Symétrie axiale — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

Chapitre 4 : La Symétrie axiale

I. Définition

Deux points A et A' sont symétriques par rapport à une droite (d) si :

(d) est perpendiculaire au segment [AA']
(d) passe par le milieu de [AA']

Autrement dit, (d) est la médiatrice de [AA'].

Cas particulier : Si un point P est sur la droite (d), il est son propre symétrique par rapport à (d).

II. Propriétés de la symétrie axiale

La symétrie axiale conserve :

Les distances : Si [AB] a pour symétrique [A'B'], alors AB = A'B'
Les angles : Un angle et son symétrique ont la même mesure
Les aires : Une figure et son symétrique ont la même aire
L'alignement : Si des points sont alignés, leurs symétriques sont aussi alignés

Conséquence : La symétrie axiale transforme une figure en une figure de même forme et même taille.

III. Symétrique d'une figure

Pour construire le symétrique d'une figure par rapport à (d) :

Identifier les sommets de la figure (points A, B, C, ...)
Tracer la perpendiculaire à (d) pour chaque sommet
Reporter la même distance de l'autre côté de (d)
Relier les points symétriques obtenus

Exemple : Symétrique d'un triangle rectangle

L'angle droit reste un angle droit
Les côtés conservent leurs longueurs
Le triangle image est superposable au triangle original

IV. Axe de symétrie d'une figure

Une droite (d) est un axe de symétrie d'une figure si la figure est exactement sa propre image par la symétrie d'axe (d).

Exemples :

Rectangle : 2 axes de symétrie (les deux médiatrices des côtés)
Carré : 4 axes de symétrie (2 diagonales + 2 médiatrices)
Triangle équilatéral : 3 axes de symétrie (3 hauteurs)
Triangle isocèle : 1 axe de symétrie (la hauteur du sommet principal)
Cercle : Une infinité d'axes (tous les diamètres)

V. Symétrie et orientation

Important : La symétrie axiale inverse l'orientation.

Si on trace une figure avec une certaine orientation (par exemple, les sommets A, B, C dans le sens des aiguilles d'une montre), son symétrique aura l'orientation inverse (A', B', C' dans le sens inverse).

🔑 Formules clés à retenir

Symétrique d'un point : A' est le symétrique de A par (d) si (d) est perpendiculaire et médiatrice de [AA']
Conservation des distances : AB = A'B'
Conservation des angles : Les angles sont préservés
Axe de symétrie : Droite telle que la figure soit sa propre image

Symétrie axiale — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Axes de symétrie des figures

🟢 Facile

Énoncé

Indiquer le nombre d'axes de symétrie pour chaque figure :

Un carré
Un rectangle (non carré)
Un losange (non carré)
Un triangle équilatéral
Un cercle

Ma réponse

Correction détaillée

Un carré : 4 axes (2 diagonales + 2 médiatrices des côtés)
Un rectangle (non carré) : 2 axes (2 médiatrices des côtés)
Un losange (non carré) : 2 axes (2 diagonales)
Un triangle équilatéral : 3 axes (les 3 hauteurs/médianes/bissectrices qui coïncident)
Un cercle : Une infinité d'axes (tous les diamètres)

Symétrique d'un point - Cas simple

🟢 Facile

Énoncé

Dans un repère, on a la droite (d) : y = 3 (droite horizontale).

Quel est le symétrique du point A(2, 1) par rapport à (d) ?
Quel est le symétrique du point B(5, 5) par rapport à (d) ?
Quel est le symétrique du point C(0, 3) par rapport à (d) ?

Ma réponse

Correction détaillée

La droite (d) : y = 3 est horizontale.

