Limites et continuité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Limites d'une fonction

Limites en un point

On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers a si :

∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x - a| < δ ⟹ |f(x) - ℓ| < ε

Limites de référence

lim_x→0 sin(x)/x = 1
lim_x→+∞ (1 + 1/x)^x = e
lim_x→0 (1 + x)^1/x = e
lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1
lim_x→0 ln(1 + x)/x = 1

Formes indéterminées

0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 × ∞, 1^∞, 0⁰

Opérations sur les limites

Si lim f = ℓ et lim g = ℓ' :

lim(f + g) = ℓ + ℓ'
lim(f × g) = ℓ × ℓ'
lim(f/g) = ℓ/ℓ' (si ℓ' ≠ 0)

II. Croissances comparées

Au voisinage de +∞

lim_x→+∞ xⁿ/e^x = 0 (l'exponentielle l'emporte sur les puissances)
lim_x→+∞ ln(x)/x^α = 0 pour α > 0 (les puissances l'emportent sur ln)
lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞

III. Continuité

Définition

f est continue en a si lim_x→a f(x) = f(a).

f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si f est continue sur [a,b] et si f(a) · f(b) < 0, alors ∃c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = 0.

Corollaire (bijection) : Si f est continue et strictement monotone sur [a,b], alors l'équation f(x) = k admet une unique solution pour tout k entre f(a) et f(b).

IV. Prolongement par continuité

Si lim_x→a f(x) = ℓ (finie) et f n'est pas définie en a, on prolonge f par continuité en posant f(a) = ℓ.

🔑 Formules clés à retenir

lim sin(x)/x = 1 (x→0)
lim (e^x-1)/x = 1 (x→0)
lim ln(1+x)/x = 1 (x→0)
e^x >> xⁿ >> ln(x) en +∞
TVI : f continue, f(a)·f(b) < 0 ⟹ ∃c : f(c) = 0

Limites et continuité — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

8 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 8 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Calcul de limites simples

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ (3x² - 5x + 1)/(2x² + x - 4)
lim_x→1 (x² - 1)/(x - 1)
lim_x→+∞ √(x² + 3x) - x
lim_x→0 sin(3x)/x

Ma réponse

Correction détaillée

1.

= lim x²(3 - 5/x + 1/x²) / x²(2 + 1/x - 4/x²) = 3/2

2.

= lim (x-1)(x+1)/(x-1) = lim(x+1) = 2

3.

On multiplie par le conjugué :

= lim (x²+3x-x²)/(√(x²+3x)+x) = lim 3x/(x(√(1+3/x)+1))

= lim 3/(√(1+3/x)+1) = 3/(1+1) = 3/2

4.

= lim 3·sin(3x)/(3x) = 3 · 1 = 3

Continuité et TVI

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = x³ + 2x - 5.

Montrer que f est continue et strictement croissante sur ℝ.
Calculer f(1) et f(2).
En déduire que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans ]1, 2[.
Donner un encadrement de α à 0.5 près.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

f est polynomiale donc continue sur ℝ.

f'(x) = 3x² + 2 > 0 pour tout x ∈ ℝ, donc f est strictement croissante.

2.

f(1) = 1 + 2 - 5 = -2 < 0

f(2) = 8 + 4 - 5 = 7 > 0

3.

f est continue et strictement croissante sur [1,2], f(1) < 0 < f(2).

Par le TVI (corollaire de bijection), l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α ∈ ]1, 2[. ✓

4.

f(1.5) = 3.375 + 3 - 5 = 1.375 > 0

Donc α ∈ ]1, 1.5[. Encadrement : 1 < α < 1.5

Formes indéterminées - Conjugués et factorisation

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les limites suivantes en levant les formes indéterminées :

lim_x→+∞ (√(x²+x) - x)
lim_x→2 (x² - 4)/(x³ - 8)
lim_x→+∞ (2x³ - x + 1)/(x³ + 5x² - 2)
lim_x→0 (√(1+x) - 1)/x

Ma réponse

Correction détaillée

1. Forme ∞ - ∞ (conjugué)

On multiplie et divise par le conjugué (√(x²+x) + x) :

= lim (x²+x - x²)/(√(x²+x) + x) = lim x/(x·√(1+1/x) + x)

= lim 1/(√(1+1/x) + 1) = 1/(1+1) = 1/2

2. Forme 0/0 (factorisation)

x² - 4 = (x-2)(x+2)

x³ - 8 = (x-2)(x²+2x+4)

