Identités remarquables — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Les trois identités remarquables

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

Applications

Développement : transformer un produit en somme
Factorisation : transformer une somme en produit
Calcul mental : 101² = (100+1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201

Reconnaître une identité remarquable

x² + 6x + 9 = (x + 3)² car 9 = 3² et 6x = 2 × x × 3
4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x - 5)(2x + 5)
9x² - 12x + 4 = (3x - 2)² car 9x² = (3x)², 4 = 2², 12x = 2 × 3x × 2

🔑 Formules clés à retenir

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

Identités remarquables — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Développement avec identités

🟢 Facile

Énoncé

Développer et simplifier :

(x + 3)²
(2x - 5)²
(x + 4)(x - 4)
(3x + 1)²

Ma réponse

Correction détaillée

(x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9
(2x - 5)² = (2x)² - 2(2x)(5) + 5² = 4x² - 20x + 25
(x + 4)(x - 4) = x² - 4² = x² - 16
(3x + 1)² = 9x² + 6x + 1

Factorisation

🟢 Facile

Énoncé

Factoriser :

x² + 10x + 25
x² - 9
4x² - 12x + 9
16x² - 49

Ma réponse

Correction détaillée

x² + 10x + 25 = x² + 2(x)(5) + 5² = (x + 5)²
x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3)
4x² - 12x + 9 = (2x)² - 2(2x)(3) + 3² = (2x - 3)²
16x² - 49 = (4x)² - 7² = (4x - 7)(4x + 7)

Développer des expressions

🟢 Facile

Énoncé

Développer et réduire :

(x + 7)²
(5 - x)²
(x + 2)(x - 2)
(4x - 3)²
(x + 1)(x - 1) + (x + 1)²

Ma réponse

Correction détaillée

(x + 7)² = x² + 14x + 49
(5 - x)² = 25 - 10x + x²
(x + 2)(x - 2) = x² - 4
(4x - 3)² = 16x² - 24x + 9
(x + 1)(x - 1) + (x + 1)² = (x² - 1) + (x² + 2x + 1) = 2x² + 2x = 2x(x + 1)

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Calcul astucieux

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer sans calculatrice en utilisant les identités remarquables :

101²
99²
52 × 48
203²

Ma réponse

Correction détaillée

101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10 201
99² = (100 - 1)² = 10000 - 200 + 1 = 9 801
52 × 48 = (50 + 2)(50 - 2) = 50² - 2² = 2500 - 4 = 2 496
203² = (200 + 3)² = 40000 + 1200 + 9 = 41 209

Factoriser des trinômes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Factoriser les expressions suivantes :

x² + 8x + 16
9x² - 1
x² - 14x + 49
25x² - 20x + 4
4x² - 9

Ma réponse

Correction détaillée

x² + 8x + 16 = x² + 2(x)(4) + 4² = (x + 4)²
9x² - 1 = (3x)² - 1² = (3x - 1)(3x + 1)
x² - 14x + 49 = x² - 2(x)(7) + 7² = (x - 7)²
25x² - 20x + 4 = (5x)² - 2(5x)(2) + 2² = (5x - 2)²
4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3)

Simplification de fractions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Simplifier les fractions suivantes en factorisant le numérateur et le dénominateur :

$\dfrac{x^2 - 25}{x + 5}$
$\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x - 3}$
$\dfrac{4x^2 - 1}{2x - 1}$
$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$

Ma réponse

Correction détaillée

1) (x² - 25) / (x + 5)

x² - 25 = (x - 5)(x + 5)

= (x - 5)(x + 5) / (x + 5) = x - 5 (x ≠ -5)

2) (x² - 6x + 9) / (x - 3)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²

= (x - 3)² / (x - 3) = x - 3 (x ≠ 3)

3) (4x² - 1) / (2x - 1)

4x² - 1 = (2x - 1)(2x + 1)

= (2x - 1)(2x + 1) / (2x - 1) = 2x + 1 (x ≠ 1/2)

4) (x² - 4) / (x² + 4x + 4)

Numérateur : x² - 4 = (x - 2)(x + 2)

Dénominateur : x² + 4x + 4 = (x + 2)²

= (x - 2)(x + 2) / (x + 2)² = (x - 2) / (x + 2) (x ≠ -2)

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Factorisation avancée

🔴 Difficile

Énoncé

Factoriser complètement :

(x + 1)² - (2x - 3)²
x⁴ - 1
(2x + 3)² - (x + 5)²

Ma réponse

Correction détaillée

1) (x+1)² - (2x-3)²

C'est a² - b² avec a = x+1 et b = 2x-3

= [(x+1) - (2x-3)][(x+1) + (2x-3)]

= (-x + 4)(3x - 2)

= -(x - 4)(3x - 2)

2) x⁴ - 1

= (x²)² - 1² = (x² - 1)(x² + 1)

= (x - 1)(x + 1)(x² + 1)

3) (2x+3)² - (x+5)²

= [(2x+3) - (x+5)][(2x+3) + (x+5)]

= (x - 2)(3x + 8)

Prouver des égalités

🔴 Difficile

Énoncé

Prouver les égalités suivantes :

Pour tout réel x : (x + 3)² - (x - 3)² = 12x
Pour tout réel a : (a + 1)³ = a³ + 3a² + 3a + 1
Aide : écrire (a+1)³ = (a+1)(a+1)²
Montrer que n² - n est toujours pair pour tout entier n.

Ma réponse

Correction détaillée

1) (x + 3)² - (x - 3)² = 12x

Développons le membre gauche :

(x + 3)² = x² + 6x + 9

(x - 3)² = x² - 6x + 9

Différence = (x² + 6x + 9) - (x² - 6x + 9) = 12x ✓

2) (a + 1)³ = a³ + 3a² + 3a + 1

(a + 1)³ = (a + 1)(a + 1)²

= (a + 1)(a² + 2a + 1)

= a³ + 2a² + a + a² + 2a + 1

= a³ + 3a² + 3a + 1 ✓

3) n² - n est toujours pair

n² - n = n(n - 1)

C'est un produit de deux entiers consécutifs.

Parmi deux entiers consécutifs n et n-1, l'un est pair.

Donc le produit n(n-1) est pair. ✓

Applications avancées

🔴 Difficile

Énoncé

Si a + b = 5 et ab = 3, calculer a² + b² et (a - b)².
Factoriser complètement : 2x³ - 8x.
Résoudre : x² - 6x + 9 = 0 en utilisant les identités remarquables.
Calculer 49² - 48² sans calculatrice.

Ma réponse

Correction détaillée

1) a + b = 5, ab = 3

a² + b² = (a + b)² - 2ab = 25 - 6 = 19

(a - b)² = (a + b)² - 4ab = 25 - 12 = 13

2) Factoriser 2x³ - 8x

= 2x(x² - 4)

= 2x(x - 2)(x + 2)

3) x² - 6x + 9 = 0

x² - 6x + 9 = (x - 3)² = 0

Donc x - 3 = 0 ⟹ x = 3 (solution double)

4) 49² - 48²

= (49 - 48)(49 + 48) = 1 × 97 = 97