A(2, 1) : Distance de A à (d) = 3 - 1 = 2. Le symétrique A' est à 2 unités de l'autre côté, donc A'(2, 5)
B(5, 5) : Distance de B à (d) = 5 - 3 = 2. Le symétrique B' est à 2 unités de l'autre côté, donc B'(5, 1)
C(0, 3) : C est sur la droite (d), donc C' = C = C(0, 3)

Symétrique d'une figure simple

🟢 Facile

Énoncé

Tracer le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d) dans les cas suivants :

Le segment [AB] est perpendiculaire à (d)
Le segment [AB] est parallèle à (d)
Le segment [AB] coupe (d)

Ma réponse

Correction détaillée

Segment perpendiculaire : Son symétrique sera aussi un segment de même longueur, de l'autre côté de (d), également perpendiculaire à (d).
Segment parallèle : Son symétrique sera un segment parallèle au premier, à la même distance de (d), mais de l'autre côté.
Segment qui coupe (d) : Le point d'intersection reste invariant. Le symétrique est un segment qui s'étend de l'autre côté du point d'intersection.

Propriété : Dans tous les cas, la longueur du segment symétrique est conservée.

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Conservation des propriétés par symétrie

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un segment [AB] a une longueur de 5 cm. Son symétrique par rapport à (d) est [A'B'].

Quelle est la longueur de [A'B'] ?
Un angle du triangle ABC mesure 60°. Que mesure l'angle correspondant du triangle A'B'C' ?
Pourquoi la symétrie conserve-t-elle les longueurs et les angles ?

Ma réponse

Correction détaillée

A'B' = 5 cm. La symétrie conserve les distances.
L'angle correspondant du triangle A'B'C' mesure aussi 60°. La symétrie conserve les angles.
Justification : La symétrie est une isométrie (transformation qui préserve les distances). Cette propriété découle de la définition même de la symétrie : si deux points sont symétriques par rapport à une droite, ils sont situés à égale distance de cette droite, et les longueurs et angles sont préservés.

Symétrique d'un triangle - Propriétés

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un triangle ABC isocèle en A (AB = AC) a pour axe de symétrie la droite (d) qui passe par A et par le milieu de [BC].

Montrer que B et C sont symétriques par rapport à (d).
Que peut-on dire du triangle A'B'C' symétrique du triangle ABC ?
Si l'angle BAC = 70°, que valent les angles ABC et ACB ?

Ma réponse

Correction détaillée

B et C sont symétriques : Puisque (d) est la médiatrice de [BC], par définition de la médiatrice, tous les points de (d) sont équidistants de B et C. Donc B et C sont symétriques par rapport à (d).
Triangle A'B'C' : Le triangle A'B'C' est identique au triangle ABC (même forme, même dimensions), car A' = A (A est sur l'axe), B' = C et C' = B. Donc A'B'C' = ACB, qui est également isocèle en A.
Angles : Comme ABC est isocèle en A : ABC = ACB = (180° - 70°)/2 = 55°

Construction du symétrique d'un polygone

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On a un carré ABCD avec A(0, 0), B(3, 0), C(3, 3), D(0, 3). L'axe de symétrie est (d) : y = x.

Trouver les coordonnées des symétriques A', B', C', D'.
Vérifier que A'B'C'D' est aussi un carré.
Calculer le périmètre du carré ABCD et celui de A'B'C'D'.

Ma réponse

Correction détaillée

Symétriques par rapport à y = x :
Pour un point P(x, y), son symétrique par rapport à y = x est P'(y, x).
- A(0, 0) → A'(0, 0)
- B(3, 0) → B'(0, 3)
- C(3, 3) → C'(3, 3)
- D(0, 3) → D'(3, 0)
A'B'C'D' est un carré :
A'B' = √[(0-0)² + (3-0)²] = 3
B'C' = √[(3-0)² + (3-3)²] = 3
Tous les côtés font 3 unités, et les angles sont droits (propriété de la symétrie).
Périmètres :
Périmètre ABCD = 4 × 3 = 12
Périmètre A'B'C'D' = 4 × 3 = 12
La symétrie conserve le périmètre.

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Symétrique et isocèle — Démonstration

🔴 Difficile

Énoncé

Soit un triangle ABC et son symétrique A'B'C' par rapport à une droite (d).