= lim (x+2)/(x²+2x+4) = (2+2)/(4+4+4) = 4/12 = 1/3

3. Forme ∞/∞ (diviser par x³)

= lim (2 - 1/x² + 1/x³)/(1 + 5/x - 2/x³) = 2/1 = 2

4. Forme 0/0 (conjugué)

= lim (1+x-1)/(x(√(1+x)+1)) = lim x/(x(√(1+x)+1)) = 1/(1+1) = 1/2

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Limites et formes indéterminées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

lim_x→0 (1 - cos(x))/x²
lim_x→+∞ x·ln(1 + 1/x)
lim_x→0⁺ x·ln(x)
lim_x→+∞ (1 + 2/x)^x
lim_x→1 (xⁿ - 1)/(x - 1) pour n ∈ ℕ*

Ma réponse

Correction détaillée

1.

(1-cos x)/x² = 2sin²(x/2)/x² = 2·(sin(x/2))²/(x/2)²·(1/4)·...

En utilisant sin(x)/x → 1 : = (1/2)·(sin(x/2)/(x/2))² → 1/2

2.

On pose t = 1/x → 0⁺ : = (1/t)·ln(1+t) = ln(1+t)/t → 1

3.

On pose t = -ln(x) → +∞ : x = e^-t

x·ln(x) = -t·e^-t → 0 (car e^t >> t)

4.

= lim ((1 + 2/x)^x/2)² = (lim(1+2/x)^x/2)²

On pose u = x/2 : (1+1/u)^u → e

Résultat : e²

5.

= lim (xⁿ-1)/(x-1) = lim (x-1)(x^n-1+x^n-2+...+1)/(x-1)

= 1 + 1 + ... + 1 (n termes) = n

Prolongement par continuité et asymptotes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f définie par f(x) = (e^x - 1 - x)/(x²) pour x ≠ 0.

Calculer lim_x→0 f(x). En déduire un prolongement par continuité de f en 0.
Soit g(x) = (x² - 3x + 2)/(x - 1) pour x ≠ 1. Prolonger g par continuité en 1.
Pour h(x) = x + 2 + 3/(x-1), déterminer l'asymptote oblique en +∞ et la position de la courbe.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Prolongement de f en 0

On utilise le développement limité : e^x ≈ 1 + x + x²/2 au voisinage de 0.

Donc e^x - 1 - x ≈ x²/2

lim_x→0 (e^x-1-x)/x² = lim x²/2 / x² = 1/2

On prolonge f par continuité en posant f(0) = 1/2.

2. Prolongement de g en 1

g(x) = (x²-3x+2)/(x-1) = (x-1)(x-2)/(x-1) = x - 2 (pour x ≠ 1)

lim_x→1 g(x) = 1 - 2 = -1

On prolonge g en posant g(1) = -1.

3. Asymptote oblique de h

h(x) = x + 2 + 3/(x-1). Quand x → ±∞, 3/(x-1) → 0.

La droite y = x + 2 est asymptote oblique en +∞ et en -∞.

h(x) - (x+2) = 3/(x-1). Ce terme est positif si x > 1 : la courbe est au-dessus de l'asymptote pour x > 1, et en-dessous pour x < 1.

TVI et localisation de racines

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = x³ - x - 1.

Montrer que f est continue et strictement croissante sur ℝ.
Montrer qu'il existe un unique réel α dans ]1, 2[ tel que f(α) = 0.
En étudiant le signe de f(1.3) et f(1.4), donner un encadrement de α à 0.1 près.
Soit g(x) = x² - 2. Montrer que l'équation f(x) = g(x) admet au moins une solution dans ]0, 2[.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

f est polynomiale donc continue sur ℝ.

f'(x) = 3x² - 1. f'(x) = 0 ⟺ x = ±1/√3. f'(x) < 0 sur ]-1/√3, 1/√3[, donc f n'est pas monotone sur ℝ entier.

Correction : f admet un min local en x = 1/√3 et max local en x = -1/√3, mais elle est bien continue sur ℝ.

On étudiera la restriction sur [1, 2] : f'(x) = 3x²-1 > 0 pour x ≥ 1, donc f est strictement croissante sur [1,2].

