Fonctions exponentielles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Fonction exponentielle

Définition

La fonction exp est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1.

Notation : exp(x) = e^x

Propriétés algébriques

e^a+b = e^a · e^b
e^a-b = e^a/e^b
(e^a)ⁿ = e^na
e⁰ = 1, e¹ = e ≈ 2.718
e^x > 0 pour tout x ∈ ℝ

Dérivée

(e^x)' = e^x
(e^u)' = u' · e^u

Limites

lim_x→+∞ e^x = +∞
lim_x→-∞ e^x = 0
lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1
lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞ (croissances comparées)
lim_x→-∞ xⁿ·e^x = 0

II. Fonction x ↦ a^x

Pour a > 0 : a^x = e^x·ln(a)

(a^x)' = ln(a) · a^x

III. Équations et inéquations

e^a = e^b ⟺ a = b

e^a < e^b ⟺ a < b (car exp est strictement croissante)

🔑 Formules clés à retenir

e^a+b = e^a·e^b
(e^u)' = u'·e^u
lim (e^x-1)/x = 1 (x→0)
lim e^x/xⁿ = +∞ (x→+∞)
a^x = e^x·ln(a)

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Résolution d'équations exponentielles

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

e^2x-1 = e³
e^x² = e⁴
e^2x - 3e^x + 2 = 0
2^x = 32

Ma réponse

Correction détaillée

1.

2x-1 = 3 ⟹ x = 2

2.

x² = 4 ⟹ x = ±2

3.

On pose t = e^x > 0 : t² - 3t + 2 = 0 ⟹ (t-1)(t-2) = 0

t = 1 ⟹ e^x = 1 ⟹ x = 0

t = 2 ⟹ e^x = 2 ⟹ x = ln2

S = {0, ln2}

4.

2^x = 2⁵ ⟹ x = 5

Inéquations et systèmes exponentiels

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

e^2x ≥ e^x+3
e^x + e^-x ≥ 2
Résoudre le système : e^x+y = 4 et e^x-y = 1
4^x - 3·2^x - 4 = 0 (poser t = 2^x)

Ma réponse

Correction détaillée

1.

e^2x ≥ e^x+3 ⟺ 2x ≥ x+3 ⟺ x ≥ 3

S = [3, +∞[

2.

e^x + e^-x ≥ 2. On pose t = e^x > 0 : t + 1/t ≥ 2

⟺ t² - 2t + 1 ≥ 0 ⟺ (t-1)² ≥ 0 : toujours vrai.

S = ℝ (avec égalité seulement pour t = 1, c'est-à-dire x = 0).

3. Système

e^x+y = 4 ⟹ x+y = ln4 = 2ln2

e^x-y = 1 ⟹ x-y = 0, donc x = y

2x = 2ln2 ⟹ x = ln2, y = ln2

4. Substitution t = 2^x > 0

4^x = (2^x)² = t², donc : t² - 3t - 4 = 0

(t-4)(t+1) = 0 ⟹ t = 4 ou t = -1

t = -1 impossible (t > 0). t = 4 ⟹ 2^x = 4 = 2² ⟹ x = 2

Modélisation exponentielle

🟢 Facile

Énoncé

Une population bactérienne suit la loi N(t) = N₀·e^kt où t est en heures.

À t = 0 : N₀ = 1000 bactéries. À t = 3h : N(3) = 8000 bactéries.

Déterminer la constante k.
Calculer le nombre de bactéries après 6 heures.
Au bout de combien de temps la population aura-t-elle atteint 10⁶ bactéries ?
Calculer le temps de doublement (durée pour que la population double).

Ma réponse

Correction détaillée

1. Détermination de k

N(3) = 1000·e^3k = 8000 ⟹ e^3k = 8 = 2³

3k = ln(8) = 3ln(2) ⟹ k = ln2 ≈ 0.693 h⁻¹

Donc N(t) = 1000·e^t·ln2 = 1000·2^t

2. N(6)

N(6) = 1000·2⁶ = 1000·64 = 64 000 bactéries

3. Atteindre 10⁶

1000·2^t = 10⁶ ⟹ 2^t = 1000 ⟹ t = log₂(1000) = ln(1000)/ln(2)

t = 3ln(10)/ln(2) ≈ 3×2.303/0.693 ≈ 9.97 heures

4. Temps de doublement

2N₀ = N₀·e^kτ ⟹ e^kτ = 2 ⟹ kτ = ln2 ⟹ τ = ln2/k = ln2/ln2 = 1 heure

(La population double chaque heure, ce qui est cohérent avec N(t) = 1000·2^t.)

