Racines carrées — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Définition

Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré est a : (√a)² = a.

Propriétés

√(a × b) = √a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)
√(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)
√(a²) = |a|
(√a)² = a

Simplification

Chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine :

√12 = √(4 × 3) = 2√3
√75 = √(25 × 3) = 5√3
√48 = √(16 × 3) = 4√3

Rationalisation du dénominateur

a/√b = a√b/b ; a/(√b + √c) = a(√b - √c)/(b - c)

🔑 Formules clés à retenir

√(a×b) = √a × √b
√(a²) = |a|
Pour rationaliser : multiplier par le conjugué

Racines carrées — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Simplification de racines

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier :

√50
√72
√200
3√8 + 2√18

Ma réponse

Correction détaillée

√50 = √(25 × 2) = 5√2
√72 = √(36 × 2) = 6√2
√200 = √(100 × 2) = 10√2
3√8 + 2√18 = 3 × 2√2 + 2 × 3√2 = 6√2 + 6√2 = 12√2

Applications et calculs

🟢 Facile

Énoncé

1) Calculer la racine : √(4 × 9), √(16/25), √0,01

2) Écrire sous forme a√b où b est entier et sans facteur carré :

√18
√45
√200

3) Développer et simplifier : (√5 + 2)² et (3 - √2)²

Ma réponse

Correction détaillée

1) Calculs

√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6

√(16/25) = √16 / √25 = 4/5

√0,01 = 0,1

2) Écriture sous forme a√b

√18 = √(9 × 2) = 3√2

√45 = √(9 × 5) = 3√5

√200 = √(100 × 2) = 10√2

3) Développement

(√5 + 2)² = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5

(3 - √2)² = 9 - 6√2 + 2 = 11 - 6√2

Additions et soustractions de racines

🟢 Facile

Énoncé

Réduire en simplifiant les racines :

√12 + √27
√50 - √18 + √8
2√75 - 3√48
√(9/4)
√(1/3) × √3

Ma réponse

Correction détaillée

√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
√50 - √18 + √8 = 5√2 - 3√2 + 2√2 = 4√2
2√75 - 3√48 = 2 × 5√3 - 3 × 4√3 = 10√3 - 12√3 = -2√3
√(9/4) = √9/√4 = 3/2
√(1/3) × √3 = √(1/3 × 3) = √1 = 1

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Rationalisation

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Rationaliser le dénominateur :

5/√3
2/(√5 - √3)
(1 + √2)/(1 - √2)

Ma réponse

Correction détaillée

1) 5/√3

= 5√3 / (√3 × √3) = 5√3/3

2) 2/(√5 - √3)

= 2(√5 + √3) / [(√5 - √3)(√5 + √3)] = 2(√5 + √3) / (5 - 3) = 2(√5 + √3)/2 = √5 + √3

3) (1 + √2)/(1 - √2)

= (1+√2)(1+√2) / [(1-√2)(1+√2)] = (1+√2)² / (1-2) = (3 + 2√2) / (-1) = -3 - 2√2

Calculs avec racines et fractions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer et simplifier :

√2 × √8
(√3 + 1)(√3 - 1)
(2 + √5)²
$\dfrac{6}{ √2}$
$\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$

Ma réponse

Correction détaillée

√2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4
(√3 + 1)(√3 - 1) = (√3)² - 1² = 3 - 1 = 2
(2 + √5)² = 4 + 4√5 + 5 = 9 + 4√5
6/√2 = 6√2/2 = 3√2
√15/√3 = √(15/3) = √5

Encadrement et approximation

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Encadrer √10 entre deux entiers consécutifs.
Encadrer √50 entre deux entiers consécutifs.
Sans calculatrice, dire si √2 + √3 est supérieur ou inférieur à √5.
Simplifier l'expression : A = (√6 + √2)(√6 - √2)

Ma réponse

Correction détaillée

1) Encadrement de √10

3² = 9 < 10 < 16 = 4², donc 3 < √10 < 4

2) Encadrement de √50

7² = 49 < 50 < 64 = 8², donc 7 < √50 < 8

3) √2 + √3 et √5

Comparons (√2 + √3)² et (√5)²

(√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6 > 5 = (√5)²

Donc √2 + √3 > √5

4) A = (√6 + √2)(√6 - √2)

