Chapitre 6 : Divisibilité, PGCD et PPCM
I. Divisibilité
Un entier a est divisible par un entier b (b ≠ 0) s'il existe un entier k tel que a = b × k.
On dit aussi : b est un diviseur de a, ou a est un multiple de b.
On dit aussi : b est un diviseur de a, ou a est un multiple de b.
II. Critères de divisibilité
- Par 2 : chiffre des unités ∈ {0,2,4,6,8}
- Par 3 : somme des chiffres divisible par 3
- Par 5 : chiffre des unités ∈ {0,5}
- Par 9 : somme des chiffres divisible par 9
- Par 10 : chiffre des unités = 0
- Par 4 : les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4
III. Nombres premiers et décomposition
Un entier ≥ 2 est premier s'il n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
Tout entier ≥ 2 s'écrit de façon unique comme produit de facteurs premiers.
Premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
Tout entier ≥ 2 s'écrit de façon unique comme produit de facteurs premiers.
Exemple : 360 = 2³ × 3² × 5
IV. PGCD — Algorithme d'Euclide
PGCD(a, b) : diviser a par b, noter le reste r. Puis PGCD(a,b) = PGCD(b,r). Continuer jusqu'à r = 0.
Exemple : PGCD(84,56) : 84=56×1+28 → 56=28×2+0 → PGCD = 28
Exemple : PGCD(84,56) : 84=56×1+28 → 56=28×2+0 → PGCD = 28
V. PPCM
PPCM(a,b) = a × b / PGCD(a,b)
Exemple : PPCM(84,56) = 84×56/28 = 168
Exemple : PPCM(84,56) = 84×56/28 = 168