Vecteurs du plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Notion de vecteur

Un vecteur AB^→ est caractérisé par :

Une direction (la droite (AB)),
Un sens (de A vers B),
Une norme ‖AB^→‖ = AB (longueur du segment).

Le vecteur nul 0^→ = AA^→ a une norme nulle.

II. Égalité de vecteurs

AB^→ = CD^→ si et seulement si les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même norme. Géométriquement, ABDC est un parallélogramme (ou les segments sont identiques).

III. Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère (O ; i^→, j^→), si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B), alors :

AB^→ = (x_B − x_A ; y_B − y_A)

Norme : ‖AB^→‖ = √((x_B−x_A)² + (y_B−y_A)²)

IV. Opérations sur les vecteurs

Addition — règle de Chasles : AB^→ + BC^→ = AC^→.

En coordonnées : si u^→(x,y) et v^→(x',y'), alors u^→ + v^→ = (x+x', y+y').

Multiplication par un scalaire : k·u^→(x,y) = (kx, ky). ‖k·u^→‖ = |k|·‖u^→‖.

Opposé : −AB^→ = BA^→.

V. Colinéarité

u^→(x,y) et v^→(x',y') sont colinéaires ssi :

x·y' − y·x' = 0

Application : A, B, C alignés ⇔ AB^→ et AC^→ colinéaires.

VI. Translation

La translation de vecteur u^→(a,b) transforme M(x,y) en M'(x+a, y+b). On a MM^→' = u^→.

🔑 Formules clés à retenir

AB^→ = (x_B−x_A ; y_B−y_A)
Chasles : AB^→ + BC^→ = AC^→
u^→ + v^→ = (x+x' ; y+y')
‖u^→‖ = √(x²+y²)
Colinéaires ⇔ xy'−yx' = 0
Translation : M'(x+a ; y+b)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

AB^→ = B − A, pas A − B — AB^→ = (xB − xA ; yB − yA). C'est les coordonnées de B moins les coordonnées de A. L'ordre compte !

❌

AB^→ ≠ BA^→ — Ces deux vecteurs sont opposés : BA^→ = −AB^→. Même longueur, sens contraire.

❌

ABCD parallélogramme ⇔ AB^→ = DC^→ (pas CD^→). Attention à l'ordre des lettres dans la condition.

🟢 Astuces de pros

✅

Règle de Chasles : visualiser comme un chemin. AB^→ + BC^→ = AC^→ : on part de A, on passe par B, on arrive en C. Le B "se simplifie".

💡

Pour vérifier que 4 points forment un parallélogramme, calculer les milieux des diagonales. Si les milieux coïncident → parallélogramme.

Vecteurs du plan — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

16 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 16 corrigés

🟢 Exercices Faciles

6 exercices

Coordonnées d'un vecteur

🟢 Facile

Énoncé

A(1,3), B(5,7), C(−2,1). Calculer AB^→, AC^→ et ‖AB^→‖.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

AB^→(4,4). AC^→(−3,−2). ‖AB^→‖ = √(16+16) = 4√2.

Règle de Chasles

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier : 1) AB^→+BC^→+CD^→ 2) MA^→+AB^→+BM^→ 3) OA^→−OB^→

Ma réponse

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Correction détaillée

1) AD^→. 2) 0^→. 3) OA^→+BO^→ = BA^→ = BA^→.

Addition en coordonnées

🟢 Facile

Énoncé

u^→(3,−1) et v^→(−2,4). Calculer u^→+v^→, 2u^→−v^→ et ‖v^→‖.

Ma réponse

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Correction détaillée

u^→+v^→ = (1,3). 2u^→−v^→ = (6,−2)−(−2,4) = (8,−6). ‖v^→‖ = √(4+16) = √20 = 2√5.

Parallélogramme

🟢 Facile

Énoncé

A(1,2), B(5,3), C(7,6). Trouver D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Ma réponse

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Correction détaillée

ABCD parallélogramme ⇔ AB^→ = DC^→. AB^→(4,1). D = C − AB^→ = (7−4, 6−1) = (3,5).

Égalité de vecteurs et parallélogramme

🟢 Facile

Énoncé

On donne les points A(1, 3), B(5, 3), C(7, 7).

