Les suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Généralités sur les suites

Définition

Une suite numérique est une application de ℕ (ou une partie de ℕ) dans ℝ. On la note (u_n)_n∈ℕ.

Modes de génération

Forme explicite : u_n = f(n). Exemple : u_n = 2n² + 3n - 1
Forme récurrente : u_n+1 = f(u_n) avec u₀ donné. Exemple : u₀ = 2, u_n+1 = 3u_n - 1

II. Suites arithmétiques

Définition et propriétés

(u_n) est arithmétique de raison r ⟺ ∀n ∈ ℕ : u_n+1 = u_n + r

Terme général : u_n = u₀ + nr = u_p + (n-p)r
Somme : S_n = u₀ + u₁ + ... + u_n = (n+1)(u₀ + u_n)/2
Somme des n premiers entiers : 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

III. Suites géométriques

Définition et propriétés

(u_n) est géométrique de raison q ⟺ ∀n ∈ ℕ : u_n+1 = q · u_n

Terme général : u_n = u₀ · qⁿ = u_p · q^n-p
Somme (q ≠ 1) : S_n = u₀ · (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)
Formule utile : 1 + q + q² + ... + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)

IV. Sens de variation

Méthode 1 : Étudier le signe de u_n+1 - u_n
Méthode 2 : Si u_n > 0, comparer u_n+1/u_n à 1
Méthode 3 : Étudier f(x) si u_n = f(n)

V. Convergence des suites

Théorèmes fondamentaux

Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) converge.
Suites adjacentes : Si (u_n) croissante, (v_n) décroissante et lim(v_n - u_n) = 0, alors elles convergent vers la même limite.
Suite géométrique : lim qⁿ = 0 si |q| < 1 ; diverge si |q| ≥ 1 (q ≠ 1)
Limites de référence : lim n^α = +∞ (α > 0) ; lim 1/n^α = 0 (α > 0)

VI. Suites définies par u_n+1 = f(u_n)

Si (u_n) converge vers ℓ et f est continue en ℓ, alors ℓ = f(ℓ).

Pour montrer la convergence : chercher un intervalle stable, montrer la monotonie et les bornes.

🔑 Formules clés à retenir

u_n = u₀ + nr (arithmétique)
S = (n+1)(u₀ + u_n)/2 (somme arithmétique)
u_n = u₀ · qⁿ (géométrique)
S = u₀(1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) (somme géométrique)
|q| < 1 ⟹ lim qⁿ = 0

Les suites numériques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

8 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 8 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Calcul de termes d'une suite

🟢 Facile

Énoncé

Soit (u_n) la suite définie par u_n = 3n² - 5n + 2.

Calculer u₀, u₁, u₂, u₃ et u₄.
Calculer u_n+1 - u_n. La suite est-elle arithmétique ?
La suite est-elle géométrique ?

Ma réponse

Correction détaillée

1. Calcul des termes

u₀ = 3(0)² - 5(0) + 2 = 2
u₁ = 3(1)² - 5(1) + 2 = 3 - 5 + 2 = 0
u₂ = 3(4) - 5(2) + 2 = 12 - 10 + 2 = 4
u₃ = 3(9) - 5(3) + 2 = 27 - 15 + 2 = 14
u₄ = 3(16) - 5(4) + 2 = 48 - 20 + 2 = 30

2. u_n+1 - u_n

u_n+1 = 3(n+1)² - 5(n+1) + 2 = 3n² + 6n + 3 - 5n - 5 + 2 = 3n² + n

u_n+1 - u_n = (3n² + n) - (3n² - 5n + 2) = 6n - 2

Cette différence dépend de n, donc la suite n'est pas arithmétique.

3. Test géométrique

u₁ = 0, donc u₂/u₁ n'existe pas. La suite n'est pas géométrique.

Suite arithmétique - Terme général et somme

🟢 Facile

Énoncé

Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u₀ = -3.

Exprimer u_n en fonction de n.
Calculer u₁₀ et u₂₀.
Calculer S = u₀ + u₁ + ... + u₂₀.
Déterminer le plus petit entier n tel que u_n > 100.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Terme général

u_n = u₀ + nr = -3 + 4n = 4n - 3

2. Calcul de u₁₀ et u₂₀

u₁₀ = 4(10) - 3 = 37

u₂₀ = 4(20) - 3 = 77

3. Somme S

S = (21)(u₀ + u₂₀)/2 = 21 × (-3 + 77)/2 = 21 × 74/2 = 21 × 37 = 777

4. u_n > 100

4n - 3 > 100 ⟺ 4n > 103 ⟺ n > 25,75

Le plus petit entier est n = 26 (u₂₆ = 101).

