Proportionnalité — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 5 : La Proportionnalité

I. Notion de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'une s'obtient en multipliant l'autre par un nombre constant appelé coefficient de proportionnalité ou rapport.

Si y est proportionnel à x : y = k × x, où k est le coefficient.

Exemple : Le prix total et la quantité d'articles :
Si un stylo coûte 3 DH, et j'achète x stylos, le prix total est y = 3x DH.
Le coefficient de proportionnalité est 3.

II. Tableau de proportionnalité

Un tableau est un tableau de proportionnalité si, pour passer d'une ligne à l'autre, on multiplie (ou divise) toujours par le même nombre.

Exemple :

Nombre de stylos	1	2	3	5
Prix (DH)	3	6	9	15

Coefficient : 3/1 = 6/2 = 9/3 = 15/5 = 3

III. Reconnaître une proportionnalité

Méthode : Vérifier que les quotients de la 2ème ligne par la 1ère sont constants.

k = y₁/x₁ = y₂/x₂ = y₃/x₃ = ...

Exemple : Les résultats 3/1 = 3, 6/2 = 3, 9/3 = 3 sont tous égaux, donc c'est proportionnel.

IV. Produit en croix (quatrième proportionnelle)

Si a/b = c/d, alors a × d = b × c
(Produit des extrêmes = Produit des moyennes)

Utilité : Trouver une valeur manquante.

Exemple : Si 3 stylos coûtent 9 DH, combien coûtent 5 stylos ?
3/9 = 5/x
3 × x = 9 × 5
3x = 45
x = 15 DH

V. Pourcentages

Un pourcentage est une fraction avec dénominateur 100. On le note avec le symbole %.
t% = t/100

t% d'une quantité Q = (t/100) × Q

Exemples :

25% de 80 = (25/100) × 80 = 0,25 × 80 = 20
10% de 150 = (10/100) × 150 = 0,1 × 150 = 15

Augmentation/Diminution :

Augmenter de 20% : Multiplier par 1,20
Diminuer de 20% : Multiplier par 0,80
Augmenter de 50% : Multiplier par 1,50
Diminuer de 50% : Multiplier par 0,50

VI. Échelle

L'échelle d'une carte ou d'un plan est le rapport entre la distance sur le plan et la distance réelle.

Échelle = distance sur le plan / distance réelle

Exemple : Échelle 1/50 000 signifie :

1 cm sur la carte représente 50 000 cm = 500 m en réalité
1 mm sur la carte = 50 m en réalité

Utilisation : Si deux villes sont séparées par 8 cm sur une carte à l'échelle 1/50 000 :

Distance réelle = 8 cm × 50 000 = 400 000 cm = 4 km

🔑 Formules clés à retenir

Proportionnalité : y = k × x
Produit en croix : a/b = c/d ⟹ ad = bc
Pourcentage : t% de Q = (t/100) × Q
Échelle : Échelle = distance plan / distance réelle
Augmentation de t% : multiplier par (1 + t/100)
Diminution de t% : multiplier par (1 - t/100)

Proportionnalité — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Reconnaître la proportionnalité

🟢 Facile

Énoncé

Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Justifier.

Tableau 1 :

x	2	4	6
y	5	10	15

Tableau 2 :

x	1	2	3
y	2	4	7

Ma réponse

Correction détaillée

Tableau 1 : OUI, c'est proportionnel.

5/2 = 2,5 ; 10/4 = 2,5 ; 15/6 = 2,5

Tous les quotients y/x sont égaux à 2,5 (coefficient = 2,5).

Tableau 2 : NON, ce n'est pas proportionnel.

2/1 = 2 ; 4/2 = 2 ; 7/3 ≈ 2,33

Les quotients y/x ne sont pas tous égaux.

Pourcentages simples

🟢 Facile

Énoncé

Calculer :

20% de 150
10% de 80
50% de 200
25% de 120

Ma réponse

Correction détaillée

20% de 150 = 0,20 × 150 = 30
10% de 80 = 0,10 × 80 = 8
50% de 200 = 0,50 × 200 = 100
25% de 120 = 0,25 × 120 = 30

Calcul de pourcentages complexes

🟢 Facile

Énoncé

Calculer :

15% de 200
30% de 80
75% de 160
5% de 400

Ma réponse

Correction détaillée

15% de 200 = 0,15 × 200 = 30
30% de 80 = 0,30 × 80 = 24
75% de 160 = 0,75 × 160 = 120
5% de 400 = 0,05 × 400 = 20

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Produit en croix et quatrième proportionnelle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Utiliser le produit en croix pour trouver x :

2/3 = 8/x
5/7 = x/14
3/4 = 12/x

Ma réponse

Correction détaillée

2/3 = 8/x : 2x = 3 × 8 = 24, donc x = 12
5/7 = x/14 : 5 × 14 = 7x, donc 70 = 7x, x = 10
3/4 = 12/x : 3x = 4 × 12 = 48, donc x = 16

Problèmes proportionnels simples

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Trois stylos coûtent 9 DH.

