Équations du premier degré — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Équation du premier degré à une inconnue

Forme : ax + b = 0 avec a ≠ 0.
Solution : x = -b/a

Méthode de résolution

Développer et réduire chaque membre
Regrouper les termes en x d'un côté, les constantes de l'autre
Diviser par le coefficient de x

Systèmes de deux équations à deux inconnues

Forme : ax + by = c et dx + ey = f

Méthodes :

Substitution : exprimer une variable en fonction de l'autre
Addition : combiner les équations pour éliminer une variable

Mise en équation de problèmes

Étapes : choix de l'inconnue → mise en équation → résolution → vérification

🔑 Formules clés à retenir

ax + b = 0 ⟹ x = -b/a
Substitution ou addition pour les systèmes

Équations du premier degré — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Équations simples

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre :

3x - 7 = 2x + 5
4(x - 2) = 3(x + 1)
x/2 + 3 = x/3 + 5

Ma réponse

Correction détaillée

1) 3x - 7 = 2x + 5

3x - 2x = 5 + 7 ⟹ x = 12

2) 4(x - 2) = 3(x + 1)

4x - 8 = 3x + 3 ⟹ x = 11

3) x/2 + 3 = x/3 + 5

Multiplions par 6 : 3x + 18 = 2x + 30 ⟹ x = 12

Résolution d'équations avec développement

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre les équations suivantes :

5x + 3 = 3x + 11
2(x + 4) = x + 12
7 - 2x = 3 + x
3(2x - 1) = 5(x + 2)

Ma réponse

Correction détaillée

1) 5x + 3 = 3x + 11

5x - 3x = 11 - 3 ⟹ 2x = 8 ⟹ x = 4

2) 2(x + 4) = x + 12

2x + 8 = x + 12 ⟹ x = 4

3) 7 - 2x = 3 + x

7 - 3 = x + 2x ⟹ 4 = 3x ⟹ x = 4/3

4) 3(2x - 1) = 5(x + 2)

6x - 3 = 5x + 10 ⟹ x = 13

Équations avec fractions

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre :

x/3 = 4
x/4 + 2 = 5
(2x + 1)/3 = (x - 1)/2
x/5 - x/2 = 3

Ma réponse

Correction détaillée

1) x/3 = 4

x = 4 × 3 = 12

2) x/4 + 2 = 5

x/4 = 3 ⟹ x = 12

3) (2x + 1)/3 = (x - 1)/2

Multiplier par 6 : 2(2x + 1) = 3(x - 1)

4x + 2 = 3x - 3 ⟹ x = -5

4) x/5 - x/2 = 3

LCD = 10 : 2x/10 - 5x/10 = 3

-3x/10 = 3 ⟹ x = -10

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Systèmes d'équations

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre le système :

2x + 3y = 13
x - y = 1

Puis vérifier la solution.

Ma réponse

Correction détaillée

De la 2ème équation : x = y + 1

Substitution dans la 1ère : 2(y + 1) + 3y = 13

2y + 2 + 3y = 13 ⟹ 5y = 11 ⟹ y = 11/5

x = 11/5 + 1 = 16/5

Vérification :

2(16/5) + 3(11/5) = 32/5 + 33/5 = 65/5 = 13 ✓
16/5 - 11/5 = 5/5 = 1 ✓

S = {(16/5, 11/5)}

Systèmes et applications

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Résoudre le système :

x + 2y = 7
3x - y = 4

2) Déterminer deux nombres dont la somme est 25 et la différence est 7.

3) Un café vend du café à 15 dh/kg et du thé à 25 dh/kg. Pour 10 kg d'un mélange, il demande 170 dh. Quelles quantités de café et de thé sont dans le mélange ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Système

Méthode d'addition :

(1) × 3 : 3x + 6y = 21

(2) : 3x - y = 4

Soustraction : 7y = 17 ⟹ y = 17/7

De (1) : x = 7 - 2(17/7) = (49 - 34)/7 = 15/7

Solution : x = 15/7, y = 17/7

2) Deux nombres

Soit x et y les deux nombres.

x + y = 25 et x - y = 7

Addition : 2x = 32 ⟹ x = 16

D'où y = 9

Les deux nombres sont 16 et 9.

3) Mélange de café et thé

Soit c kg de café et t kg de thé.

c + t = 10 (masse totale)

15c + 25t = 170 (prix total)

De (1) : c = 10 - t

15(10 - t) + 25t = 170

150 - 15t + 25t = 170 ⟹ 10t = 20 ⟹ t = 2

Donc c = 8

Le mélange contient 8 kg de café et 2 kg de thé.