Si AB = 5 cm et l'angle BAC = 40°, donner les mesures correspondantes dans le triangle A'B'C'.
Le triangle ABC est isocèle en A avec AB = AC = 6 cm. Montrer que (d) passant par le milieu de BC et perpendiculaire à BC est un axe de symétrie de ce triangle.
Quelle propriété du triangle ABC peut-on déduire si (d) est un axe de symétrie et passe par le sommet A ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Triangle symétrique

La symétrie conserve les longueurs et les angles, donc :

A'B' = AB = 5 cm
L'angle B'A'C' = angle BAC = 40°

2) Axe de symétrie du triangle isocèle

Soit M le milieu de BC. La droite (AM) est la médiatrice de BC car :

AB = AC = 6 cm (isocèle)
Donc A est équidistant de B et C, donc A est sur la médiatrice de [BC]

Par la symétrie d'axe (AM) :

B et C sont échangés (la droite (AM) est perpendiculaire à BC et passe par son milieu)
A est sur (AM), donc il reste fixe

Le triangle ABC se superpose à lui-même → (AM) est bien un axe de symétrie. ✓

3) Conséquence

Si (d) est un axe de symétrie du triangle ABC et passe par le sommet A, alors le triangle ABC est isocèle en A (car B et C sont symétriques par rapport à (d), donc AB = AC).

Construction géométrique - Symétrique d'un cercle

🔴 Difficile

Énoncé

Un cercle C a pour centre O(2, 1) et pour rayon 2. L'axe de symétrie est (d) : x = 5.

Trouver le centre O' du cercle symétrique.
Quel est le rayon du cercle symétrique ?
Montrer que le point (5, 1) appartient à la fois au cercle C et au cercle C'.

Ma réponse

Correction détaillée

Centre O' :
O(2, 1) par rapport à x = 5 : O'(8, 1)
(La distance de 2 à 5 est 3, donc le symétrique est à 3 unités de l'autre côté de 5, d'où 5 + 3 = 8)
Rayon du cercle C' :
Le rayon est conservé par symétrie. Donc rayon(C') = 2.
Point (5, 1) :
Pour C : distance du centre O(2, 1) à (5, 1) = √[(5-2)² + (1-1)²] = 3
Pour C' : distance du centre O'(8, 1) à (5, 1) = √[(5-8)² + (1-1)²] = 3
Cependant, comme le rayon est 2, le point (5, 1) n'appartient à AUCUN des deux cercles (car la distance au centre est 3 > 2).
Correction : Le point qui appartient à la fois aux deux cercles serait à égale distance de O et O', donc sur l'axe x = 5, comme (5, 1) ± 2 = (5, 3) ou (5, -1).

Problème : Axes de symétrie multiples

🔴 Difficile

Énoncé

Montrer que le rectangle ABCD avec A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4) possède deux axes de symétrie.

Trouver l'équation de ces deux axes.
Vérifier que les diagonales se croisent en leur milieu.
Si on applique successivement les deux symétries, qu'obtient-on ?

Ma réponse

Correction détaillée

Axes de symétrie :
Axe horizontal (médiatrice des côtés verticaux) : y = 2,5
Axe vertical (médiatrice des côtés horizontaux) : x = 3
Ces deux axes passent par le centre du rectangle.
Diagonales :
Diagonale AC : de (1, 1) à (5, 4). Milieu : ((1+5)/2, (1+4)/2) = (3, 2,5)
Diagonale BD : de (5, 1) à (1, 4). Milieu : ((5+1)/2, (1+4)/2) = (3, 2,5)
Les diagonales se croisent bien en (3, 2,5), intersection des deux axes.
Composition des deux symétries :
Appliquer deux symétries perpendiculaires revient à faire une rotation de 180° autour du point d'intersection (3, 2,5). Le rectangle revient à sa position initiale après les deux symétries.