutions distinctes.

Dérivabilité et étude de fonctions

Dérivabilité et étude de fonctions — Résumé de cours

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I. Dérivabilité

Définition

Dérivées des fonctions usuelles

Règles de dérivation

II. Tangente

III. Théorème de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle

Théorème des accroissements finis (TAF)

IV. Méthode d'étude d'une fonction

🔑 Formules clés à retenir

Dérivabilité et étude de fonctions — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calcul de dérivées

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Tangente à une courbe

1.

2.

3.

Règles de dérivation - Produit, quotient, composée

1. Règle du produit : (uv)' = u'v + uv'

2.

3. Règle du quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v²

4. Règle de la chaîne : (ln u)' = u'/u

5. (√u)' = u'/(2√u)

6. (eu)' = u'·eu

🟡 Exercices Intermédiaires

Étude complète d'une fonction

1.

2.

3.

4. Tableau de variation

5.

Tableau de variations complet et asymptotes

1. Limites

2. Division euclidienne

3. Position par rapport à l'asymptote

4. Dérivée

5. Extrema

Optimisation - Problème concret

1. Contrainte de volume

2. Surface totale

3. Minimisation

4. Surface minimale

🔴 Exercices Difficiles

Théorème de Rolle et accroissements finis (Bac)

1. Imparité et limites

2. Dérivée et variations

3. Inégalité

4. Théorème des accroissements finis

5. Application

Étude de fonction avec paramètre (Bac national)

1. Variations

2. Extrema locaux

3. Trois solutions

4. Application

6. (e^u)' = u'·e^u