Puissances — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Définition

Pour a ∈ ℝ et n ∈ ℕ* : aⁿ = a × a × ... × a (n fois).
a⁰ = 1 (pour a ≠ 0)
a⁻ⁿ = 1/aⁿ (pour a ≠ 0)

Propriétés des puissances

aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (a ≠ 0)
(aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0)

Notation scientifique

Un nombre en notation scientifique s'écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n ∈ ℤ.

Exemples : 3 500 = 3,5 × 10³ ; 0,0042 = 4,2 × 10⁻³

🔑 Formules clés à retenir

aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
(aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
a⁰ = 1

Puissances — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Calculs avec les puissances

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier :

2³ × 2⁴
5⁶ / 5²
(3²)³
10⁻³

Ma réponse

Correction détaillée

2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128
5⁶ / 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 625
(3²)³ = 3²ˣ³ = 3⁶ = 729
10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 = 0,001

Règles des puissances — niveau 1

🟢 Facile

Énoncé

Calculer sans calculatrice :

3⁴
2⁰ + 5⁰ + 7⁰
(-2)³
(-3)² et -3²
4² × 4³ / 4⁴

Ma réponse

Correction détaillée

3⁴ = 81
2⁰ + 5⁰ + 7⁰ = 1 + 1 + 1 = 3
(-2)³ = -8
(-3)² = 9 et -3² = -9 (attention : -3² = -(3²) = -9)
4² × 4³ / 4⁴ = 4²⁺³⁻⁴ = 4¹ = 4

Puissances négatives et fractions

🟢 Facile

Énoncé

Écrire sous forme d'une fraction sans exposant négatif :

5⁻²
3⁻¹
(1/2)⁻³
2⁻³ × 2⁵
6⁻¹ + 6⁻¹

Ma réponse

Correction détaillée

5⁻² = 1/5² = 1/25
3⁻¹ = 1/3
(1/2)⁻³ = (2/1)³ = 2³ = 8
2⁻³ × 2⁵ = 2⁻³⁺⁵ = 2² = 4
6⁻¹ + 6⁻¹ = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Notation scientifique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Écrire en notation scientifique :

45 000
0,00032
7 250 000
0,0000061

Puis calculer : (3 × 10⁴) × (2 × 10⁻⁷)

Ma réponse

Correction détaillée

45 000 = 4,5 × 10⁴
0,00032 = 3,2 × 10⁻⁴
7 250 000 = 7,25 × 10⁶
0,0000061 = 6,1 × 10⁻⁶

(3 × 10⁴) × (2 × 10⁻⁷) = 6 × 10⁴⁺⁽⁻⁷⁾ = 6 × 10⁻³ = 0,006

Opérations et comparaisons

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Simplifier : (2² × 3³) / 6

2) Calculer sans calculatrice : 10⁻² + 2 × 10⁻¹

3) Comparer : 2³⁰ et 3²⁰

4) Écrire sous forme 10ⁿ : 0,001 × 10⁵

Ma réponse

Correction détaillée

1) (2² × 3³) / 6

= (4 × 27) / 6 = 108 / 6 = 18 = 2 × 3² = 2 × 9

2) 10⁻² + 2 × 10⁻¹

= 0,01 + 0,2 = 0,21

3) Comparer 2³⁰ et 3²⁰

2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰

3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰

Puisque 8 < 9, on a 8¹⁰ < 9¹⁰

Donc 2³⁰ < 3²⁰

4) 0,001 × 10⁵

= 10⁻³ × 10⁵ = 10⁻³⁺⁵ = 10² = 100

Ordres de grandeur et comparaisons

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Écrire en notation scientifique : 0,000 005 4 et 89 000 000.
Effectuer : (4,2 × 10⁵) ÷ (2,1 × 10²).
Comparer sans calculatrice : 2¹⁰ et 10³.
La Terre est à environ 1,5 × 10⁸ km du Soleil, Mars à 2,3 × 10⁸ km. Quelle est la différence ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Notation scientifique