Calculer les coordonnées du vecteur AB^→.
Trouver le point D tel que AB^→ = DC^→.
Quelle figure est ABCD ? Justifier avec les vecteurs.

Ma réponse

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Correction détaillée

AB^→ = (5−1, 3−3) = (4, 0).
DC^→ = AB^→ ⇒ C − D = AB^→ ⇒ D = C − AB^→ = (7−4, 7−0) = (3, 7).
AB^→(4,0) = DC^→(4,0) ✓. AD^→(2,4), BC^→(2,4) ✓. Les côtés opposés sont égaux deux à deux ⇒ ABCD est un parallélogramme.

Relation de Chasles — simplification

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier chacune des expressions suivantes en appliquant la relation de Chasles :

AB^→ + BC^→ + CD^→ + DE^→
MN^→ + NP^→ − MP^→
OA^→ + AB^→ − OB^→
2·AB^→ − AB^→ + BA^→

Ma réponse

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Correction détaillée

AB^→+BC^→+CD^→+DE^→ = AE^→.
MN^→+NP^→−MP^→ = MP^→−MP^→ = 0^→.
OA^→+AB^→−OB^→ = OB^→−OB^→ = 0^→.
2AB^→−AB^→+BA^→ = AB^→+BA^→ = AB^→−AB^→ = 0^→.

🟡 Exercices Intermédiaires

6 exercices

Colinéarité

🟡 Intermédiaire

Énoncé

A(2,1), B(6,3), C(10,5). Les points A, B, C sont-ils alignés ?

Ma réponse

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Correction détaillée

AB^→(4,2), AC^→(8,4). Déterminant : 4×4 − 2×8 = 16−16 = 0. Colinéaires → A, B, C alignés.

Translation

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Translation de vecteur u^→(−3,2). 1) Image de M(4,1). 2) Antécédent de N(1,5).

Ma réponse

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Correction détaillée

1) M' = (4−3, 1+2) = (1,3). 2) N₀ = (1+3, 5−2) = (4,3).

Vecteur et milieu

🟡 Intermédiaire

Énoncé

M est le milieu de [AB] avec A(−2,4) et B(6,−2). Exprimer MA^→+MB^→ et calculer ses coordonnées.

Ma réponse

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Correction détaillée

M = (2,1). MA^→(−4,3), MB^→(4,−3). MA^→+MB^→ = (0,0) = 0^→. (Propriété du milieu : MA^→+MB^→ = 0^→ ✓)

Trouver un point à partir de vecteurs

🟡 Intermédiaire

Énoncé

A(1,2) et u^→(4,−3). Trouver B tel que AB^→ = u^→. Puis trouver C tel que AC^→ = 2·u^→.

Ma réponse

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Correction détaillée

B = A + u^→ = (1+4, 2−3) = (5,−1). C = A + 2u^→ = (1+8, 2−6) = (9,−4).

Multiplication par un scalaire et colinéarité

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On donne u^→(−2, 4) et v^→(3, −6).

Calculer 3·u^→ et −(1/2)·v^→.
Montrer que u^→ et v^→ sont colinéaires.
En déduire que les droites dirigées par u^→ et v^→ sont parallèles.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

3·u^→ = (−6, 12). −(1/2)·v^→ = (−3/2, 3).
Déterminant : (−2)×(−6) − 4×3 = 12 − 12 = 0 ⇒ u^→ et v^→ sont colinéaires.
Deux vecteurs colinéaires sont parallèles (ou de même direction). On peut aussi vérifier : v^→ = (−3/2)·u^→. Donc les droites qu'ils définissent sont parallèles (ou confondues).

Addition et soustraction de vecteurs en coordonnées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un repère, A(2, −1), B(6, 3), C(−1, 5), D(4, −3).

Calculer les coordonnées de AB^→ + CD^→.
Calculer les coordonnées de 2·AB^→ − AC^→.
Trouver le point E tel que AE^→ = AB^→ + AC^→.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

AB^→(4,4), CD^→(5,−8). AB^→+CD^→ = (9,−4).
AC^→(−3,6). 2·AB^→ = (8,8). 2·AB^→−AC^→ = (8−(−3), 8−6) = (11, 2).
AE^→ = AB^→+AC^→ = (4+(−3), 4+6) = (1,10). E = A+AE^→ = (2+1, −1+10) = (3, 9).

