Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire X est une application de l'univers Ω vers ℝ.

La loi de probabilité de X est la donnée de P(X = x_i) pour chaque valeur x_i.

Espérance, variance, écart-type

E(X) = Σ x_i · P(X = x_i)
V(X) = E(X²) - (E(X))² = Σ x_i² · P(X = x_i) - μ²
σ(X) = √V(X)
E(aX+b) = aE(X) + b
V(aX+b) = a²V(X)

II. Loi binomiale B(n, p)

Loi binomiale

X suit B(n, p) si : P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^n-k

où C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

E(X) = np
V(X) = np(1-p)
σ(X) = √(np(1-p))

III. Loi de Poisson P(λ)

P(X = k) = e^-λ · λ^k / k!

E(X) = V(X) = λ

IV. Loi normale N(μ, σ²)

Loi normale centrée réduite N(0,1)

Densité : φ(x) = (1/√(2π))·e^-x²/2

Propriétés de la fonction de répartition Φ :

Φ(-x) = 1 - Φ(x)
P(|X| ≤ 1.96) ≈ 0.95
P(|X| ≤ 2.58) ≈ 0.99

Intervalle de confiance

Pour une proportion p estimée par f sur n observations :

IC_95% = [f - 1.96√(f(1-f)/n) ; f + 1.96√(f(1-f)/n)]

V. Probabilités conditionnelles

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

Formule des probabilités totales : P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā)

Formule de Bayes : P(A|B) = P(A)·P(B|A)/P(B)

🔑 Formules clés à retenir

P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^n-k (binomiale)
E(X) = np, V(X) = np(1-p)
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Bayes : P(A|B) = P(A)·P(B|A)/P(B)
IC₉₅% : [f ± 1.96√(f(1-f)/n)]

Probabilités — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Loi binomiale - Calculs de base

🟢 Facile

Énoncé

On lance une pièce équilibrée 8 fois. Soit X le nombre de "Pile" obtenu.

Quelle est la loi de X ? Préciser ses paramètres.
Calculer P(X = 3).
Calculer E(X), V(X) et σ(X).
Calculer P(X ≥ 1).

Ma réponse

Correction détaillée

1.

X suit une loi binomiale B(8, 1/2) (8 épreuves, p = 1/2).

2.

P(X=3) = C(8,3)·(1/2)³·(1/2)⁵ = 56/256 = 7/32 ≈ 0.2188

3.

E(X) = np = 8 × 1/2 = 4

V(X) = np(1-p) = 8 × 1/2 × 1/2 = 2

σ(X) = √2 ≈ 1.41

4.

P(X ≥ 1) = 1 - P(X=0) = 1 - C(8,0)·(1/2)⁸ = 1 - 1/256 = 255/256 ≈ 0.996

Loi binomiale - Calculs et espérance

🟢 Facile

Énoncé

Un archer touche la cible avec une probabilité p = 0.8 à chaque tir. Il effectue n = 5 tirs indépendants. Soit X le nombre de tirs réussis.

Identifier la loi de X et ses paramètres.
Calculer P(X = 5), P(X = 0) et P(X ≥ 4).
Calculer E(X) et σ(X) (écart-type).
Quelle est la valeur la plus probable de X (mode) ?

Ma réponse

Correction détaillée

1.

X ~ B(5, 0.8) (5 tirs indépendants, p = 0.8 à chaque tir).

2.

P(X=5) = C(5,5)·(0.8)⁵·(0.2)⁰ = (0.8)⁵ = 0.32768 ≈ 32.8%

P(X=0) = (0.2)⁵ = 0.00032 ≈ 0.032%

P(X≥4) = P(X=4) + P(X=5)

P(X=4) = C(5,4)·(0.8)⁴·(0.2) = 5·0.4096·0.2 = 0.4096

P(X≥4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728 ≈ 73.7%

3.

E(X) = np = 5 × 0.8 = 4

V(X) = np(1-p) = 5 × 0.8 × 0.2 = 0.8

σ(X) = √0.8 ≈ 0.894

4. Mode

Le mode de B(n,p) est floor((n+1)p) = floor(6×0.8) = floor(4.8) = 4 ou 5.

Vérification : P(X=4) ≈ 0.41 > P(X=5) ≈ 0.33 > P(X=3) ≈ 0.20

Le mode est X = 4.