2. Existence et unicité de α

f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0

f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0

f est continue sur [1,2] et f(1)·f(2) < 0. Par le TVI, ∃ α ∈ ]1,2[ tel que f(α) = 0.

f est strictement croissante sur [1,2], donc cette solution est unique. ✓

3. Encadrement de α

f(1.3) = 1.3³ - 1.3 - 1 = 2.197 - 1.3 - 1 = -0.103 < 0

f(1.4) = 1.4³ - 1.4 - 1 = 2.744 - 1.4 - 1 = 0.344 > 0

Donc 1.3 < α < 1.4. ✓

4.

f(x) = g(x) ⟺ x³ - x - 1 = x² - 2 ⟺ h(x) = x³ - x² - x + 1 = 0

h(0) = 1 > 0 et h(2) = 8 - 4 - 2 + 1 = 3 > 0. Essayons h(1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0.

x = 1 est donc solution dans ]0,2[ (on vérifie : 1 ∈ ]0,2[). ✓

On pouvait aussi remarquer h(x) = (x-1)²(x+1), donc x = 1 est racine double dans ]0,2[. ✓

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Étude d'une fonction et continuité (Bac niveau)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f définie sur ℝ par :

f(x) = (x² - 1)/(|x| - 1) si x ≠ ±1
f(1) = 2, f(-1) = a (a ∈ ℝ à déterminer)

Étudier la continuité de f en x = 1.
Déterminer a pour que f soit continue en x = -1.
Calculer lim_x→+∞ f(x) et lim_x→-∞ f(x).
Étudier la dérivabilité de f en x = 0.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Continuité en x = 1

Pour x > 0 et x ≠ 1 : |x| = x, donc f(x) = (x²-1)/(x-1) = (x-1)(x+1)/(x-1) = x+1

lim_x→1⁺ f(x) = 1+1 = 2 = f(1)

Pour x → 1⁻ (x proche de 1, x > 0) : même formule f(x) = x+1 → 2

Donc lim_x→1 f(x) = 2 = f(1) : f est continue en 1. ✓

2. Continuité en x = -1

Pour x < 0 et x ≠ -1 : |x| = -x, donc f(x) = (x²-1)/(-x-1) = (x-1)(x+1)/(-(x+1)) = -(x-1) = 1-x

lim_x→-1 f(x) = 1-(-1) = 2

Pour f continue en -1 : f(-1) = 2, donc a = 2. ✓

3. Limites en ±∞

Pour x → +∞ : f(x) = x+1 → +∞

Pour x → -∞ : f(x) = 1-x → +∞

4. Dérivabilité en x = 0

Pour x > 0 proche de 0 : f(x) = x+1, taux d'accroissement = (f(x)-f(0))/(x-0) = (x+1-1)/x = 1

Pour x < 0 proche de 0 : f(x) = 1-x, taux d'accroissement = (1-x-1)/x = -x/x = -1

Limite à droite = 1 ≠ -1 = limite à gauche.

f n'est pas dérivable en 0 (elle admet cependant un angle = point anguleux). ✓

Continuité - Problème complet (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f la fonction définie par :

f(x) = (x² - x + 1)·e^-x + x - 1 si x ≥ 0

f(x) = x + sin(x)·(e^x - 1)/x si x < 0 (x ≠ 0)

Étudier la continuité de f en 0.
Montrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dans ℝ.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Continuité en 0

Limite à droite : lim_x→0⁺ f(x) = (0-0+1)·e⁰ + 0 - 1 = 1 - 1 = 0

f(0) : f(0) = (1)·1 + 0 - 1 = 0

Limite à gauche : lim_x→0⁻ f(x) = lim (x + sin(x)·(e^x-1)/x)

= 0 + sin(0)·lim(e^x-1)/x... En fait :

sin(x)·(e^x-1)/x = (sin(x)/x)·(e^x-1) → 1·0 = 0

Donc lim_x→0⁻ f(x) = 0 + 0 = 0

lim à gauche = lim à droite = f(0) = 0. f est continue en 0. ✓

2. Solutions de f(x) = 0

Sur [0, +∞[ : f(0) = 0, et f'(x) = -(x²-3x+2)e^-x + 1 > 0 pour x grand.

f(x) ~ x quand x → +∞, donc f(x) → +∞. On montre f a un minimum négatif puis recoupe 0.

x = 0 est une solution. Étude de f' montre une autre solution.

Sur ]-∞, 0[ : Pour x très négatif, f(x) ~ x → -∞ et f(0⁻) = 0.

L'étude de la monotonie montre f strictement croissante sur un voisinage, donnant la deuxième solution.