Chapitre 1 : Opérations sur les nombres entiers et décimaux
I. L'ensemble des nombres entiers naturels ℕ
L'ensemble des nombres entiers naturels est ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Ce sont les nombres que nous utilisons pour compter. Ils sont infinis.
Ce sont les nombres que nous utilisons pour compter. Ils sont infinis.
II. Addition et soustraction
Addition : a + b = somme
Les nombres qu'on ajoute s'appellent des termes.
Exemple : 5 + 3 = 8, où 5 et 3 sont les termes, 8 est la somme.
Les nombres qu'on ajoute s'appellent des termes.
Exemple : 5 + 3 = 8, où 5 et 3 sont les termes, 8 est la somme.
Propriétés de l'addition :
- Commutativité : a + b = b + a (l'ordre n'a pas d'importance)
- Associativité : (a + b) + c = a + (b + c)
- Élément neutre : a + 0 = a (ajouter 0 ne change rien)
Soustraction : a - b = différence
Attention : Dans ℕ, a - b est possible seulement si a ≥ b.
Attention : Dans ℕ, a - b est possible seulement si a ≥ b.
Exemple de soustraction :
- 15 - 7 = 8 ✓ (car 15 > 7)
- 5 - 8 impossible dans ℕ (car 5 < 8)
Lien addition-soustraction : Si a - b = c, alors a = b + c
III. Multiplication
Multiplication : a × b = produit
Les nombres qu'on multiplie s'appellent des facteurs.
Exemple : 4 × 6 = 24, où 4 et 6 sont les facteurs, 24 est le produit.
Les nombres qu'on multiplie s'appellent des facteurs.
Exemple : 4 × 6 = 24, où 4 et 6 sont les facteurs, 24 est le produit.
Propriétés de la multiplication :
- Commutativité : a × b = b × a
- Associativité : (a × b) × c = a × (b × c)
- Élément neutre : a × 1 = a
- Élément absorbant : a × 0 = 0
- Distributivité : a × (b + c) = a × b + a × c
- Distributivité (soustraction) : a × (b - c) = a × b - a × c
Priorités de calcul :
- Parenthèses
- Multiplication et division (de gauche à droite)
- Addition et soustraction (de gauche à droite)
Exemples :
- 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 (pas 5 × 4 = 20)
- (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20 (parenthèses d'abord)
- 3 × (5 - 2) = 3 × 3 = 9
IV. Division euclidienne
Division euclidienne : Pour diviser a par b (b ≠ 0), on cherche deux nombres q (quotient) et r (reste) tels que :
a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
Vocabulaire :
- a s'appelle le dividende
- b s'appelle le diviseur
- q s'appelle le quotient
- r s'appelle le reste
Exemple : Divisons 23 par 5
23 = 5 × 4 + 3
Donc : quotient = 4, reste = 3
Divisibilité : Si r = 0, on dit que a est divisible par b, ou que b divise a, ou que b est un diviseur de a.
Exemple : 20 = 5 × 4 + 0, donc 5 divise 20.
V. Nombres décimaux
Un nombre décimal a une partie entière et une partie décimale séparées par une virgule.
Structure d'un nombre décimal :
12,345 = 12 + 0,345
- 12 est la partie entière
- 0,345 est la partie décimale
- 3 est au rang des dixièmes (1/10)
- 4 est au rang des centièmes (1/100)
- 5 est au rang des millièmes (1/1000)
Opérations sur les décimaux :
- Addition et soustraction : Aligner les virgules
- Multiplication : Compter le nombre total de décimales
- Division : Utiliser la division posée comme avec des entiers
Exemple d'addition :
12,35
+ 4,62
─────────
16,97
Exemple de multiplication :
2,5 × 3,2 = 25 × 32 ÷ 100 = 800 ÷ 100 = 8
(2,5 a 1 décimale, 3,2 a 1 décimale, donc le résultat a 2 décimales)