🟡 Exercices Intermédiaires

2 exercices

Étude de f(x) = x·e-x

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = x·e^-x définie sur ℝ.

Calculer les limites de f en -∞ et en +∞.
Calculer f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variation.
Montrer que l'équation f(x) = k admet deux solutions si et seulement si 0 < k < 1/e.
Montrer que pour tout x ≥ 0 : x·e^-x ≤ 1/e.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

lim_x→-∞ x·e^-x = (-∞)·(+∞) = -∞

lim_x→+∞ x·e^-x = lim x/e^x = 0 (croissances comparées)

2.

f'(x) = e^-x + x·(-e^-x) = e^-x(1 - x) = (1-x)e^-x

e^-x > 0 toujours, donc f'(x) > 0 ⟺ x < 1

f croissante sur ]-∞, 1], décroissante sur [1, +∞[

Maximum en x = 1 : f(1) = 1·e^-1 = 1/e

3.

f(-∞) = -∞, f(1) = 1/e (max), f(+∞) = 0

La droite y = k coupe la courbe en 2 points ⟺ 0 < k < 1/e ✓

4.

Le maximum de f sur [0,+∞[ est f(1) = 1/e. Donc x·e^-x ≤ 1/e pour tout x ≥ 0. ✓

Étude de f(x) = (x+1)·e-x

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = (x+1)·e^-x définie sur ℝ.

Calculer les limites de f en -∞ et en +∞. Préciser les asymptotes.
Calculer f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations.
Déterminer les coordonnées du maximum de f.
Calculer l'intégrale ∫₀² f(x) dx par intégration par parties.
Montrer que pour tout x ≥ 0 : (x+1)e^-x ≤ 1.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Limites et asymptotes

lim_x→-∞ (x+1)e^-x = (-∞)·(+∞) = -∞

lim_x→+∞ (x+1)e^-x = 0 (croissances comparées : e^x >> x)

La droite y = 0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale en +∞.

2. Dérivée

f'(x) = e^-x + (x+1)·(-e^-x) = e^-x(1 - x - 1) = -x·e^-x

e^-x > 0 toujours, donc f'(x) > 0 ⟺ -x > 0 ⟺ x < 0

f croissante sur ]-∞, 0] et décroissante sur [0, +∞[

3. Maximum

Maximum en x = 0 : f(0) = (0+1)·e⁰ = 1

Point de maximum : (0, 1)

4. Intégrale par parties

∫₀² (x+1)e^-x dx. IPP : u = x+1, v' = e^-x ⟹ u' = 1, v = -e^-x

= [-(x+1)e^-x]₀² + ∫₀² e^-x dx

= (-3e^-2 - (-1)) + [-e^-x]₀²

= -3e^-2 + 1 + (-e^-2 + 1)

= 2 - 4e^-2 = 2 - 4/e²

5. Inégalité

f est croissante sur ]-∞, 0] jusqu'au maximum f(0) = 1, puis décroissante.

Pour x ≥ 0 : f est décroissante, donc f(x) ≤ f(0) = 1.

Donc pour tout x ≥ 0 : (x+1)e^-x ≤ 1. ✓

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Intégrale par parties et suite liée à ex (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

On pose I_n = ∫₀¹ xⁿ·e^x dx pour n ∈ ℕ.

Calculer I₀.
Montrer que I_n = e - n·I_n-1 pour n ≥ 1 (relation de récurrence).
Calculer I₁, I₂, I₃.
Montrer que 0 < I_n < e/(n+1) pour tout n ≥ 0.
En déduire que lim_n→+∞ n!·I_n = e - Σ_k=0^∞ 1/k! = 0 (interprétation via l'exponentielle).

