Cercle et Circonférence — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 11 : Cercle et Circonférence

I. Définitions

Un cercle est l'ensemble des points à une distance constante (rayon) d'un point fixe (centre).

Vocabulaire :

Rayon (r) : distance du centre à un point du cercle
Diamètre (d) : d = 2r
Circonférence (ou périmètre) : distance autour du cercle
Arc : partie du cercle
Corde : segment reliant deux points du cercle

II. Formules du cercle

Circonférence : C = πd = 2πr (où π ≈ 3,14159)

Exemple : Si r = 5 cm, alors C = 2π × 5 = 10π ≈ 31,4 cm

Aire du disque : A = πr²

Exemple : Si r = 5 cm, alors A = π × 5² = 25π ≈ 78,5 cm²

III. Angles et arcs

Angle au centre : Angle dont le sommet est au centre du cercle

Angle inscrit : Angle dont le sommet est sur le cercle

Propriété : Un angle inscrit = moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc

🔑 Formules clés à retenir

Diamètre : d = 2r
Circonférence : C = πd = 2πr
Aire : A = πr²
Arc : longueur = (angle/360°) × 2πr

Cercle et Circonférence — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

6 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 6 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Calculer la circonférence

🟢 Facile

Énoncé

Calculer la circonférence d'un cercle de rayon 4 cm
Calculer la circonférence d'un cercle de diamètre 10 cm

Ma réponse

Correction détaillée

C = 2πr = 2π × 4 = 8π ≈ 25,1 cm
C = πd = π × 10 = 10π ≈ 31,4 cm

Calculer l'aire du disque

🟢 Facile

Énoncé

Calculer l'aire d'un disque de rayon 3 cm
Calculer l'aire d'un disque de rayon 6 cm

Ma réponse

Correction détaillée

A = πr² = π × 3² = 9π ≈ 28,3 cm²
A = πr² = π × 6² = 36π ≈ 113,1 cm²

🟡 Exercices Intermédiaires

2 exercices

Longueur d'un arc et aire d'un secteur

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un cercle a un rayon de 6 cm.

Calculer la longueur d'un arc correspondant à un angle de 90° au centre.
Calculer l'aire du secteur circulaire correspondant à cet angle de 90°.
Quel angle au centre correspond à un arc de longueur 4π cm ?

Ma réponse

Correction détaillée

Longueur de l'arc = (angle / 360°) × 2πr

= (90 / 360) × 2π × 6 = (1/4) × 12π = 3π ≈ 9,42 cm
Aire du secteur = (angle / 360°) × πr²

= (90 / 360) × π × 36 = (1/4) × 36π = 9π ≈ 28,27 cm²
4π = (angle / 360°) × 2π × 6 = (angle / 360°) × 12π

angle / 360° = 4π / 12π = 1/3 ⟹ angle = 120°

Angle inscrit et angle au centre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un cercle de centre O :

Un angle au centre vaut 80°. Quel est l'angle inscrit interceptant le même arc ?
Un angle inscrit vaut 35°. Quel est l'angle au centre correspondant ?
Un angle inscrit dans un demi-cercle (angle qui s'appuie sur un diamètre). Quelle est sa valeur ? Justifier.

Ma réponse

Correction détaillée

Angle inscrit = (1/2) × angle au centre = 80° / 2 = 40°
Angle au centre = 2 × angle inscrit = 2 × 35° = 70°
L'angle au centre correspondant au diamètre est 180° (angle plat). Donc l'angle inscrit = 180° / 2 = 90°. Tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit.

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Problèmes sur le cercle

🔴 Difficile

Énoncé

Une piste circulaire a une circonférence de 400 m. Quel est son rayon ? (arrondir au mètre)
Un disque de pizza a un diamètre de 30 cm. On coupe un secteur d'angle 72°. Calculer l'aire de ce secteur.
Deux cercles concentriques ont des rayons de 5 cm et 8 cm. Calculer l'aire de la couronne (région entre les deux cercles).

Ma réponse

Correction détaillée

C = 2πr ⟹ r = C / (2π) = 400 / (2π) = 400 / 6,28 ≈ 64 m
Rayon = 15 cm. Aire du secteur = (72/360) × π × 15² = (1/5) × 225π = 45π ≈ 141,4 cm²
Aire de la couronne = Aire du grand disque - Aire du petit disque

= π × 8² - π × 5² = 64π - 25π = 39π ≈ 122,5 cm²

Tangente et propriétés du cercle

🔴 Difficile

Énoncé

Un cercle de centre O et de rayon 5 cm. Le point A est à 13 cm de O. On trace une tangente au cercle passant par A et touchant le cercle en T. Calculer AT.
Dans un cercle de rayon 10 cm, une corde AB mesure 12 cm. Calculer la distance du centre O à la corde AB.
Un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre 10 cm. L'un des côtés est le diamètre. Calculer la hauteur maximale du triangle.

Ma réponse

Correction détaillée

OT est le rayon et AT est tangente, donc OT ⊥ AT. Le triangle OAT est rectangle en T.

AT² = OA² - OT² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144

AT = 12 cm
Soit H le milieu de AB (le rayon perpendiculaire à une corde passe par son milieu).

AH = AB/2 = 6 cm. Dans le triangle OHA rectangle en H :

OH² = OA² - AH² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64 ⟹ OH = 8 cm
Tout triangle inscrit dans un demi-cercle et dont un côté est le diamètre est rectangle.

La hauteur maximale est le rayon (lorsque le sommet est au sommet du cercle) = 5 cm.