Fonctions — Fonctions affines — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 8 : Fonctions affines

I. Notion de fonction

Une fonction f associe à chaque nombre x un unique nombre f(x).
Domaine de définition : ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.
Image de x par f : f(x)
Antécédent de y par f : x tel que f(x) = y

II. Fonction linéaire

f(x) = ax (a ≠ 0)
— Représentation : droite passant par l'origine O(0,0)
— a > 0 : croissante · a < 0 : décroissante
— a = coefficient directeur (pente)

III. Fonction affine

f(x) = ax + b (a ≠ 0)
— Représentation : droite de pente a et d'ordonnée à l'origine b
— a > 0 : croissante sur ℝ · a < 0 : décroissante sur ℝ
— Si a = 0 : fonction constante f(x) = b (droite horizontale)

IV. Trouver l'équation d'une droite

Connaissant la pente a et un point (x₀, y₀) : b = y₀ − a×x₀
Connaissant deux points (x₁,y₁) et (x₂,y₂) :
a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) puis b = y₁ − a×x₁

V. Position relative de deux droites

Même pente (a₁ = a₂) et b₁ ≠ b₂ : parallèles
Même pente et b₁ = b₂ : confondues
Pentes différentes : sécantes (se croisent en un point)

VI. Résolution graphique d'équations

Résoudre ax + b = 0 graphiquement : trouver le zéro de la droite (abscisse du point où y = 0)
Résoudre f(x) = g(x) graphiquement : trouver le point d'intersection des deux droites

🔑 Formules clés à retenir

Fonction affine : f(x) = ax + b
Pente (coefficient directeur) : a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
Ordonnée à l'origine : b = f(0)
Zéro : f(x) = 0 → x = −b/a

Fonctions — Fonctions affines — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Images et antécédents

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = 3x − 5.

Calculer f(0), f(2), f(−1) et f(1/3).
Quel est l'antécédent de 7 par f ?
Quel est l'antécédent de 0 par f ?

Ma réponse

Correction détaillée

f(0) = −5 | f(2) = 6−5 = 1 | f(−1) = −3−5 = −8 | f(1/3) = 1−5 = −4
f(x) = 7 → 3x−5 = 7 → 3x = 12 → x = 4
f(x) = 0 → 3x = 5 → x = 5/3

Tracé d'une fonction affine

🟢 Facile

Énoncé

Pour chaque fonction, donner la pente, l'ordonnée à l'origine, le sens de variation et tracer la droite (donner 2 points).

f(x) = 2x + 1
g(x) = −x + 4
h(x) = 3

Ma réponse

Correction détaillée

a = 2 > 0 → croissante | b = 1 | Points : (0 ; 1) et (1 ; 3)
a = −1 < 0 → décroissante | b = 4 | Points : (0 ; 4) et (4 ; 0)
a = 0 → constante (droite horizontale y = 3) | Points : (0 ; 3) et (2 ; 3)

Déterminer une fonction affine

🟢 Facile

Énoncé

Déterminer la fonction affine f(x) = ax + b dans chaque cas :

f passe par A(0, 3) et B(2, 7).
f passe par C(1, 5) et D(3, 1).
f a une pente de −2 et passe par le point E(4, 0).

Ma réponse

Correction détaillée

b = f(0) = 3 | a = (7−3)/(2−0) = 2 → f(x) = 2x + 3
a = (1−5)/(3−1) = −4/2 = −2 | b = 5 − (−2)×1 = 7 → f(x) = −2x + 7
a = −2 | 0 = −2×4 + b → b = 8 → f(x) = −2x + 8

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Résolution graphique et algébrique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On donne f(x) = 2x − 4 et g(x) = −x + 5.

Résoudre algébriquement f(x) = g(x).
Que représente la solution géométriquement ?
Résoudre f(x) > g(x). Interpréter.

Ma réponse

Correction détaillée

2x − 4 = −x + 5 → 3x = 9 → x = 3 | f(3) = g(3) = 2
Le point (3 ; 2) est le point d'intersection des deux droites.
2x − 4 > −x + 5 → 3x > 9 → x > 3 : la droite f est au-dessus de g pour x > 3.

Problème de tarification

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un taxi applique le tarif suivant : 5 DH de prise en charge + 3 DH par km.

Un autre taxi : 2 DH de prise en charge + 4 DH par km.