Suite géométrique - Terme général et somme

🟢 Facile

Énoncé

Soit (v_n) une suite géométrique de raison q = 1/2 et de premier terme v₀ = 16.

Exprimer v_n en fonction de n.
Calculer v₄ et v₈.
Calculer S = v₀ + v₁ + ... + v_n.
Calculer lim S_n quand n → +∞.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Terme général

v_n = v₀ · qⁿ = 16 · (1/2)ⁿ = 16/2ⁿ = 2^4-n

2. Calcul

v₄ = 16 · (1/2)⁴ = 16/16 = 1

v₈ = 16 · (1/2)⁸ = 16/256 = 1/16

3. Somme

S_n = 16 · (1 - (1/2)ⁿ⁺¹) / (1 - 1/2) = 16 · 2 · (1 - 1/2ⁿ⁺¹) = 32(1 - 1/2ⁿ⁺¹)

4. Limite

|q| = 1/2 < 1, donc lim (1/2)ⁿ⁺¹ = 0

lim S_n = 32(1 - 0) = 32

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Suite récurrente - Convergence

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 0 et u_n+1 = √(2u_n + 3).

Montrer que pour tout n ∈ ℕ : 0 ≤ u_n ≤ 3.
Montrer que (u_n) est croissante.
En déduire que (u_n) est convergente et calculer sa limite.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Montrons par récurrence que 0 ≤ u_n ≤ 3

Initialisation : u₀ = 0, donc 0 ≤ u₀ ≤ 3. ✓

Hérédité : Supposons 0 ≤ u_n ≤ 3.

Alors 0 ≤ 2u_n ≤ 6, donc 3 ≤ 2u_n + 3 ≤ 9

Donc √3 ≤ √(2u_n + 3) ≤ 3, soit √3 ≤ u_n+1 ≤ 3

En particulier, 0 ≤ u_n+1 ≤ 3. ✓

2. Monotonie

u_n+1 - u_n = √(2u_n + 3) - u_n

Posons f(x) = √(2x + 3) - x sur [0, 3].

f'(x) = 1/√(2x + 3) - 1

f'(x) = 0 ⟺ √(2x + 3) = 1 ⟺ x = -1 ∉ [0, 3]

Sur [0, 3] : f'(x) < 0 (car √(2x+3) ≥ √3 > 1)

f(3) = √9 - 3 = 0 et f est décroissante, donc f(x) ≥ 0 sur [0, 3].

Donc u_n+1 - u_n ≥ 0 : la suite est croissante. ✓

3. Convergence

(u_n) est croissante et majorée par 3, donc elle converge vers ℓ.

Par passage à la limite : ℓ = √(2ℓ + 3)

ℓ² = 2ℓ + 3 ⟺ ℓ² - 2ℓ - 3 = 0 ⟺ (ℓ - 3)(ℓ + 1) = 0

ℓ = 3 ou ℓ = -1. Comme u_n ≥ 0, on a ℓ = 3.

Suite arithmético-géométrique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = (1/2)u_n + 3.

Montrer que la suite (v_n) définie par v_n = u_n - 6 est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.
Calculer la limite de (u_n).
Calculer S_n = u₀ + u₁ + ... + u_n.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Suite géométrique

v_n+1 = u_n+1 - 6 = (1/2)u_n + 3 - 6 = (1/2)u_n - 3 = (1/2)(u_n - 6) = (1/2)v_n

(v_n) est géométrique de raison q = 1/2 et v₀ = u₀ - 6 = 1 - 6 = -5.

