Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 9 : Géométrie dans l'espace

I. Les solides usuels

Cube : 6 faces carrées, 12 arêtes, 8 sommets.
Pavé droit (parallélépipède rectangle) : 6 faces rectangulaires.
Prisme droit : deux bases parallèles et identiques reliées par des rectangles.
Pyramide : une base polygonale et des faces triangulaires convergeant en un sommet.
Cylindre : deux bases circulaires reliées par une surface latérale.
Cône : une base circulaire et une surface latérale convergeant en un sommet (apex).
Sphère : ensemble des points à distance r du centre.

II. Aires et volumes

Cube (côté a) : Aire totale = 6a² | Volume = a³

Pavé droit (L × l × h) : Aire = 2(Ll + Lh + lh) | Volume = L × l × h

Prisme droit : Volume = Aire de la base × hauteur

Pyramide : Volume = (1/3) × Aire de la base × hauteur

Cylindre (rayon r, hauteur h) :
Aire latérale = 2πrh | Aire totale = 2πr(r + h) | Volume = πr²h

Cône (rayon r, hauteur h, apothème l = √(r²+h²)) :
Aire latérale = πrl | Volume = (1/3)πr²h

Sphère (rayon r) :
Aire = 4πr² | Volume = (4/3)πr³

III. Sections et représentation

Section d'un cube par un plan parallèle à une face → carré ou rectangle
Section d'un cylindre par un plan parallèle aux bases → disque
Représentation en perspective cavalière : les fuyantes sont à 45°, réduites de moitié

🔑 Formules clés à retenir

Cube : V = a³ | A = 6a²
Pavé : V = L×l×h
Pyramide : V = (1/3) × B × h
Cylindre : V = πr²h
Cône : V = (1/3)πr²h
Sphère : V = (4/3)πr³ | A = 4πr²

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Volume d'un pavé droit

🟢 Facile

Énoncé

Une boîte en forme de pavé droit a pour dimensions : longueur 20 cm, largeur 15 cm, hauteur 10 cm.

Calculer le volume de la boîte.
Calculer l'aire totale (surface à peindre).
On remplit la boîte d'eau. Quelle est la masse d'eau sachant que 1 cm³ d'eau = 1 g ?

Ma réponse

Correction détaillée

V = 20 × 15 × 10 = 3 000 cm³
A = 2(20×15 + 20×10 + 15×10) = 2(300 + 200 + 150) = 2×650 = 1 300 cm²
Masse = 3 000 g = 3 kg

Volume d'un cylindre

🟢 Facile

Énoncé

Un verre cylindrique a un rayon de 4 cm et une hauteur de 10 cm.

Calculer le volume du verre (en cm³, arrondi à l'unité).
Calculer l'aire de la surface latérale.
On veut remplir ce verre à 3/4. Quel volume d'eau faut-il ?

Ma réponse

Correction détaillée

V = π × 4² × 10 = 160π ≈ 503 cm³
Aire latérale = 2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251 cm²
Volume = (3/4) × 160π = 120π ≈ 377 cm³

Pyramide — volume et hauteur

🟢 Facile

Énoncé

Une pyramide à base carrée de côté 6 cm a une hauteur de 8 cm.

Calculer le volume de la pyramide.
Une pyramide de même base a un volume de 48 cm³. Quelle est sa hauteur ?

Ma réponse

Correction détaillée

V = (1/3) × 6² × 8 = (1/3) × 36 × 8 = 96 cm³
48 = (1/3) × 36 × h → h = 48×3/36 = 4 cm

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Sphère et comparaison

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une balle de tennis a un rayon de 3,3 cm. Une balle de basket a un rayon de 12 cm.

Calculer le volume de chaque balle (en cm³, arrondi à l'unité).
Combien de balles de tennis faut-il pour avoir le même volume qu'une balle de basket ?
Quel est le rapport des aires de surface ?

Ma réponse

Correction détaillée

V_tennis = (4/3)π(3,3)³ ≈ (4/3)×π×35,937 ≈ 150 cm³
V_basket = (4/3)π(12)³ = (4/3)π×1728 ≈ 7 238 cm³
7238 / 150 ≈ 48 balles de tennis
Ratio des aires = 4π(12)²/4π(3,3)² = 144/10,89 ≈ 13,2

Cône et cylindre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un cône et un cylindre ont la même base (rayon 5 cm) et la même hauteur (12 cm).

