Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Forme algébrique

Définition

Un nombre complexe z s'écrit z = a + bi avec a, b ∈ ℝ et i² = -1.

a = Re(z) (partie réelle), b = Im(z) (partie imaginaire)

Opérations

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
Conjugué : z̄ = a - bi
z·z̄ = a² + b² = |z|²
Module : |z| = √(a² + b²)

II. Forme trigonométrique

z = |z|(cos θ + i sin θ) = r·e^iθ

θ = arg(z) : argument de z

Formules

|z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| et arg(z₁·z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| et arg(z₁/z₂) = arg(z₁) - arg(z₂)
|zⁿ| = |z|ⁿ et arg(zⁿ) = n·arg(z)

III. Forme exponentielle

z = r·e^iθ (formule d'Euler : e^iθ = cos θ + i sin θ)

IV. Formule de Moivre

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

V. Racines n-ièmes de l'unité

zⁿ = 1 ⟹ z_k = e^2ikπ/n, k = 0, 1, ..., n-1

VI. Applications géométriques

Distance AB = |z_B - z_A|
Milieu de [AB] : z_M = (z_A + z_B)/2
arg((z_C-z_A)/(z_B-z_A)) = angle (A̅B̅, A̅C̅)
Translation : z' = z + t
Rotation de centre Ω et angle θ : z' - z_Ω = e^iθ(z - z_Ω)

🔑 Formules clés à retenir

i² = -1, z·z̄ = |z|²
e^iθ = cosθ + i·sinθ
(cosθ+isinθ)ⁿ = cos(nθ)+isin(nθ)
|z₁z₂| = |z₁|·|z₂|
arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

Nombres complexes — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Forme algébrique et module

🟢 Facile

Énoncé

Soit z₁ = 3 + 2i et z₂ = 1 - 4i.

Calculer z₁ + z₂, z₁ - z₂ et z₁ · z₂.
Calculer |z₁|, |z₂| et z̄₁.
Calculer z₁/z₂ (mettre sous forme algébrique).
Résoudre z² = -9.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

z₁ + z₂ = (3+1) + (2-4)i = 4 - 2i

z₁ - z₂ = (3-1) + (2+4)i = 2 + 6i

z₁·z₂ = (3+2i)(1-4i) = 3-12i+2i-8i² = 3-10i+8 = 11 - 10i

2.

|z₁| = √(9+4) = √13

|z₂| = √(1+16) = √17

z̄₁ = 3 - 2i

3.

z₁/z₂ = (3+2i)(1+4i)/((1-4i)(1+4i)) = (3+12i+2i+8i²)/(1+16)

= (3+14i-8)/17 = (-5+14i)/17 = -5/17 + 14i/17

4.

z² = -9 = 9i² ⟹ z = ±3i. S = {3i, -3i}

Calculs en forme algébrique

🟢 Facile

Énoncé

1. Mettre sous forme algébrique a + bi :

(2 + 3i)(1 - i)
(1 + i)/(2 - i)
(1 + i)² - (1 - i)²
i³ + i⁴ + i⁵

2. Résoudre dans ℂ : z² + 2z + 5 = 0.

3. Trouver les racines carrées de z = 3 + 4i.

Ma réponse

Correction détaillée

1a.

(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i

1b.

(1+i)/(2-i) = (1+i)(2+i)/((2-i)(2+i)) = (2+i+2i+i²)/(4+1) = (2+3i-1)/5 = (1+3i)/5 = 1/5 + 3i/5

1c.

(1+i)² = 1+2i+i² = 2i. (1-i)² = 1-2i+i² = -2i.

(1+i)² - (1-i)² = 2i - (-2i) = 4i

1d.

i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, i⁵ = i

i³ + i⁴ + i⁵ = -i + 1 + i = 1

2. z² + 2z + 5 = 0

Δ = 4 - 20 = -16. √Δ = 4i (car (4i)² = -16)

z = (-2 ± 4i)/2 = -1 + 2i ou -1 - 2i

3. Racines carrées de 3 + 4i

Cherchons z = a + bi tel que z² = 3 + 4i :

a² - b² = 3 et 2ab = 4 ⟹ ab = 2 ⟹ b = 2/a

a² - 4/a² = 3 ⟹ a⁴ - 3a² - 4 = 0 ⟹ (a²-4)(a²+1) = 0 ⟹ a² = 4 ⟹ a = ±2

a = 2 : b = 1. a = -2 : b = -1.

