Racine Carrée — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 3 : La Racine Carrée

I. Définition de la racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré égale a.
Si x = √a, alors x^2 = a et x ≥ 0

Notation : √a se lit "racine carrée de a"

Exemples :

√9 = 3 (car 3^2 = 9)
√16 = 4 (car 4^2 = 16)
√25 = 5 (car 5^2 = 25)
√0 = 0
√1 = 1

II. Carrés parfaits

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.

Liste des carrés parfaits :

1^2 = 1 ⟹ √1 = 1
2^2 = 4 ⟹ √4 = 2
3^2 = 9 ⟹ √9 = 3
4^2 = 16 ⟹ √16 = 4
5^2 = 25 ⟹ √25 = 5
6^2 = 36 ⟹ √36 = 6
7^2 = 49 ⟹ √49 = 7
8^2 = 64 ⟹ √64 = 8
9^2 = 81 ⟹ √81 = 9
10^2 = 100 ⟹ √100 = 10

III. Propriétés de la racine carrée

Racine d'un produit : √(a×b) = √a × √b (pour a,b ≥ 0)

Exemple : √(9×4) = √9 × √4 = 3 × 2 = 6

Racine d'un quotient : √(a/b) = √a / √b (pour a ≥ 0, b > 0)

Exemple : √(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2

Relation carré-racine : (√a)^2 = a et √(a^2) = |a|

Attention :

√(a+b) ≠ √a + √b
Exemple : √(9+16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7

IV. Simplification de racines carrées

Méthode : Utiliser la propriété √(a×b) = √a × √b pour extraire les carrés parfaits.

Exemples :

√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√3
√50 = √(25×2) = √25 × √2 = 5√2
√72 = √(36×2) = √36 × √2 = 6√2

V. Approximations et calculs

Pour les racines carrées non-parfaites, on utilise des approximations :

√2 ≈ 1,414
√3 ≈ 1,732
√5 ≈ 2,236

🔑 Formules clés à retenir

Définition : Si x = √a, alors x^2 = a (x ≥ 0)
Produit : √(a×b) = √a × √b
Quotient : √(a/b) = √a / √b
Carré de la racine : (√a)^2 = a
Racine du carré : √(a^2) = |a|

Racine Carrée — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

6 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 6 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Calculer des racines carrées

🟢 Facile

Énoncé

Calculer : √4
Calculer : √25
Calculer : √64
Calculer : √100
Calculer : √1

Ma réponse

Correction détaillée

√4 = 2 (car 2^2 = 4)
√25 = 5 (car 5^2 = 25)
√64 = 8 (car 8^2 = 64)
√100 = 10 (car 10^2 = 100)
√1 = 1 (car 1^2 = 1)

Encadrement de racines carrées

🟢 Facile

Énoncé

Encadrer chaque racine entre deux entiers consécutifs :

√20
√55
√130
Donner une valeur approchée de √7 à 0,1 près.

Ma réponse

Correction détaillée

4² = 16 et 5² = 25, donc 4 < √20 < 5
7² = 49 et 8² = 64, donc 7 < √55 < 8
11² = 121 et 12² = 144, donc 11 < √130 < 12
2,6² = 6,76 et 2,7² = 7,29. Donc √7 ≈ 2,6 (à 0,1 près par défaut)

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Simplifier des racines carrées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier : √12
Simplifier : √18
Simplifier : √50
Simplifier : √72

Ma réponse

Correction détaillée

√12 = √(4×3) = 2√3
√18 = √(9×2) = 3√2
√50 = √(25×2) = 5√2
√72 = √(36×2) = 6√2

Addition et soustraction de racines carrées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes :

3√2 + 5√2
√50 + √18
4√3 - √12
√75 - √48 + √3

Ma réponse

Correction détaillée

3√2 + 5√2 = (3 + 5)√2 = 8√2
√50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2
4√3 - √12 = 4√3 - 2√3 = 2√3
√75 - √48 + √3 = 5√3 - 4√3 + √3 = (5 - 4 + 1)√3 = 2√3

Produit et quotient de racines carrées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer et simplifier :

√3 × √12
√8 × √2
√48 ÷ √3
(√5)² + (√7)²

Ma réponse

Correction détaillée

On utilise la propriété : √a × √b = √(ab)

√3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6
√8 × √2 = √(8 × 2) = √16 = 4
√48 ÷ √3 = √(48 ÷ 3) = √16 = 4
(√5)² + (√7)² = 5 + 7 = 12

🔴 Exercices Difficiles

1 exercices

Problème avec racines carrées

🔴 Difficile

Énoncé

Un carré a une aire de 200 cm². Calculer la longueur de son côté sous forme simplifiée.
Rationaliser le dénominateur : 6/√3
Montrer que √(a² + b²) ≠ a + b en prenant a = 3 et b = 4.

Ma réponse

Correction détaillée

Aire = côté², donc côté = √200 = √(100 × 2) = 10√2. Le côté mesure 10√2 ≈ 14,14 cm.
6/√3 = 6/√3 × (√3/√3) = 6√3/3 = 2√3
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5, mais 3 + 4 = 7. Comme 5 ≠ 7, on conclut que √(a² + b²) ≠ a + b.