Quel est le prix d'un stylo ?
Combien coûtent 7 stylos ?
Combien de stylos peut-on acheter avec 24 DH ?

Ma réponse

Correction détaillée

Prix d'un stylo = 9 ÷ 3 = 3 DH
7 stylos coûtent 7 × 3 = 21 DH
Nombre de stylos = 24 ÷ 3 = 8 stylos

Partage proportionnel

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Trois personnes A, B et C se partagent un prix de 1 800 DH proportionnellement à leur âge. A a 12 ans, B a 14 ans, C a 14 ans.

Quel est la somme totale des âges ?
Quel est la part de chacun ?

Ma réponse

Correction détaillée

Somme des âges : 12 + 14 + 14 = 40 ans
Part de chacun :
La part est proportionnelle à l'âge.
Coefficient de proportionnalité = 1 800 ÷ 40 = 45 DH par an
- A : 12 × 45 = 540 DH
- B : 14 × 45 = 630 DH
- C : 14 × 45 = 630 DH
Vérification : 540 + 630 + 630 = 1 800 ✓

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Problème complet avec pourcentages et échelle

🔴 Difficile

Énoncé

Une population de 4 000 habitants augmente de 15% chaque année.

Calculer la population après une année.
Calculer la population après deux ans.

Sur une carte à l'échelle 1/50 000, deux villes sont distantes de 6 cm.

Quelle est la distance réelle entre les deux villes en km ?
Si une nouvelle ville est située à 20 km d'une de ces villes, à quelle distance (en cm) serait-elle sur la carte ?

Ma réponse

Correction détaillée

Population

Après 1 an :

15% de 4 000 = 0,15 × 4 000 = 600

Population = 4 000 + 600 = 4 600 habitants

Après 2 ans :

15% de 4 600 = 0,15 × 4 600 = 690

Population = 4 600 + 690 = 5 290 habitants

Distances

Distance réelle :

Échelle 1/50 000 : 1 cm sur carte = 50 000 cm = 500 m = 0,5 km en réalité

6 cm sur carte = 6 × 0,5 = 3 km

Distance sur la carte :

20 km en réalité = 20 000 m = 2 000 000 cm

Sur la carte : 2 000 000 ÷ 50 000 = 40 cm

Variation directe et inverse

🔴 Difficile

Énoncé

Un atelier produit 120 pièces en 4 heures à un certain rythme de travail.

Combien de pièces produit-on en 7 heures au même rythme ?
Combien de temps faut-il pour produire 300 pièces ?

Le prix total d'une commande est inversement proportionnel au nombre de boîtes commandées. Pour 100 boîtes, le prix par boîte est 50 DH.

Quel est le prix total pour 100 boîtes ?
Si le prix par boîte devient 40 DH, combien de boîtes a-t-on commandées ?

Ma réponse

Correction détaillée

Production (variation directe)

Coefficient : 120 pièces ÷ 4 heures = 30 pièces/heure

1) En 7 heures : 7 × 30 = 210 pièces

2) Pour 300 pièces : 300 ÷ 30 = 10 heures

Commande (variation inverse ou proportionnalité du prix total)

3) Prix total : 100 boîtes × 50 DH = 5 000 DH

4) Avec prix par boîte = 40 DH :
Le prix total reste 5 000 DH
Nombre de boîtes = 5 000 ÷ 40 = 125 boîtes

Mélange et dosage proportionnel

🔴 Difficile

Énoncé

Pour préparer une recette de jus de fruits, on mélange du jus d'orange et du jus de pomme dans le rapport 3:2 (3 parts d'orange pour 2 parts de pomme).

Si on utilise 600 mL de jus d'orange, combien de mL de jus de pomme faut-il ?
Quel est le volume total du jus ?

Pour une peinture, on mélange de la peinture blanche et de la peinture rouge dans le rapport 5:3. Le volume total doit être 2 000 mL.

Quel est le volume de peinture blanche ?
Quel est le volume de peinture rouge ?

Ma réponse

Correction détaillée

Jus de fruits (rapport 3:2)

1) Volume de jus de pomme :
Rapport orange:pomme = 3:2
600 mL ÷ 3 = 200 mL (valeur d'une part)
Pomme = 2 × 200 = 400 mL

2) Volume total :
600 + 400 = 1 000 mL

Peinture (rapport 5:3, total 2 000 mL)

Nombre de parts : 5 + 3 = 8 parts

3) Peinture blanche :
2 000 ÷ 8 = 250 mL (valeur d'une part)
Blanche = 5 × 250 = 1 250 mL

4) Peinture rouge :
Rouge = 3 × 250 = 750 mL
Vérification : 1 250 + 750 = 2 000 ✓