= (√6)² - (√2)² = 6 - 2 = 4

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Problème avec racines

🔴 Difficile

Énoncé

Montrer que (√3 + √2)² + (√3 - √2)² = 10.
Simplifier A = √(7 + 4√3) sachant que A > 0.
Comparer √7 + √2 et √3 + √5 sans calculatrice.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Démonstration

(√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6

(√3 - √2)² = 3 - 2√6 + 2 = 5 - 2√6

Somme = 5 + 2√6 + 5 - 2√6 = 10 ✓

2) Simplification de A = √(7 + 4√3)

Cherchons a et b tels que (a + b)² = 7 + 4√3

a² + b² = 7 et 2ab = 4√3, donc ab = 2√3

Essayons a = 2 et b = √3 : a² + b² = 4 + 3 = 7 ✓ et ab = 2√3 ✓

Donc A = 2 + √3

3) Comparaison

Comparons (√7 + √2)² et (√3 + √5)²

(√7 + √2)² = 7 + 2 + 2√14 = 9 + 2√14

(√3 + √5)² = 3 + 5 + 2√15 = 8 + 2√15

Différence : (9 + 2√14) - (8 + 2√15) = 1 + 2(√14 - √15)

√14 < √15 donc √14 - √15 < 0, et 2(√14 - √15) ≈ 2(-0,13) = -0,26

1 - 0,26 = 0,74 > 0

Donc (√7 + √2)² > (√3 + √5)², et comme les deux sont positifs : √7 + √2 > √3 + √5

Expressions irrationnelles complexes

🔴 Difficile

Énoncé

Rationaliser : $\dfrac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$
Montrer que $\dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ pour tout entier n ≥ 0.
Calculer sans calculatrice : $\dfrac{1}{\sqrt{2}-1} + \dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}$

Ma réponse

Correction détaillée

1) Rationalisation

= 3(√5 - √2) / [(√5 + √2)(√5 - √2)] = 3(√5 - √2) / (5 - 2) = (√5 - √2)

2) Démonstration

Multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué (√(n+1) - √n) :

= 1 × (√(n+1) - √n) / [(√(n+1) + √n)(√(n+1) - √n)]

= (√(n+1) - √n) / [(n+1) - n]

= (√(n+1) - √n) / 1 = √(n+1) - √n ✓

3) Calcul (télescopique)

En utilisant le résultat de 2) avec les conjugués :

1/(√2-1) = (√2+1)/[(√2-1)(√2+1)] = √2+1

1/(√3-√2) = √3+√2

1/(√4-√3) = √4+√3 = 2+√3

Somme = (√2+1) + (√3+√2) + (2+√3) = 3 + 2√2 + 2√3... Attendons :

En utilisant la formule prouvée (conjugués inversés) :

= (√2-1)⁻¹ = √2+1 ; (√3-√2)⁻¹ = √3+√2 ; (√4-√3)⁻¹ = 2+√3

Somme = 1 + √2 + √2 + √3 + √3 + 2 = 3 + 2√2 + 2√3

Géométrie et racines carrées

🔴 Difficile

Énoncé

1) Un carré a une diagonale de longueur 10 cm. Calculer la longueur de son côté.

2) Un rectangle a pour dimensions (√3 + 1) cm et (√3 - 1) cm. Calculer :

Son aire
Sa diagonale

3) Simplifier : $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ (chercher sous la forme a + b√2)

Ma réponse

Correction détaillée

1) Côté du carré

Si le côté vaut c, la diagonale vaut c√2.

c√2 = 10 ⟹ c = 10/√2 = 10√2/2 = 5√2 ≈ 7,07 cm

2) Rectangle (√3+1) × (√3-1)

Aire = (√3+1)(√3-1) = 3 - 1 = 2 cm²

Diagonale : d² = (√3+1)² + (√3-1)²

(√3+1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3

(√3-1)² = 3 - 2√3 + 1 = 4 - 2√3

d² = 4 + 2√3 + 4 - 2√3 = 8

d = √8 = 2√2 ≈ 2,83 cm

3) Simplifier √(3 + 2√2)

Cherchons a et b tels que (a + b)² = 3 + 2√2

a² + b² = 3 et 2ab = 2√2 ⟹ ab = √2

Essayons a = 1 et b = √2 : a² + b² = 1 + 2 = 3 ✓ et ab = √2 ✓

Donc √(3 + 2√2) = 1 + √2