Problèmes concrets

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Problème 1 : Karim a 3 fois l'âge de sa sœur. Dans 8 ans, il aura 2 fois son âge. Quel est l'âge actuel de chacun ?

Problème 2 : Un sac de pommes coûte 12 dh de plus qu'un sac d'oranges. Si on achète 3 sacs de pommes et 5 sacs d'oranges pour 150 dh, quel est le prix de chaque sac ?

Ma réponse

Correction détaillée

Problème 1 — Ages

Soit x l'âge de la sœur. Karim a 3x ans.

Dans 8 ans : 3x + 8 = 2(x + 8)

3x + 8 = 2x + 16 ⟹ x = 8

La sœur a 8 ans et Karim a 24 ans.

Vérification : dans 8 ans, sœur = 16, Karim = 32 = 2 × 16 ✓

Problème 2 — Fruits

Soit p le prix d'oranges. Le prix de pommes = p + 12.

3(p + 12) + 5p = 150

3p + 36 + 5p = 150

8p = 114 ⟹ p = 14,25 dh

Pommes = 26,25 dh

Vérification : 3 × 26,25 + 5 × 14,25 = 78,75 + 71,25 = 150 ✓

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Problème de mise en équation

🔴 Difficile

Énoncé

Un père a 42 ans et son fils a 12 ans.

Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de l'âge du fils ?
Il y a combien d'années l'âge du père était-il le quintuple de celui du fils ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Triple

Soit x le nombre d'années cherché.

Âge du père : 42 + x, âge du fils : 12 + x

42 + x = 3(12 + x) ⟹ 42 + x = 36 + 3x ⟹ 6 = 2x ⟹ x = 3

Vérification : dans 3 ans, père = 45, fils = 15, et 45 = 3 × 15 ✓

Dans 3 ans.

2) Quintuple

Soit y le nombre d'années (y > 0).

42 - y = 5(12 - y) ⟹ 42 - y = 60 - 5y ⟹ 4y = 18 ⟹ y = 4,5

Vérification : il y a 4,5 ans, père = 37,5, fils = 7,5, et 37,5 = 5 × 7,5 ✓

Il y a 4 ans et demi.

Système par addition et substitution

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre les systèmes suivants par la méthode indiquée :

a) Par substitution :

3x - 2y = 8
y = x - 1

b) Par addition :

4x + 3y = 18
2x - 3y = 0

c) Résoudre par la méthode de votre choix :

5x + 2y = 23
3x - y = 9

Ma réponse

Correction détaillée

a) Par substitution

y = x - 1 → substituer dans 3x - 2y = 8 :

3x - 2(x - 1) = 8 ⟹ 3x - 2x + 2 = 8 ⟹ x = 6

y = 6 - 1 = 5 — S = (6, 5)

b) Par addition

(4x + 3y) + (2x - 3y) = 18 + 0

6x = 18 ⟹ x = 3

2(3) - 3y = 0 ⟹ 3y = 6 ⟹ y = 2 — S = (3, 2)

c) Méthode mixte

De la 2ème : y = 3x - 9

5x + 2(3x - 9) = 23 ⟹ 5x + 6x - 18 = 23 ⟹ 11x = 41 ⟹ x = 41/11

y = 3(41/11) - 9 = 123/11 - 99/11 = 24/11 — S = (41/11, 24/11)

Problème avancé — inéquation et optimisation

🔴 Difficile

Énoncé

Partie A : Résoudre l'inéquation 3x - 5 > x + 7 et représenter les solutions sur une droite graduée.

Partie B : Une piscine rectangulaire a un périmètre de 60 m. Sa longueur est le double de sa largeur augmentée de 3 m. Trouver les dimensions et l'aire de la piscine.

Partie C : Pour quelle(s) valeur(s) de x, les expressions 2x + 3 et 5x - 6 sont-elles égales ? Supérieure ?

Ma réponse

Correction détaillée

Partie A — Inéquation

3x - 5 > x + 7 ⟹ 2x > 12 ⟹ x > 6

Ensemble solution : ]6 ; +∞[ (sur la droite : flèche vers la droite depuis 6, cercle ouvert)

Partie B — Piscine

Soit L la largeur. Longueur = 2L + 3

Périmètre : 2(L + 2L + 3) = 60

2(3L + 3) = 60 ⟹ 3L + 3 = 30 ⟹ L = 9 m

Longueur = 2(9) + 3 = 21 m

Aire = 9 × 21 = 189 m²

Partie C

2x + 3 = 5x - 6 ⟹ 9 = 3x ⟹ x = 3

2x + 3 > 5x - 6 ⟹ 9 > 3x ⟹ x < 3 : pour x < 3, 2x+3 est supérieure