Probabilités sur un arbre

🟢 Facile

Énoncé

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise.

Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.
Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
Calculer la probabilité que la deuxième boule soit rouge.
Sachant que la deuxième boule est rouge, quelle est la probabilité que la première soit aussi rouge ?

Ma réponse

Correction détaillée

1. Deux boules rouges

P(R₁ ∩ R₂) = P(R₁)·P(R₂|R₁) = (4/10)·(3/9) = 12/90 = 2/15

2. Même couleur

P(même couleur) = P(R₁∩R₂) + P(B₁∩B₂)

P(B₁∩B₂) = (6/10)·(5/9) = 30/90 = 1/3

P(même couleur) = 2/15 + 1/3 = 2/15 + 5/15 = 7/15

3. P(R₂)

Par la loi des probabilités totales :

P(R₂) = P(R₁)·P(R₂|R₁) + P(B₁)·P(R₂|B₁)

= (4/10)·(3/9) + (6/10)·(4/9) = 12/90 + 24/90 = 36/90 = 2/5

(Normal : P(R₂) = 4/10 car toutes les boules sont équiprobables en position 2.)

4. Formule de Bayes

P(R₁|R₂) = P(R₁∩R₂)/P(R₂) = (2/15)/(2/5) = (2/15)·(5/2) = 1/3

🟡 Exercices Intermédiaires

2 exercices

Probabilités conditionnelles et Bayes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une usine a 3 machines A, B, C qui produisent respectivement 50%, 30% et 20% de la production. Les taux de pièces défectueuses sont : 2% pour A, 3% pour B, 5% pour C.

Quelle est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse ?
Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine C ?
Quelle machine produit le plus de pièces défectueuses ?

Ma réponse

Correction détaillée

1. Probabilité totale

P(D) = P(A)·P(D|A) + P(B)·P(D|B) + P(C)·P(D|C)

= 0.5×0.02 + 0.3×0.03 + 0.2×0.05

= 0.01 + 0.009 + 0.01 = 0.029 = 2.9%

2. Formule de Bayes

P(C|D) = P(C)·P(D|C)/P(D) = (0.2 × 0.05)/0.029

= 0.01/0.029 ≈ 0.345 = 34.5%

3.

Contribution de A : 0.5×0.02 = 0.010

Contribution de B : 0.3×0.03 = 0.009

Contribution de C : 0.2×0.05 = 0.010

Les machines A et C contribuent également (0.01), mais A et C sont ex æquo pour le plus de pièces défectueuses en nombre absolu.

Variable aléatoire - Loi de probabilité et espérance

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Soit X la valeur absolue de la différence des résultats.

Déterminer les valeurs possibles de X.
Construire le tableau de la loi de probabilité de X.
Calculer E(X), V(X) et σ(X).
Calculer P(X ≤ 2).

Ma réponse

Correction détaillée

1. Valeurs possibles

X = |d₁ - d₂| avec d₁, d₂ ∈ {1,...,6}. X ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

2. Loi de probabilité

Espace Ω : 6×6 = 36 issues équiprobables.

P(X=0) : d₁=d₂ → 6 cas → 6/36 = 1/6

P(X=1) : |d₁-d₂|=1 → (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5) → 10 cas → 10/36 = 5/18

P(X=2) : 8 cas → 8/36 = 2/9

P(X=3) : 6 cas → 6/36 = 1/6

P(X=4) : 4 cas → 4/36 = 1/9

P(X=5) : 2 cas → 2/36 = 1/18

Vérification : 6+10+8+6+4+2 = 36. ✓

3. E(X) et V(X)

E(X) = 0·(1/6) + 1·(5/18) + 2·(2/9) + 3·(1/6) + 4·(1/9) + 5·(1/18)

= 0 + 5/18 + 4/9 + 3/6 + 4/9 + 5/18

= 5/18 + 8/18 + 9/18 + 8/18 + 5/18 = 35/18 ≈ 1.944

E(X²) = 0 + 1·(5/18) + 4·(2/9) + 9·(1/6) + 16·(1/9) + 25·(1/18)

= 5/18 + 8/18 + 27/18 + 32/18 + 25/18 = 97/18

V(X) = E(X²) - (E(X))² = 97/18 - (35/18)² = 97/18 - 1225/324 = 1746/324 - 1225/324 = 521/324 ≈ 1.608

σ(X) = √(521/324) ≈ 1.268

4.