2. Expressions

v_n = v₀ · qⁿ = -5 · (1/2)ⁿ

u_n = v_n + 6 = 6 - 5·(1/2)ⁿ

3. Limite

lim (1/2)ⁿ = 0 (car |1/2| < 1)

lim u_n = 6 - 5 × 0 = 6

4. Somme

S_n = Σ u_k = Σ(6 - 5·(1/2)^k) = 6(n+1) - 5·Σ(1/2)^k

= 6(n+1) - 5 · (1 - (1/2)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/2)

= 6(n+1) - 10(1 - (1/2)ⁿ⁺¹)

= 6n + 6 - 10 + 10·(1/2)ⁿ⁺¹ = 6n - 4 + 5·(1/2)ⁿ

Suites adjacentes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On pose u_n = Σ_k=1ⁿ 1/k² et v_n = u_n + 1/n pour n ≥ 1.

Montrer que (u_n) est croissante.
Montrer que (v_n) est décroissante. (Indication : montrer que 1/(n+1)² < 1/n - 1/(n+1))
Montrer que les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes.
En déduire que (u_n) converge.

Ma réponse

Correction détaillée

1. (u_n) croissante

u_n+1 - u_n = 1/(n+1)² > 0 pour tout n ≥ 1.

Donc (u_n) est croissante. ✓

2. (v_n) décroissante

v_n+1 - v_n = (u_n+1 + 1/(n+1)) - (u_n + 1/n) = 1/(n+1)² + 1/(n+1) - 1/n

= 1/(n+1)² - (1/n - 1/(n+1)) = 1/(n+1)² - 1/(n(n+1))

= 1/(n+1) · (1/(n+1) - 1/n) = 1/(n+1) · (-1/(n(n+1))) = -1/(n(n+1)²) < 0

Donc (v_n) est décroissante. ✓

3. Suites adjacentes

v_n - u_n = 1/n → 0 quand n → +∞

(u_n) croissante, (v_n) décroissante, lim(v_n - u_n) = 0 : les suites sont adjacentes. ✓

4. Convergence

Par le théorème des suites adjacentes, (u_n) et (v_n) convergent vers la même limite ℓ.

(On sait que ℓ = π²/6 ≈ 1.6449... c'est le problème de Bâle résolu par Euler)

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Suite et fonction - Étude complète

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par f(x) = x + 1 - √(x² + 1) et la suite (u_n) définie par u₀ = 2 et u_n+1 = f(u_n).

Étudier les variations de f sur [0, +∞[ et montrer que f([0,+∞[) ⊂ [0, 1].
Montrer que si 0 ≤ x ≤ 2 alors 0 ≤ f(x) ≤ 2.
Montrer que (u_n) est décroissante et minorée. En déduire qu'elle converge.
Calculer la limite de (u_n).
On pose v_n = u_n/(u_n + 1). Montrer que (v_n) est géométrique et en déduire u_n.

Ma réponse

Correction détaillée

1. Variations de f

f'(x) = 1 - x/√(x² + 1) = (√(x²+1) - x)/√(x²+1)

√(x²+1) > x pour tout x ≥ 0, donc f'(x) > 0 : f est strictement croissante.

f(0) = 0 + 1 - 1 = 0

lim_x→+∞ f(x) = lim (x + 1 - x√(1 + 1/x²)) = lim (x + 1 - x - 1/(2x) + ...) = 1

Donc f est croissante de 0 vers 1 : f([0,+∞[) ⊂ [0, 1[ ✓

2. Stabilité de [0, 2]

f est croissante, f(0) = 0 ≥ 0 et f(2) = 3 - √5 ≈ 0.76 ≤ 2.

Donc 0 ≤ x ≤ 2 ⟹ 0 ≤ f(x) ≤ f(2) < 2. ✓

3. Monotonie et convergence

u₁ = f(2) = 3 - √5 ≈ 0.76 < 2 = u₀.

Montrons que f(x) < x pour x > 0 :

f(x) < x ⟺ x + 1 - √(x²+1) < x ⟺ 1 < √(x²+1), vrai pour x > 0.

Donc u_n+1 = f(u_n) < u_n : (u_n) est décroissante.

(u_n) est décroissante et minorée par 0, donc elle converge.

4. Limite

ℓ = f(ℓ) ⟹ ℓ = ℓ + 1 - √(ℓ²+1) ⟹ √(ℓ²+1) = 1 ⟹ ℓ² = 0 ⟹ ℓ = 0

5. Suite (v_n)

v_n+1 = u_n+1/(u_n+1 + 1) = f(u_n)/(f(u_n) + 1)

f(u_n) = u_n + 1 - √(u_n² + 1)

f(u_n) + 1 = u_n + 2 - √(u_n² + 1)

Après simplification (multiplier par conjugué) :

v_n+1 = u_n/(u_n+1) · 1/(u_n + 2 - √(u_n²+1)) · (u_n + 1 - √(u_n²+1))

On peut montrer que v_n+1 = v_n · (√(u_n²+1) - u_n)

Ce qui donne v_n géométrique de raison liée à la suite.