Exprimer le coût C₁(x) et C₂(x) en fonction du nombre de km x.
Pour quel trajet les deux taxis coûtent-ils le même prix ?
Quel taxi est moins cher pour un trajet de 2 km ? De 5 km ?

Ma réponse

Correction détaillée

C₁(x) = 3x + 5 | C₂(x) = 4x + 2
3x + 5 = 4x + 2 → x = 3 km → coût = 14 DH pour les deux.
Pour 2 km : C₁ = 11 DH, C₂ = 10 DH → Taxi 2 moins cher
Pour 5 km : C₁ = 20 DH, C₂ = 22 DH → Taxi 1 moins cher

Variation et signe d'une fonction

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = −2x + 6.

Dresser le tableau de variation de f sur [−2 ; 5].
Résoudre f(x) ≥ 0. Interpréter graphiquement.
Sur quel intervalle f(x) ∈ [−4 ; 4] ?

Ma réponse

Correction détaillée

a = −2 < 0 : f décroissante | f(−2) = 10 | f(5) = −4
Tableau : x croît de −2 à 5, f décroît de 10 à −4.
−2x + 6 ≥ 0 → −2x ≥ −6 → x ≤ 3 → x ∈ ]−∞ ; 3]
La droite est au-dessus de l'axe des x pour x ≤ 3.
f(x) ≥ −4 → −2x+6 ≥ −4 → x ≤ 5
f(x) ≤ 4 → −2x+6 ≤ 4 → x ≥ 1
Donc x ∈ [1 ; 5]

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Droites parallèles et perpendiculaires

🔴 Difficile

Énoncé

On donne la droite (d) : y = 3x − 1.

Donner l'équation de la droite (d₁) parallèle à (d) passant par A(2, 1).
Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut −1. Donner l'équation de (d₂) perpendiculaire à (d) passant par A(2, 1).
Trouver le point d'intersection de (d₁) et (d₂).

Ma réponse

Correction détaillée

(d₁) ∥ (d) → même pente a = 3. Passe par A(2,1) : 1 = 3×2 + b → b = −5 → (d₁) : y = 3x − 5
Pente de (d₂) : 3 × a₂ = −1 → a₂ = −1/3. Passe par A(2,1) : 1 = −2/3 + b → b = 5/3 → (d₂) : y = −x/3 + 5/3
3x − 5 = −x/3 + 5/3 → 9x − 15 = −x + 5 → 10x = 20 → x = 2 | y = 1 → Point A(2, 1) — logique, les deux passent par A !

Problème de vitesse et distance

🔴 Difficile

Énoncé

Deux villes A et B sont distantes de 120 km. Un car part de A vers B à 60 km/h. Une voiture part de B vers A, 30 minutes plus tard, à 90 km/h.

Exprimer la distance d_car(t) parcourue par le car et d_voiture(t) parcourue par la voiture (t en heures depuis le départ du car).
À quel moment les deux véhicules se croisent-ils ?
À quelle distance de A se produit la rencontre ?

Ma réponse

Correction détaillée

d_car(t) = 60t (km depuis A) | La voiture part 0,5h plus tard : d_voiture(t) = 90(t − 0,5) km depuis B, soit sa position depuis A = 120 − 90(t−0,5)
Rencontre : 60t = 120 − 90(t−0,5) → 60t = 120 − 90t + 45 → 150t = 165 → t = 1,1h = 1h06min
Distance de A : d_car(1,1) = 60 × 1,1 = 66 km

Modélisation — problème de Brevet

🔴 Difficile

Énoncé

Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production de x objets est C(x) = 50x + 800 (en DH). Le prix de vente est R(x) = 80x.

Calculer le bénéfice B(x) = R(x) − C(x).
À partir de combien d'objets vendus l'entreprise est-elle bénéficiaire ?
Quel bénéfice pour 60 objets vendus ?
Combien d'objets faut-il vendre pour un bénéfice de 1 000 DH ?

Ma réponse

Correction détaillée

B(x) = 80x − (50x + 800) = 30x − 800
B(x) > 0 → 30x > 800 → x > 26,67 → à partir de 27 objets
B(60) = 30×60 − 800 = 1800 − 800 = 1 000 DH
30x − 800 = 1000 → 30x = 1800 → x = 60 objets