√(3+4i) = ±(2+i). Vérification : (2+i)² = 4+4i+i² = 3+4i ✓

Module, argument et forme exponentielle

🟢 Facile

Énoncé

1. Mettre sous forme exponentielle r·e^iθ les complexes suivants :

z₁ = -1 + i
z₂ = -√3 - i
z₃ = -4 (réel négatif)

2. Calculer |z₁·z₂| et arg(z₁/z₂).

3. En utilisant z₁ = √2·e^i3π/4, calculer z₁⁸.

Ma réponse

Correction détaillée

1a. z₁ = -1 + i

|z₁| = √(1+1) = √2

cos θ = -1/√2, sin θ = 1/√2 ⟹ θ = 3π/4

z₁ = √2 · e^i·3π/4

1b. z₂ = -√3 - i

|z₂| = √(3+1) = 2

cos θ = -√3/2, sin θ = -1/2 ⟹ θ = -5π/6 (ou 7π/6)

z₂ = 2 · e^-i·5π/6

1c. z₃ = -4

|z₃| = 4, arg(z₃) = π

z₃ = 4 · e^iπ

2.

|z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| = √2 · 2 = 2√2

arg(z₁/z₂) = arg(z₁) - arg(z₂) = 3π/4 - (-5π/6) = 3π/4 + 5π/6 = 9π/12 + 10π/12 = 19π/12 (mod 2π)

3. z₁⁸

z₁⁸ = (√2)⁸ · e^i·8·3π/4 = 16 · e^i·6π = 16 · (cos6π + isin6π) = 16 · (1 + 0) = 16

🟡 Exercices Intermédiaires

2 exercices

Forme exponentielle et Moivre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1. Mettre sous forme exponentielle : z₁ = 1 + i, z₂ = √3 - i.

2. Calculer z₁⁶ en utilisant la formule de Moivre.

3. Linéariser cos³(θ) (exprimer en fonction de cos(θ) et cos(3θ)).

4. Déterminer les racines cubiques de 8 (z³ = 8).

Ma réponse

Correction détaillée

1.

z₁ = 1+i : |z₁| = √2, arg(z₁) = π/4 ⟹ z₁ = √2 · e^iπ/4

z₂ = √3-i : |z₂| = 2, arg(z₂) = -π/6 ⟹ z₂ = 2 · e^-iπ/6

2.

z₁⁶ = (√2)⁶ · e^i·6π/4 = 8 · e^i·3π/2 = 8(cos(3π/2) + isin(3π/2)) = 8(0-i) = -8i

3. Linéarisation

cos³θ = ((e^iθ+e^-iθ)/2)³ = (1/8)(e^3iθ + 3e^iθ + 3e^-iθ + e^-3iθ)

= (1/4)(cos3θ + 3cosθ) = (3cosθ + cos3θ)/4

4. Racines de z³ = 8

z_k = 2·e^2ikπ/3, k = 0, 1, 2

z₀ = 2

z₁ = 2e^2iπ/3 = 2(-1/2 + i√3/2) = -1 + i√3

z₂ = 2e^4iπ/3 = -1 - i√3

Formule de Moivre et trigonométrie

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1. En utilisant la formule de Moivre, exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction de cos(θ) et sin(θ).

2. En déduire : cos(3θ) = 4cos³(θ) - 3cos(θ).

3. Résoudre l'équation cos(3θ) = 0 dans [0, 2π].

4. Linéariser sin⁴(θ) (exprimer en termes de cos(2θ) et cos(4θ)).

Ma réponse

Correction détaillée

1. Formule de Moivre

(cosθ + isinθ)³ = cos(3θ) + isin(3θ)

Développons : (cosθ + isinθ)³ = cos³θ + 3cos²θ·(isinθ) + 3cosθ·(isinθ)² + (isinθ)³

= cos³θ + 3icos²θsinθ - 3cosθsin²θ - isin³θ

Partie réelle : cos(3θ) = cos³θ - 3cosθsin²θ

Partie imaginaire : sin(3θ) = 3cos²θsinθ - sin³θ

2. Simplification de cos(3θ)

cos(3θ) = cos³θ - 3cosθ(1-cos²θ) = cos³θ - 3cosθ + 3cos³θ

cos(3θ) = 4cos³θ - 3cosθ. ✓

3. cos(3θ) = 0 sur [0, 2π]

3θ = π/2 + kπ (k ∈ ℤ) ⟺ θ = π/6 + kπ/3

Pour θ ∈ [0, 2π] :

k=0 : π/6 ; k=1 : π/2 ; k=2 : 5π/6 ; k=3 : 7π/6 ; k=4 : 3π/2 ; k=5 : 11π/6

S = {π/6, π/2, 5π/6, 7π/6, 3π/2, 11π/6}

4. Linéarisation de sin⁴(θ)

sin θ = (e^iθ - e^-iθ)/(2i)

sin⁴θ = ((e^iθ-e^-iθ)/(2i))⁴ = (1/16)(e^iθ-e^-iθ)⁴

(e^iθ-e^-iθ)⁴ = e^4iθ - 4e^2iθ + 6 - 4e^-2iθ + e^-4iθ

= 2cos(4θ) - 8cos(2θ) + 6

sin⁴θ = (1/16)(2cos4θ - 8cos2θ + 6) = (3 - 4cos(2θ) + cos(4θ))/8

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Transformations géométriques dans ℂ (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A d'affixe z_A = 2 et B d'affixe z_B = 2i.

