Théorème de Pythagore — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 5 : Théorème de Pythagore

I. Énoncé du théorème

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors : BC² = AB² + AC²

Vocabulaire :

Hypoténuse = le côté opposé à l'angle droit (le plus long côté)
Cathètes = les deux côtés qui forment l'angle droit

II. Démonstration intuitive

On peut vérifier le théorème avec un exemple simple :

Triangle avec cathètes 3 et 4
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
Donc l'hypoténuse = 5

Autres exemples de triplets pythagoriciens :

5, 12, 13 (car 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²)
8, 15, 17 (car 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²)
6, 8, 10 (car 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²)

III. Applications du théorème

Cas 1 : Calculer l'hypoténuse

Si on connaît les deux cathètes AB et AC, on trouve BC :

BC = √(AB² + AC²)

Exemple : Triangle rectangle avec cathètes 6 cm et 8 cm

BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
BC = √100 = 10 cm

Cas 2 : Calculer une cathète

Si on connaît l'hypoténuse BC et une cathète AB, on trouve AC :

AC² = BC² - AB²

AC = √(BC² - AB²)

Exemple : Triangle rectangle avec hypoténuse 13 cm et une cathète 5 cm

AC² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
AC = √144 = 12 cm

IV. Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC on a : BC² = AB² + AC²
Alors le triangle est rectangle en A.

Application : Vérifier si un triangle est rectangle

Exemple : Le triangle avec côtés 5, 12, 13 est-il rectangle ?

Vérifier : 13² = 5² + 12² ?
169 = 25 + 144 ?
169 = 169 ✓
Oui, c'est un triangle rectangle !

V. Géométrie spatiale

Le théorème de Pythagore s'applique aussi en 3D pour les diagonales de parallélépipèdes.

🔑 Formules clés à retenir

Théorème : BC² = AB² + AC² (si angle droit en A)
Hypoténuse : BC = √(AB² + AC²)
Cathète : AC = √(BC² - AB²)
Réciproque : Si BC² = AB² + AC², alors triangle rectangle en A

Théorème de Pythagore — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

6 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 6 corrigés

🟢 Exercices Faciles

1 exercices

Vérification et triplets pythagoriciens

🟢 Facile

Énoncé

Vérifier que le triplet (7, 24, 25) est pythagoricien.
Vérifier que le triplet (9, 40, 41) est pythagoricien.
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse vaut √50 cm et une cathète vaut 5 cm. Calculer l'autre cathète.

Ma réponse

Correction détaillée

25² = 625 et 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Oui, (7, 24, 25) est pythagoricien.
41² = 1681 et 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681. Oui, (9, 40, 41) est pythagoricien.
Cathète² = (√50)² - 5² = 50 - 25 = 25, donc Cathète = 5 cm.

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Calculer l'hypoténuse

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un triangle rectangle a pour cathètes :

3 cm et 4 cm. Calculer l'hypoténuse.
5 cm et 12 cm. Calculer l'hypoténuse.
6 cm et 8 cm. Calculer l'hypoténuse.

Ma réponse

Correction détaillée

BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ⟹ BC = 5 cm
BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ⟹ BC = 13 cm
BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ⟹ BC = 10 cm

Calculer une cathète

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un triangle rectangle a :

Hypoténuse 13 cm et une cathète 5 cm. Calculer l'autre cathète.
Hypoténuse 17 cm et une cathète 8 cm. Calculer l'autre cathète.

Ma réponse

Correction détaillée

AC² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 ⟹ AC = 12 cm
AC² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225 ⟹ AC = 15 cm

Vérifier si un triangle est rectangle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Déterminer si les triangles suivants sont rectangles (utiliser la réciproque du théorème de Pythagore) :

Triangle de côtés 8, 15 et 17 cm
Triangle de côtés 5, 6 et 8 cm
Triangle de côtés 9, 12 et 15 cm

Ma réponse

Correction détaillée

Pour chaque triangle, on vérifie si le carré du plus grand côté = somme des carrés des deux autres.

17² = 289 et 8² + 15² = 64 + 225 = 289. Comme 289 = 289, ce triangle est rectangle (angle droit opposé au côté 17 cm).
8² = 64 et 5² + 6² = 25 + 36 = 61. Comme 64 ≠ 61, ce triangle n'est pas rectangle.
15² = 225 et 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Comme 225 = 225, ce triangle est rectangle.

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Problème concret avec Pythagore

🔴 Difficile

Énoncé

Une échelle de 5 m de long est appuyée contre un mur. Le bas de l'échelle est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? (arrondir au cm)
Un terrain rectangulaire mesure 24 m × 10 m. Calculer la longueur de la diagonale.

Ma réponse

Correction détaillée

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle.

Hypoténuse = 5 m, cathète horizontale = 1,5 m.

h² = 5² - 1,5² = 25 - 2,25 = 22,75

h = √22,75 ≈ 4,77 m
Diagonale² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676

Diagonale = √676 = 26 m

Pythagore dans le plan et distances

🔴 Difficile

Énoncé

Dans un repère orthogonal, on donne les points A(1, 2), B(4, 6) et C(5, 2).

Calculer AB, BC et AC.
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Ma réponse

Correction détaillée

AB = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

BC = √((5-4)² + (2-6)²) = √(1 + 16) = √17 ≈ 4,12

AC = √((5-1)² + (2-2)²) = √(16 + 0) = 4
Le plus grand côté est AB = 5.

AB² = 25 et BC² + AC² = 17 + 16 = 33 ≠ 25. Pas rectangle en C.

Vérifions en A : BC² = AB² + AC² ? 17 = 25 + 16 = 41 ? Non.

Vérifions en C : AB² = AC² + BC² ? 25 = 16 + 17 = 33 ? Non.

Le triangle ABC n'est pas rectangle.