🔴 Exercices Difficiles

4 exercices

Décomposer un vecteur

🔴 Difficile

Énoncé

Soient u^→(2,1) et v^→(1,3). Exprimer w^→(7,8) sous la forme a·u^→+b·v^→.

Ma réponse

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Correction détaillée

(7,8) = a(2,1)+b(1,3) ⇒ { 2a+b=7 et a+3b=8 }. De L₁ : b=7−2a. Dans L₂ : a+3(7−2a)=8 ⇒ −5a=−13 ⇒ a=13/5. b=7−26/5=9/5. w^→ = (13/5)u^→ + (9/5)v^→.

Rectangle par vecteurs

🔴 Difficile

Énoncé

A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(0,3). Montrer par les vecteurs que ABCD est un rectangle.

Ma réponse

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Correction détaillée

AB^→(4,0) = DC^→(4,0) ✓ et AD^→(0,3) = BC^→(0,3) ✓ ⇒ parallélogramme. AB^→·AD^→ = 4×0+0×3 = 0 ⇒ AB^→ ⊥ AD^→. Parallélogramme rectangle = rectangle.

Centre de gravité

🔴 Difficile

Énoncé

Soit G le centre de gravité de ABC avec A(1,0), B(5,0), C(3,6). Vérifier que GA^→+GB^→+GC^→ = 0^→ en calculant G = ((x_A+x_B+x_C)/3, (y_A+y_B+y_C)/3).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

G = (9/3, 6/3) = (3,2). GA^→(−2,−2), GB^→(2,−2), GC^→(0,4). Somme = (0,0) = 0^→ ✓.

Décomposition d'un vecteur et vecteur et parallélisme

🔴 Difficile

Énoncé

Dans un repère, on pose i^→(1,0) et j^→(0,1). Soient u^→(3,−1) et v^→(1,2).

Exprimer i^→ et j^→ à l'aide de u^→ et v^→ (décomposer i^→ sous la forme a·u^→+b·v^→).
On donne w^→(4,5). Exprimer w^→ sous la forme p·u^→+q·v^→.
Montrer que les points A(0,0), B(3,−1) et C(6,−2) sont alignés.

Ma réponse

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Correction détaillée

a·u^→+b·v^→ = (3a+b, −a+2b) = (1,0). Système : { 3a+b=1 et −a+2b=0 } ⇒ a=2/7, b=1/7. i^→ = (2/7)u^→+(1/7)v^→. De même : (0,1) ⇒ { 3a+b=0 et −a+2b=1 } ⇒ a=−1/7, b=3/7. j^→ = −(1/7)u^→+(3/7)v^→.
(3a+b, −a+2b) = (4,5). { 3a+b=4 et −a+2b=5 }. De L₂ : a=2b−5. Dans L₁ : 6b−15+b=4 ⇒ 7b=19 ⇒ b=19/7, a=38/7−5=3/7. w^→ = (3/7)u^→+(19/7)v^→.
AB^→(3,−1) = u^→. AC^→(6,−2) = 2·u^→. Déterminant : 3×(−2)−(−1)×6 = −6+6 = 0. AB^→ et AC^→ sont colinéaires ⇒ A, B, C alignés.

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I. Notion de vecteur

II. Égalité de vecteurs

III. Coordonnées d'un vecteur

IV. Opérations sur les vecteurs

V. Colinéarité

VI. Translation

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🟢 Astuces de pros

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Coordonnées d'un vecteur

Règle de Chasles

Addition en coordonnées

Parallélogramme

Égalité de vecteurs et parallélogramme

Relation de Chasles — simplification

🟡 Exercices Intermédiaires

Colinéarité

Translation

Vecteur et milieu

Trouver un point à partir de vecteurs

Multiplication par un scalaire et colinéarité

Addition et soustraction de vecteurs en coordonnées

🔴 Exercices Difficiles

Décomposer un vecteur

Rectangle par vecteurs

Centre de gravité

Décomposition d'un vecteur et vecteur et parallélisme

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