On définit la transformation f par z' = (1+i)z - 2i.

Montrer que f est une similitude directe. Préciser son rapport, son angle et son centre.
Déterminer les images de A et B par f.
Calculer f(z_A) et f(z_B).
Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |z' - 2| = |z' + 2| où z' = f(z).
Montrer que si |z| = 1, alors |z'| = √2.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Nature de f

f(z) = (1+i)z + (-2i). Forme z' = az + b avec a = 1+i, b = -2i.

f est une similitude directe de rapport k = |a| = |1+i| = √2 et d'angle arg(a) = arg(1+i) = π/4.

Centre Ω : fixé par f ⟹ z_Ω = az_Ω + b ⟹ z_Ω(1-a) = b

z_Ω = b/(1-a) = -2i/(1-(1+i)) = -2i/(-i) = 2

Le centre est le point Ω(2), c'est le point A. ✓

2 et 3. Images de A et B

f(z_A) = (1+i)·2 - 2i = 2 + 2i - 2i = 2 (le centre est fixe)

f(z_B) = (1+i)·2i - 2i = 2i + 2i² - 2i = -2 ⟹ image de B est le point (-2)

4. |z' - 2| = |z' + 2|

Cette condition signifie que z' est équidistant de 2 et -2, donc z' est sur la médiatrice de [-2, 2].

Médiatrice = axe imaginaire : Re(z') = 0, soit Im uniquement (axe des ordonnées).

z' = (1+i)z - 2i. Re(z') = 0 ⟺ Re((1+i)z) = Re(2i) = 0

Si z = x + iy : Re((1+i)(x+iy)) = Re(x+iy+ix-y) = x-y = 0 ⟺ x = y

L'ensemble est la droite d'équation Im(z) = Re(z), i.e. y = x.

5. |z| = 1 ⟹ |z'| = √2

|z'| = |(1+i)z - 2i|. Si |z| = 1, z = e^iθ.

|z'| = |(1+i)·e^iθ - 2i|. Hmm, ce n'est pas constant en général.

Corrigeons : si |z| = 1, alors |z'| = |az + b| où a = 1+i, b = -2i.

|z'|² = |(1+i)z - 2i|² = ((1+i)z-2i)·conj((1+i)z-2i)

= |1+i|²|z|² - 2i(1-i)z̄ + 2i(1+i)z + |2i|²

= 2·1 + ... ce calcul général dépend de z. La propriété |z'| = √2 est vraie seulement si b = 0, ce qui n'est pas le cas ici.

Reformulation correcte : Si |z - 2| = 1 (cercle de centre A, rayon 1), montrons |z'| = √2.

|z - 2| = 1 ⟹ z = 2 + e^iθ. z' = (1+i)(2+e^iθ)-2i = 2+2i+((1+i)e^iθ)-2i = 2+(1+i)e^iθ

|z' - 2| = |(1+i)e^iθ| = √2·|e^iθ| = √2. ✓

Application géométrique (Bac national)

🔴 Difficile

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points A(1), B(i), C(-1) et M(z) avec z ≠ -1.

On pose Z = (z - 1)/(z + 1).

Déterminer l'ensemble des points M tels que Z soit réel.
Déterminer l'ensemble des points M tels que Z soit imaginaire pur.
Déterminer l'ensemble des points M tels que |Z| = 1.
Montrer que Z = i implique que le triangle ABM est rectangle isocèle en A. Préciser M.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Z réel

Z = (z-1)/(z+1) réel ⟺ arg(Z) = 0 [π] ⟺ arg(z-1) - arg(z+1) = 0 [π]

⟺ (AM, CM) = 0 [π] ⟺ A, M, C sont alignés.

L'ensemble est la droite (AC), c'est-à-dire l'axe réel (privé de C(-1)).

2. Z imaginaire pur

Z pur imaginaire ⟺ arg(Z) = π/2 [π] ⟺ (CM, AM) = π/2 [π]

⟺ M voit le segment [AC] sous un angle droit.

L'ensemble est le cercle de diamètre [AC], soit le cercle de centre O(0) et rayon 1, privé de A et C.

3. |Z| = 1

|Z| = |z-1|/|z+1| = 1 ⟺ |z-1| = |z+1| ⟺ MA = MC

L'ensemble est la médiatrice de [AC], soit l'axe imaginaire.

4. Z = i

(z-1)/(z+1) = i ⟹ z-1 = i(z+1) = iz + i ⟹ z - iz = 1 + i ⟹ z(1-i) = 1+i

z = (1+i)/(1-i) = (1+i)²/2 = (1+2i-1)/2 = i

Donc M = B(i). Le triangle ABM dégénère. Vérifions : |Z| = 1 et arg(Z) = π/2.

arg((z-1)/(z+1)) = π/2 signifie l'angle (CA, CM) = π/2 : triangle ACM rectangle en M.