Fractions

الكسور

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Fractions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 2 : Les Fractions

I. Notion de fraction

Une fraction est le quotient de deux nombres entiers a et b (avec b ≠ 0), notée a/b.
  • a s'appelle le numérateur
  • b s'appelle le dénominateur

Signification : a/b représente a parties égales quand on divise une unité en b parties égales.

Exemples :

  • 1/2 = "une moitié"
  • 3/4 = "trois quarts" (trois parties sur quatre)
  • 5/5 = 1 (une unité entière)
  • 7/7 = 1

II. Fractions égales

Deux fractions a/b et c/d sont égales si : a × d = b × c
On peut aussi multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur par le même nombre k ≠ 0 :
a/b = (a × k)/(b × k) pour tout k ≠ 0

Exemples :

  • 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 (toutes ces fractions sont égales)
  • 1/2 = 5/10 = 50/100 (on peut multiplier par 5, puis par 10)

III. Simplification (réduction) de fractions

Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale plus simple en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Méthode : Diviser par le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) du numérateur et du dénominateur.

Exemples :

  • 12/18 : PGCD(12, 18) = 6, donc 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3
  • 15/25 : PGCD(15, 25) = 5, donc 15/25 = (15÷5)/(25÷5) = 3/5
  • 36/48 : PGCD(36, 48) = 12, donc 36/48 = (36÷12)/(48÷12) = 3/4

Une fraction est irréductible quand le PGCD du numérateur et du dénominateur est 1.

IV. Comparaison de fractions

Cas 1 : Même dénominateur
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle avec le plus grand numérateur.

  • 2/5 < 3/5 < 4/5

Cas 2 : Dénominateurs différents
Réduire les fractions au même dénominateur, puis comparer.

  • Comparer 3/4 et 5/6
  • PPCM(4, 6) = 12
  • 3/4 = 9/12 et 5/6 = 10/12
  • Donc 3/4 < 5/6

V. Addition et soustraction de fractions

Même dénominateur :
a/b + c/b = (a + c)/b
a/b - c/b = (a - c)/b

Exemple : 3/7 + 2/7 = 5/7

Dénominateurs différents :
Réduire au même dénominateur (trouver le PPCM des dénominateurs), puis additionner.

Exemple : 2/3 + 3/4
PPCM(3, 4) = 12
2/3 = 8/12 et 3/4 = 9/12
2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12

VI. Multiplication de fractions

(a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d)

Exemple : (2/3) × (4/5) = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15

Multiplication par un nombre entier :
a × (b/c) = (a × b)/c
Exemple : 3 × (2/5) = 6/5

VII. Division de fractions

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d)/(b × c)

Règle : Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

Exemple : (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = (2 × 5)/(3 × 4) = 10/12 = 5/6

🔑 Formules clés à retenir

  • Fractions égales : a/b = (a × k)/(b × k)
  • Addition : a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)
  • Soustraction : a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)
  • Multiplication : (a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)
  • Division : (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (ad)/(bc)
  • Inverse : L'inverse de c/d est d/c