0,000 005 4 = 5,4 × 10⁻⁶

89 000 000 = 8,9 × 10⁷

2) Division

(4,2 × 10⁵) ÷ (2,1 × 10²) = (4,2/2,1) × 10⁵⁻² = 2 × 10³

3) Comparer 2¹⁰ et 10³

2¹⁰ = 1024 et 10³ = 1000

Donc 2¹⁰ > 10³

4) Distance Terre-Mars

2,3 × 10⁸ - 1,5 × 10⁸ = (2,3 - 1,5) × 10⁸ = 0,8 × 10⁸ = 8 × 10⁷ km

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Expressions complexes

🔴 Difficile

Énoncé

Simplifier et donner le résultat sous forme d'une puissance :

(2³ × 4²) / 8
(9³ × 27) / 81²
(5ⁿ⁺¹ × 25) / 5ⁿ⁻¹

Ma réponse

Correction détaillée

1) (2³ × 4²) / 8

= (2³ × (2²)²) / 2³ = (2³ × 2⁴) / 2³ = 2⁷ / 2³ = 2⁴ = 16

2) (9³ × 27) / 81²

Tout en base 3 : = ((3²)³ × 3³) / (3⁴)² = (3⁶ × 3³) / 3⁸ = 3⁹ / 3⁸ = 3¹ = 3

3) (5ⁿ⁺¹ × 25) / 5ⁿ⁻¹

= (5ⁿ⁺¹ × 5²) / 5ⁿ⁻¹ = 5ⁿ⁺¹⁺² / 5ⁿ⁻¹ = 5ⁿ⁺³ / 5ⁿ⁻¹ = 5⁽ⁿ⁺³⁾⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ = 5⁴ = 625

Équations avec puissances

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre les équations suivantes (trouver n) :

2ⁿ = 32
3ⁿ⁺¹ = 81
5²ⁿ⁻¹ = 25
4ⁿ = 8² (indice : écrire en base 2)

Ma réponse

Correction détaillée

1) 2ⁿ = 32

32 = 2⁵, donc 2ⁿ = 2⁵ ⟹ n = 5

2) 3ⁿ⁺¹ = 81

81 = 3⁴, donc 3ⁿ⁺¹ = 3⁴ ⟹ n + 1 = 4 ⟹ n = 3

3) 5²ⁿ⁻¹ = 25

25 = 5², donc 5²ⁿ⁻¹ = 5² ⟹ 2n - 1 = 2 ⟹ 2n = 3 ⟹ n = 3/2

4) 4ⁿ = 8²

4 = 2² et 8 = 2³, donc (2²)ⁿ = (2³)² ⟹ 2²ⁿ = 2⁶ ⟹ 2n = 6 ⟹ n = 3

Simplifications complexes

🔴 Difficile

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes (résultat sous forme d'une puissance) :

(6³ × 4²) / (2⁴ × 3³)
(2ⁿ⁺³ - 2ⁿ⁺¹) / 2ⁿ
(a⁵ × b³) / (a² × b⁵) avec a ≠ 0 et b ≠ 0
Montrer que 4ⁿ⁺¹ + 4ⁿ = 5 × 4ⁿ

Ma réponse

Correction détaillée

1) (6³ × 4²) / (2⁴ × 3³)

= ((2×3)³ × (2²)²) / (2⁴ × 3³)

= (2³ × 3³ × 2⁴) / (2⁴ × 3³)

= 2³⁺⁴⁻⁴ × 3³⁻³ = 2³ × 3⁰ = 8 × 1 = 8

2) (2ⁿ⁺³ - 2ⁿ⁺¹) / 2ⁿ

= (2ⁿ × 2³ - 2ⁿ × 2¹) / 2ⁿ

= 2ⁿ(8 - 2) / 2ⁿ = 6

3) (a⁵ × b³) / (a² × b⁵)

= a⁵⁻² × b³⁻⁵ = a³ × b⁻² = a³/b²

4) 4ⁿ⁺¹ + 4ⁿ = 5 × 4ⁿ

Membre gauche : 4ⁿ⁺¹ + 4ⁿ = 4ⁿ × 4¹ + 4ⁿ × 1 = 4ⁿ(4 + 1) = 5 × 4ⁿ ✓