Ma réponse

Correction détaillée

1. I₀

I₀ = ∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e - 1

2. Relation de récurrence

IPP : u = xⁿ, v' = e^x ⟹ u' = nx^n-1, v = e^x

I_n = [xⁿ·e^x]₀¹ - n·∫₀¹ x^n-1·e^x dx = e - n·I_n-1. ✓

3. Calculs

I₁ = e - 1·I₀ = e - (e-1) = 1

I₂ = e - 2·I₁ = e - 2 = e - 2

I₃ = e - 3·I₂ = e - 3(e-2) = e - 3e + 6 = 6 - 2e

4. Encadrement

Pour x ∈ [0,1] : 0 ≤ xⁿ·e^x ≤ 1ⁿ·e = e (car e^x ≤ e sur [0,1])

0 < I_n ≤ e·∫₀¹ xⁿ dx = e·1/(n+1)

Donc 0 < I_n < e/(n+1). ✓

5. Limite

En déroulant la récurrence : I_n = e - n·I_n-1 = e - n(e-(n-1)·I_n-2) = ...

On montre que n!·I_n = n!·e - n!·(e - 1/0! - 1/1! - ... - 1/n!)

Ou plus simplement : par la question 4, 0 < n!·I_n < n!·e/(n+1) → 0 quand n → +∞

Donc lim_n→+∞ n!·I_n = 0. Ce résultat montre que e est bien la limite de Σ 1/k!. ✓

Problème d'optimisation (Bac national)

🔴 Difficile

Énoncé

On considère la fonction g(x) = (ax + b)e^-x + 1 où a et b sont des réels.

Déterminer a et b sachant que g(0) = 2 et g'(0) = -1.
Étudier les variations de g et tracer sa courbe.
Montrer que g admet une asymptote y = 1 et étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe, l'asymptote et les droites x = 0 et x = 2.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

g(0) = (0+b)e⁰ + 1 = b + 1 = 2, donc b = 1

g'(x) = a·e^-x + (ax+b)·(-e^-x) = e^-x(a - ax - b)

g'(0) = 1·(a - 0 - 1) = a - 1 = -1, donc a = 0

Mais vérifions : g'(0) = a - b = 0 - 1 = -1 ✓

Donc g(x) = e^-x + 1 (avec a=0, b=1)... Cela donne g'(0) = -1 ✓

Reprenons avec a ≠ 0 : g'(x) = e^-x(a - ax - b), g'(0) = a - b = -1

Avec b = 1 : a = 0. Prenons plutôt a et b libres.

g(x) = e^-x + 1. g'(x) = -e^-x.

2.

g'(x) = -e^-x < 0 : g est strictement décroissante sur ℝ.

lim_x→-∞ g(x) = +∞, lim_x→+∞ g(x) = 1

3.

g(x) - 1 = e^-x > 0 pour tout x.

La courbe est au-dessus de l'asymptote y = 1. ✓

4.

A = ∫₀² (g(x) - 1) dx = ∫₀² e^-x dx

= [-e^-x]₀² = -e^-2 + e⁰ = 1 - e^-2 ≈ 0.865 u.a.

Fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Fonction exponentielle

Définition

Propriétés algébriques

Dérivée

Limites

II. Fonction x ↦ ax

III. Équations et inéquations

🔑 Formules clés à retenir

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Résolution d'équations exponentielles

1.

2.

3.

4.

Inéquations et systèmes exponentiels

1.

2.

3. Système

4. Substitution t = 2x > 0

Modélisation exponentielle

1. Détermination de k

2. N(6)

3. Atteindre 10⁶

4. Temps de doublement

🟡 Exercices Intermédiaires

Étude de f(x) = x·e<sup>-x</sup>

1.

2.

3.

4.

Étude de f(x) = (x+1)·e<sup>-x</sup>

1. Limites et asymptotes

2. Dérivée

3. Maximum

4. Intégrale par parties

5. Inégalité

🔴 Exercices Difficiles

Intégrale par parties et suite liée à e<sup>x</sup> (Bac)

1. I₀

2. Relation de récurrence

3. Calculs

4. Encadrement

5. Limite

Problème d'optimisation (Bac national)

1.

2.

3.

4.

II. Fonction x ↦ a^x

4. Substitution t = 2^x > 0