Géométrie dans l'espace

الهندسة في الفضاء

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Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Repère orthonormé de l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; i→, j→, k→). Tout vecteur u→ s'écrit de façon unique u→ = x·i→ + y·j→ + z·k→, et l'on note u→(x, y, z).

Tout point M est repéré par ses coordonnées (x, y, z) telles que OM→ = x·i→ + y·j→ + z·k→.

II. Produit scalaire

Soient u→(x, y, z) et v→(x', y', z'). Le produit scalaire est :

u→ · v→ = xx' + yy' + zz'

On a aussi u→ · v→ = ‖u→‖·‖v→‖·cos(u→, v→).

Norme : ‖u→‖ = √(x² + y² + z²).

Orthogonalité : u→ ⊥ v→ ⇔ u→ · v→ = 0.

III. Produit vectoriel

Soient u→(x, y, z) et v→(x', y', z'). Le produit vectoriel u→ ∧ v→ est le vecteur de coordonnées :

u→ ∧ v→ = ( yz' − zy' ; zx' − xz' ; xy' − yx' )

Propriétés :

  • u→ ∧ v→ = −v→ ∧ u→ (antisymétrie).
  • u→ ∧ v→ est orthogonal à u→ et à v→.
  • u→ ∧ v→ = 0→ ⇔ u→ et v→ sont colinéaires.
  • ‖u→ ∧ v→‖ = ‖u→‖·‖v→‖·|sin(u→, v→)|.
  • Aire du parallélogramme ABDC = ‖AB→ ∧ AC→‖. Aire du triangle ABC = ½·‖AB→ ∧ AC→‖.

IV. Équation cartésienne d'un plan

Un plan (P) de vecteur normal n→(a, b, c) passant par A(x₀, y₀, z₀) a pour équation :

a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0

soit ax + by + cz + d = 0 avec d = −(ax₀ + by₀ + cz₀).

Déterminer l'équation d'un plan passant par trois points A, B, C non alignés :

  1. Calculer n→ = AB→ ∧ AC→ (vecteur normal).
  2. Écrire : n→ · AM→ = 0.

V. Représentation paramétrique d'une droite

La droite (D) passant par A(x₀, y₀, z₀) et de vecteur directeur u→(a, b, c) est l'ensemble des M(x, y, z) tels que :

x = x₀ + ta,   y = y₀ + tb,   z = z₀ + tc    (t ∈ ℝ)

VI. Distances

Distance d'un point à un plan : pour M₀(x₀, y₀, z₀) et (P) : ax + by + cz + d = 0,

d(M₀, P) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Distance d'un point à une droite : pour M₀ et (D) passant par A de vecteur directeur u→,

d(M₀, D) = ‖AM₀→ ∧ u→‖ / ‖u→‖

VII. Sphère

La sphère de centre Ω(a, b, c) et de rayon R > 0 a pour équation :

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

Une équation de la forme x² + y² + z² − 2αx − 2βy − 2γz + δ = 0 représente une sphère ssi α² + β² + γ² − δ > 0, de centre (α, β, γ) et rayon √(α² + β² + γ² − δ).

Intersection sphère-plan : soient S de centre Ω, rayon R, et P plan. On pose d = d(Ω, P).

  • Si d > R : l'intersection est vide.
  • Si d = R : P est tangent à S (intersection = un point).
  • Si d < R : l'intersection est un cercle de rayon r = √(R² − d²) et de centre H (projeté orthogonal de Ω sur P).

VIII. Positions relatives

Deux plans de vecteurs normaux n→ et n→' :

  • Parallèles ⇔ n→ et n→' colinéaires.
  • Perpendiculaires ⇔ n→ · n→' = 0.

Droite et plan avec u→ vecteur directeur et n→ normal :

  • Parallèles ⇔ u→ · n→ = 0.
  • Perpendiculaires ⇔ u→ et n→ colinéaires.

🔑 Formules clés à retenir

  • Produit scalaire : u→·v→ = xx' + yy' + zz'
  • Produit vectoriel : u→ ∧ v→ = (yz'−zy', zx'−xz', xy'−yx')
  • Aire(ABC) = ½·‖AB→ ∧ AC→‖
  • d(M₀, P) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)
  • d(M₀, D) = ‖AM₀→ ∧ u→‖ / ‖u→‖
  • Sphère : (x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = R²
  • Section S∩P : cercle de rayon √(R²−d²) si d
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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

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Produit vectoriel non commutatif : u→ ∧ v→ = −v→ ∧ u→. L'ordre compte ! Changer l'ordre inverse le signe de chaque composante. Très différent du produit scalaire (commutatif) !

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Plan perpendiculaire à une droite : si la droite a pour vecteur directeur u→, le plan perpendiculaire a u→ comme vecteur normal. Un plan perpendiculaire à une droite contient toutes les directions orthogonales à u→.

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Distance point-plan — ne pas oublier la valeur absolue : d(M₀, P) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²). Le numérateur peut être négatif sans la valeur absolue, ce qui donnerait une distance négative (impossible !).

🟢 Astuces de pros

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Trouver un vecteur normal à un plan : si tu connais deux vecteurs directeurs du plan (u→ et v→), leur produit vectoriel u→ ∧ v→ est normal au plan. Très utile pour trouver l'équation du plan !

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Section sphère-plan — méthode : calcule d = distance(centre, plan). Si d < R → cercle de rayon r = √(R²−d²). Si d = R → tangence. Si d > R → vide. La formule d(centre, plan) s'applique directement.

💡

Aire d'un triangle en 3D : Aire(ABC) = ½·‖AB→ ∧ AC→‖. Calcule le produit vectoriel, puis sa norme. Beaucoup plus rapide que la formule avec l'angle si tu as les coordonnées des points.