P(X≤2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = 6/36 + 10/36 + 8/36 = 24/36 = 2/3

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Loi normale et intervalle de confiance (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Une usine produit des vis dont le diamètre X suit une loi normale N(10 ; 0.04) (en mm, σ² = 0.04).

Calculer P(9.6 ≤ X ≤ 10.4). (On pose Z = (X-10)/0.2 et on utilise P(|Z| ≤ 2) ≈ 0.9544)
Une vis est conforme si 9.7 ≤ X ≤ 10.3. Calculer la probabilité qu'une vis soit conforme.
On contrôle n = 400 vis. Soit Y le nombre de vis non conformes. Quelle est la loi de Y ? Calculer E(Y) et σ(Y).
Donner un intervalle de confiance à 95% pour la proportion de vis conformes dans la production.

Ma réponse

Correction détaillée

1. P(9.6 ≤ X ≤ 10.4)

Centrage-réduction : Z = (X-10)/0.2

P(9.6 ≤ X ≤ 10.4) = P(-2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0.9544 = 95.44%

2. P(9.7 ≤ X ≤ 10.3)

P(9.7 ≤ X ≤ 10.3) = P(-1.5 ≤ Z ≤ 1.5)

= 2·Φ(1.5) - 1 ≈ 2·0.9332 - 1 = 0.8664 = 86.64%

(On utilise la table de la loi normale : Φ(1.5) ≈ 0.9332)

3. Loi de Y

Probabilité de non-conformité : q = 1 - 0.8664 = 0.1336

Y ~ B(400, 0.1336)

E(Y) = 400 × 0.1336 = 53.44 vis non conformes en moyenne

V(Y) = 400 × 0.1336 × 0.8664 ≈ 46.29

σ(Y) = √46.29 ≈ 6.8

4. Intervalle de confiance (95%)

Proportion observée : f = 0.8664 (proportion de conformes), n = 400

IC₉₅% = [f - 1.96·√(f(1-f)/n) ; f + 1.96·√(f(1-f)/n)]

√(0.8664×0.1336/400) = √(0.000289) ≈ 0.017

IC₉₅% = [0.8664 - 1.96×0.017 ; 0.8664 + 1.96×0.017]

= [0.8664 - 0.0333 ; 0.8664 + 0.0333]

≈ [0.833 ; 0.900]

On est confiant à 95% que la proportion réelle de vis conformes est entre 83.3% et 90.0%.

Problème complet de probabilités (Bac national)

🔴 Difficile

Énoncé

Un examen comporte 10 questions QCM à 4 choix chacune (une seule bonne réponse). Un élève répond au hasard.

Soit X le nombre de bonnes réponses. Déterminer la loi de X, E(X) et V(X).
On obtient le diplôme si X ≥ 6. Calculer P(X ≥ 6).
L'élève révise et sa probabilité de bonne réponse passe à p = 0.7. Recalculer P(X ≥ 6).
Pour n questions avec p = 0.7, déterminer le plus petit n tel que P(X ≥ 1) > 0.999.

Ma réponse

Correction détaillée

1.

X ~ B(10, 1/4). E(X) = 10 × 1/4 = 2.5

V(X) = 10 × 1/4 × 3/4 = 1.875

2.

P(X≥6) = Σ_k=6¹⁰ C(10,k)·(1/4)^k·(3/4)^10-k

P(X=6) = C(10,6)·(1/4)⁶·(3/4)⁴ = 210 × 81/(4¹⁰) ≈ 0.0162

P(X≥6) ≈ 0.0162 + 0.0031 + 0.0004 + ... ≈ 0.0197 ≈ 2%

3. Avec p = 0.7

X ~ B(10, 0.7). P(X≥6) = Σ_k=6¹⁰ C(10,k)·(0.7)^k·(0.3)^10-k

≈ 0.200 + 0.267 + 0.233 + 0.121 + 0.028 = 0.850 ≈ 85%

4.

P(X≥1) > 0.999 ⟺ 1 - P(X=0) > 0.999 ⟺ P(X=0) < 0.001

(0.3)ⁿ < 0.001 ⟺ n·ln(0.3) < ln(0.001) ⟺ n > ln(0.001)/ln(0.3)

n > 3/1.204 ≈ 5.74. Le plus petit n est n = 6.