Calculer le volume de chaque solide.
Quel est le rapport Volume_cône / Volume_cylindre ?
Calculer l'apothème du cône (génératrice) et son aire latérale.

Ma réponse

Correction détaillée

V_cône = (1/3)π×25×12 = 100π ≈ 314 cm³
V_cylindre = π×25×12 = 300π ≈ 942 cm³
Rapport = 100π / 300π = 1/3
Apothème l = √(r²+h²) = √(25+144) = √169 = 13 cm
Aire latérale = π×r×l = π×5×13 = 65π ≈ 204 cm²

Section d'un cube

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un cube ABCDA'B'C'D' a un côté de 6 cm.

Quelle est la longueur de la diagonale d'une face (ex : AC) ?
Quelle est la longueur de la diagonale du cube (AC') ?
Le plan passant par A, C et A' coupe le cube selon quelle figure ? Calculer ses dimensions.

Ma réponse

Correction détaillée

AC = √(6² + 6²) = 6√2 ≈ 8,49 cm
AC' = √(AC² + CC'²) = √(72 + 36) = √108 = 6√3 ≈ 10,39 cm
La section est un rectangle ACA'C' (ou AA'C'C).
Côtés : AA' = 6 cm (arête verticale) et AC = 6√2 cm (diagonale de la base).
Aire = 6 × 6√2 = 36√2 ≈ 50,9 cm²

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Problème de remplissage

🔴 Difficile

Énoncé

Un réservoir cylindrique de rayon 50 cm et de hauteur 120 cm est rempli à moitié. On y verse le contenu d'un cône de rayon 30 cm et de hauteur 40 cm.

Calculer le volume initial d'eau dans le réservoir.
Calculer le volume du cône.
Après avoir versé l'eau du cône, de combien monte le niveau dans le réservoir ?

Ma réponse

Correction détaillée

V_initial = (1/2) × π × 50² × 120 = (1/2) × 300 000π = 150 000π ≈ 471 239 cm³
V_cône = (1/3) × π × 30² × 40 = (1/3) × 36 000π = 12 000π ≈ 37 699 cm³
Hausse h : π × 50² × h = 12 000π → 2500h = 12 000 → h = 4,8 cm

Aire et coût de peinture

🔴 Difficile

Énoncé

On veut peindre l'extérieur d'un silo composé d'un cylindre (rayon 3 m, hauteur 8 m) surmonté d'un cône (même rayon, hauteur 4 m). Le fond du cylindre n'est pas peint.

Calculer l'apothème du cône.
Calculer l'aire totale à peindre.
Un pot de peinture couvre 8 m². Combien de pots faut-il ? (Prix unitaire : 85 DH)

Ma réponse

Correction détaillée

l = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5 m
Aire latérale cylindre = 2π×3×8 = 48π m²
Aire supérieure cylindre (disque du haut) = π×3² = 9π m² — non, la base du cône repose dessus, donc non peinte.
Aire latérale cône = π×3×5 = 15π m²
Total = 48π + 15π = 63π ≈ 198 m²
Nombre de pots : ⌈198/8⌉ = 25 pots → Coût = 25 × 85 = 2 125 DH

Problème de Brevet — Solides composés

🔴 Difficile

Énoncé

Une bougie est composée d'un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 10 cm, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 3 cm.

Calculer le volume total de la bougie.
La bougie brûle à un rythme de 2 cm³ par minute. Combien de temps dure la bougie (en heures et minutes) ?
Si on double le rayon en gardant les mêmes hauteurs, quel est le nouveau rapport entre le volume de la bougie et l'ancienne ?

Ma réponse

Correction détaillée

V_cylindre = π × 4 × 10 = 40π cm³
V_cône = (1/3) × π × 4 × 3 = 4π cm³
V_total = 44π ≈ 138,2 cm³
Durée = 44π / 2 = 22π ≈ 69,1 min ≈ 1h 09min
Nouveau rayon 4 cm : V' = π×16×10 + (1/3)×π×16×3 = 160π + 16π = 176π
Rapport = 176π / 44π = 4 (le volume est multiplié par 4 quand le rayon est doublé)