Chapitre 4 : Équations du 1er degré à une inconnue

I. Définitions

Vocabulaire :

• Une solution est un nombre qui rend l'équation vraie
• L'ensemble des solutions est l'ensemble de tous les nombres qui rendent l'équation vraie

Exemple : L'équation 2x + 3 = 7

• x = 2 est une solution (car 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 ✓)
• x = 1 n'est pas une solution (car 2(1) + 3 = 5 ≠ 7)

II. Équations du 1er degré

Propriétés fondamentales :

• On peut ajouter/soustraire le même nombre aux deux membres
• On peut multiplier/diviser par le même nombre (non-nul) les deux membres
• Ces opérations ne changent pas l'ensemble des solutions

III. Résolution d'équations du 1er degré

Forme simple : ax = b

Exemples :

• 3x = 15 ⟹ x = 15/3 = 5
• -2x = 8 ⟹ x = 8/(-2) = -4
• x/4 = 7 ⟹ x = 7 × 4 = 28

Forme générale : ax + b = c

Méthode :

1. Rassembler les termes avec x d'un côté
2. Rassembler les nombres de l'autre côté
3. Simplifier chaque côté
4. Isoler x

Exemple : Résoudre 2x + 5 = 11

• 2x + 5 = 11
• 2x = 11 - 5 (soustraire 5 des deux côtés)
• 2x = 6
• x = 6/2 = 3
• Solution : x = 3

Exemple plus complexe : Résoudre 3x - 4 = 2x + 1

• 3x - 4 = 2x + 1
• 3x - 2x = 1 + 4 (regrouper les x à gauche, les nombres à droite)
• x = 5
• Solution : x = 5

IV. Vérification de la solution

Méthode : Remplacer x par sa valeur dans l'équation de départ.

Exemple : Vérifier que x = 5 est solution de 3x - 4 = 2x + 1

• Membre gauche : 3(5) - 4 = 15 - 4 = 11
• Membre droit : 2(5) + 1 = 10 + 1 = 11
• Les deux membres sont égaux ✓