Structures algébriques

البنيات الجبرية

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Structures algébriques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

⚠️ Hors programme officiel — Enrichissement : Ce chapitre n'est pas exigible au baccalauréat marocain standard. Il est proposé comme approfondissement pour les élèves souhaitant aller plus loin.

I. Loi de composition interne

Définition

Une loi de composition interne (LCI) sur un ensemble E non vide est une application :

∗ : E × E → E, (x, y) ↦ x ∗ y

On dit aussi que E est stable pour la loi ∗.

Exemples

  • +, − et × sur ℝ, ℚ, ℤ, ℕ.
  • ÷ n'est PAS une LCI sur ℤ (résultat hors de ℤ), mais l'est sur ℝ*.
  • ∩, ∪ sur P(E) (parties d'un ensemble E).
  • Composition ∘ sur l'ensemble des applications f : E → E.

II. Propriétés d'une LCI

Associativité

∗ est associative sur E si : ∀x, y, z ∈ E, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Commutativité

∗ est commutative sur E si : ∀x, y ∈ E, x ∗ y = y ∗ x.

Élément neutre

e ∈ E est neutre pour ∗ si : ∀x ∈ E, x ∗ e = e ∗ x = x.

Si un neutre existe, il est unique.

Symétrique (inverse)

Soit e le neutre. x ∈ E est symétrisable s'il existe x' ∈ E tel que x ∗ x' = x' ∗ x = e.

Si ∗ est associative et admet un neutre, et si x est symétrisable, son symétrique est unique, noté x−1 (ou −x en notation additive).

III. Groupes

Définition

Un ensemble G muni d'une loi ∗ est un groupe (G, ∗) si :

  1. ∗ est associative sur G.
  2. ∗ admet un élément neutre e ∈ G.
  3. Tout élément x ∈ G est symétrisable.

Si de plus ∗ est commutative, (G, ∗) est un groupe commutatif (ou abélien).

Exemples fondamentaux

  • (ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, +), (ℂ, +) : groupes abéliens.
  • (ℚ*, ×), (ℝ*, ×), (ℂ*, ×) : groupes abéliens.
  • (ℤ/nℤ, +) : groupe abélien.
  • (ℕ, +) : N'EST PAS un groupe (pas de symétrique).
  • Le groupe des rotations du plan de centre O : groupe abélien.

IV. Sous-groupes

Définition

Soit (G, ∗) un groupe et H ⊆ G non vide. H est un sous-groupe de G si :

  1. e ∈ H (le neutre est dans H)
  2. ∀x, y ∈ H : x ∗ y ∈ H (stabilité)
  3. ∀x ∈ H : x−1 ∈ H (stabilité par symétrique)

On note H ≤ G (ou H ⊂ G comme sous-groupe).

Caractérisation (un seul test)

H ⊆ G non vide est un sous-groupe de (G, ∗) ssi :

∀x, y ∈ H : x ∗ y−1 ∈ H

Exemples

  • (ℤ, +) ≤ (ℝ, +) ≤ (ℂ, +).
  • Les sous-groupes de (ℤ, +) sont exactement les nℤ (n ∈ ℕ).
  • 𝕌 = {z ∈ ℂ : |z| = 1} est un sous-groupe de (ℂ*, ×).
  • 𝕌n = {z : zn = 1} est un sous-groupe fini de 𝕌.

V. Morphismes de groupes

Définition

Soient (G, ∗) et (G', ⊤) deux groupes. Une application f : G → G' est un morphisme de groupes si :

∀x, y ∈ G : f(x ∗ y) = f(x) ⊤ f(y)

  • Isomorphisme : morphisme bijectif.
  • Endomorphisme : morphisme de G dans lui-même.
  • Automorphisme : endomorphisme bijectif.

Propriétés d'un morphisme f : G → G'

  • f(eG) = eG'
  • f(x−1) = f(x)−1
  • Noyau : Ker(f) = {x ∈ G : f(x) = eG'} est un sous-groupe de G.
  • Image : Im(f) = f(G) est un sous-groupe de G'.
  • f est injective ⇔ Ker(f) = {eG}.

VI. Anneaux

Définition

Un ensemble A muni de deux lois + et × est un anneau (A, +, ×) si :

  1. (A, +) est un groupe abélien (neutre : 0A).
  2. × est associative.
  3. × est distributive par rapport à + :
    ∀a, b, c ∈ A : a(b + c) = ab + ac et (b + c)a = ba + ca.

Si × admet un neutre 1A, l'anneau est unitaire. Si × est commutative, l'anneau est commutatif.

