Polynômes et Factorisation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 8 : Polynômes et Factorisation

I. Polynômes

Un polynôme en x est une expression de la forme : P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

Exemple : P(x) = 2x² + 3x - 5

II. Identités remarquables

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemple : (x + 3)² = x² + 6x + 9

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Exemple : (x - 2)² = x² - 4x + 4

(a + b)(a - b) = a² - b²

Exemple : (x + 5)(x - 5) = x² - 25

III. Factorisation

Facteur commun : ab + ac = a(b + c)

Exemple : 2x + 4x² = 2x(1 + 2x)

Utiliser les identités remarquables :

x² + 6x + 9 = (x + 3)²
x² - 25 = (x - 5)(x + 5)

IV. Développement et réduction

Appliquer la distributivité pour développer une expression.

Exemple : (2x + 3)(x - 1) = 2x² - 2x + 3x - 3 = 2x² + x - 3

🔑 Formules clés à retenir

(a + b)² : a² + 2ab + b²
(a - b)² : a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) : a² - b²
Facteur commun : ab + ac = a(b + c)

Polynômes et Factorisation — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

6 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 6 corrigés

🟡 Exercices Intermédiaires

4 exercices

Utiliser les identités remarquables

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Développer : (x + 2)²
Développer : (x - 3)²
Développer : (x + 4)(x - 4)

Ma réponse

Correction détaillée

(x + 2)² = x² + 4x + 4
(x - 3)² = x² - 6x + 9
(x + 4)(x - 4) = x² - 16

Factoriser

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Factoriser : 2x + 4
Factoriser : x² - 9
Factoriser : x² + 4x + 4

Ma réponse

Correction détaillée

2x + 4 = 2(x + 2)
x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
x² + 4x + 4 = (x + 2)²

Développer des expressions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Développer et réduire les expressions suivantes :

(2x + 3)²
(3x - 2)²
(x + 5)(x - 5)
(2x + 1)(3x - 2)

Ma réponse

Correction détaillée

(2x + 3)² = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
(3x - 2)² = (3x)² - 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² - 12x + 4
(x + 5)(x - 5) = x² - 5² = x² - 25
(2x + 1)(3x - 2) = 6x² - 4x + 3x - 2 = 6x² - x - 2

Factoriser en utilisant les identités remarquables

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :

9x² - 16
x² - 10x + 25
4x² + 12x + 9
3x² - 27

Ma réponse

Correction détaillée

9x² - 16 = (3x)² - 4² = (3x - 4)(3x + 4)
x² - 10x + 25 = x² - 2 × x × 5 + 5² = (x - 5)²
4x² + 12x + 9 = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = (2x + 3)²
3x² - 27 = 3(x² - 9) = 3(x - 3)(x + 3)

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Simplifier des fractions algébriques

🔴 Difficile

Énoncé

Simplifier les fractions suivantes en factorisant le numérateur et/ou le dénominateur :

(x² - 4) / (x - 2)
(x² - 9) / (x + 3)
(x² + 4x + 4) / (x + 2)
Résoudre l'équation : (x² - 25) / (x - 5) = 0

Ma réponse

Correction détaillée

x² - 4 = (x-2)(x+2), donc (x²-4)/(x-2) = x + 2 (avec x ≠ 2)
x² - 9 = (x-3)(x+3), donc (x²-9)/(x+3) = x - 3 (avec x ≠ -3)
x² + 4x + 4 = (x+2)², donc (x²+4x+4)/(x+2) = x + 2 (avec x ≠ -2)
(x+5)(x-5)/(x-5) = x + 5 = 0 ⟹ x = -5 (et x ≠ 5)

Application des identités remarquables

🔴 Difficile

Énoncé

Calculer 99² en utilisant l'identité (a - b)² = a² - 2ab + b².
Calculer 51 × 49 en utilisant l'identité (a + b)(a - b) = a² - b².
Factoriser entièrement : 2x³ - 8x.

Ma réponse

Correction détaillée

99² = (100 - 1)² = 100² - 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 - 200 + 1 = 9 801
51 × 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 50² - 1² = 2 500 - 1 = 2 499
2x³ - 8x = 2x(x² - 4) = 2x(x - 2)(x + 2)