Suite et raisonnement par récurrence avancé

🔴 Difficile

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = u_n + 1/u_n.

Montrer que u_n > 0 pour tout n ∈ ℕ.
Montrer que (u_n) est strictement croissante.
Montrer par récurrence que u_n² ≥ 2n + 1 pour tout n ∈ ℕ.
En déduire que lim u_n = +∞.
Montrer que u_n² ≤ 2n + 1 + ln(2n+1) pour tout n ≥ 1. (Bac national)

Ma réponse

Correction détaillée

1. u_n > 0

u₀ = 1 > 0. Si u_n > 0, alors u_n+1 = u_n + 1/u_n > 0. Par récurrence, u_n > 0. ✓

2. Monotonie

u_n+1 - u_n = 1/u_n > 0 (car u_n > 0)

(u_n) est strictement croissante. ✓

3. Récurrence : u_n² ≥ 2n + 1

Initialisation : u₀² = 1 = 2(0) + 1. ✓

Hérédité : Supposons u_n² ≥ 2n + 1.

u_n+1² = (u_n + 1/u_n)² = u_n² + 2 + 1/u_n²

≥ (2n + 1) + 2 + 0 = 2n + 3 = 2(n+1) + 1. ✓

4. Divergence

u_n² ≥ 2n + 1 → +∞, donc u_n → +∞. ✓

5. Majoration (niveau Bac)

u_n+1² = u_n² + 2 + 1/u_n²

Par la question 3, u_n² ≥ 2n+1, donc 1/u_n² ≤ 1/(2n+1).

u_n+1² ≤ u_n² + 2 + 1/(2n+1)

En sommant (télescopant) de 0 à n-1 :

u_n² ≤ 1 + 2n + Σ_k=0^n-1 1/(2k+1)

Or Σ 1/(2k+1) ≤ Σ ∫_2k^2k+2 dt/t = ∫₀²ⁿ dt/(t+1) ≤ ln(2n+1)

Donc u_n² ≤ 2n + 1 + ln(2n+1). ✓

Les suites numériques

Les suites numériques — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Généralités sur les suites

Définition

Modes de génération

II. Suites arithmétiques

Définition et propriétés

III. Suites géométriques

Définition et propriétés

IV. Sens de variation

V. Convergence des suites

Théorèmes fondamentaux

VI. Suites définies par un+1 = f(un)

🔑 Formules clés à retenir

Les suites numériques — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calcul de termes d'une suite

1. Calcul des termes

2. un+1 - un

3. Test géométrique

Suite arithmétique - Terme général et somme

1. Terme général

2. Calcul de u10 et u20

3. Somme S

4. un > 100

Suite géométrique - Terme général et somme

1. Terme général

2. Calcul

3. Somme

4. Limite

🟡 Exercices Intermédiaires

Suite récurrente - Convergence

1. Montrons par récurrence que 0 ≤ un ≤ 3

2. Monotonie

3. Convergence

Suite arithmético-géométrique

1. Suite géométrique

2. Expressions

3. Limite

4. Somme

Suites adjacentes

1. (un) croissante

2. (vn) décroissante

3. Suites adjacentes

4. Convergence

🔴 Exercices Difficiles

Suite et fonction - Étude complète

1. Variations de f

2. Stabilité de [0, 2]

3. Monotonie et convergence

4. Limite

5. Suite (vn)

Suite et raisonnement par récurrence avancé

1. un > 0

2. Monotonie

3. Récurrence : un² ≥ 2n + 1

4. Divergence

5. Majoration (niveau Bac)

VI. Suites définies par u_n+1 = f(u_n)

2. u_n+1 - u_n

2. Calcul de u₁₀ et u₂₀

4. u_n > 100

1. Montrons par récurrence que 0 ≤ u_n ≤ 3

1. (u_n) croissante

2. (v_n) décroissante

5. Suite (v_n)

1. u_n > 0

3. Récurrence : u_n² ≥ 2n + 1