Exemples

  • (ℤ, +, ×), (ℚ, +, ×), (ℝ, +, ×), (ℂ, +, ×) : anneaux commutatifs unitaires.
  • (ℤ/nℤ, +, ×) : anneau commutatif unitaire.
  • Anneau des polynômes (ℝ[X], +, ×) : commutatif unitaire.
  • Anneau des matrices (Mn(ℝ), +, ×) : unitaire, non commutatif pour n ≥ 2.

Anneau intègre

Un anneau commutatif unitaire non nul est intègre si :

∀a, b ∈ A : ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0

Autrement dit : pas de diviseurs de zéro.

Exemples : ℤ, ℚ, ℝ, ℂ intègres ; ℤ/6ℤ n'est pas intègre car 2·3 = 6 ≡ 0 [6].

VII. Corps

Définition

Un corps est un anneau commutatif unitaire (K, +, ×) dans lequel tout élément non nul est inversible pour × :

∀x ∈ K \ {0} : ∃ x−1 ∈ K, x · x−1 = 1

Exemples

  • (ℚ, +, ×), (ℝ, +, ×), (ℂ, +, ×) : corps.
  • (ℤ, +, ×) n'est pas un corps (2 n'est pas inversible).
  • (ℤ/pℤ, +, ×) est un corps ⇔ p est premier.

VIII. L'anneau ℤ/nℤ

Structure

Pour n ≥ 2 :

  • (ℤ/nℤ, +) est un groupe abélien fini de cardinal n.
  • (ℤ/nℤ, +, ×) est un anneau commutatif unitaire.
  • x ∈ ℤ/nℤ est inversible pour × ⇔ pgcd(x, n) = 1.
  • (ℤ/nℤ)* (éléments inversibles) a pour cardinal φ(n) (indicatrice d'Euler).

Corps ℤ/pℤ

Pour p premier, (ℤ/pℤ, +, ×) est un corps fini à p éléments. Tout élément non nul est inversible.

IX. Méthodologie

Pour montrer que (G, ∗) est un groupe

  1. Vérifier que ∗ est bien une LCI sur G (résultat dans G).
  2. Vérifier l'associativité.
  3. Trouver l'élément neutre e.
  4. Montrer que tout x admet un symétrique x−1 ∈ G.

Pour montrer que H est un sous-groupe de G

  1. H ⊆ G et H ≠ ∅ (généralement : e ∈ H).
  2. Montrer : ∀x, y ∈ H, x ∗ y−1 ∈ H.

🔑 Formules clés à retenir

  • Groupe (G, ∗) : associativité + neutre + inverse
  • Groupe abélien : groupe + commutativité
  • Sous-groupe : H ≠ ∅ et ∀x,y ∈ H, x ∗ y−1 ∈ H
  • Morphisme : f(x ∗ y) = f(x) ⊤ f(y)
  • Noyau : Ker(f) = f−1({e'}) sous-groupe de G
  • f injective ⇔ Ker(f) = {e}
  • Anneau : (A, +) groupe abélien + (×) associative et distributive sur +
  • Anneau intègre : ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0
  • Corps : anneau commutatif unitaire où tout x ≠ 0 est inversible
  • ℤ/pℤ corps ⇔ p premier
  • x inversible dans ℤ/nℤ ⇔ pgcd(x,n) = 1
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Prouver qu'une loi est associative : l'associativité doit être vérifiée pour TOUS triplets (x,y,z). Tester sur un exemple ne prouve rien — il faut une preuve algébrique générale.

❌

Élément neutre vs élément absorbant : l'élément neutre e vérifie e∗x = x∗e = x pour tout x. L'élément absorbant a vérifie a∗x = x∗a = a (ex : 0 pour la multiplication). Ce sont des rôles différents !

❌

Morphisme : vérifier TOUTES les opérations : pour un morphisme d'anneaux, vérifier f(x+y)=f(x)+f(y) ET f(x·y)=f(x)·f(y) et f(1)=1. Oublier une condition = erreur !

🟢 Astuces de pros

✅

Critère de sous-groupe (méthode rapide) : H ≠ ∅ et ∀x,y ∈ H, x∗y−1 ∈ H. Une seule condition à vérifier (pas trois séparément). C'est la méthode la plus efficace pour les démonstrations.

✅

ℤ/nℤ est un corps ⇔ n est premier : si n est composé (n=ab avec 1<a,b<n), alors ā·b = 0̄ avec ā≠0 et b≠0 — diviseurs de zéro. Un corps ne peut pas avoir de diviseurs de zéro.

💡

Ordre d'un élément : l'ordre de g dans un groupe fini G divise |G| (théorème de Lagrange). Utile pour prouver que g|G| = e et réduire des puissances dans les groupes finis.