Statistiques et probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

Chapitre 7 : Statistiques et probabilités

I. Statistiques — Vocabulaire

Population : ensemble étudié. Individu : élément de la population.
Caractère : propriété étudiée (âge, note…). Effectif : nombre d'individus ayant une même valeur.
Fréquence : f = effectif / effectif total (souvent exprimée en %).

II. Indicateurs statistiques

Moyenne : x̄ = (Σ nᵢ × xᵢ) / N où N = effectif total

Médiane : valeur qui partage la série en deux moitiés égales.
— Si N est impair : la médiane est la valeur de rang (N+1)/2
— Si N est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang N/2 et N/2+1

Mode : valeur (ou classe) la plus fréquente.
Étendue : valeur max − valeur min.

III. Données groupées en classes

On regroupe les données en intervalles [a ; b[
Centre de classe = (a + b) / 2
Histogramme : rectangles dont la surface est proportionnelle à la fréquence
Pour la moyenne : on utilise les centres de classe

IV. Probabilités

Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
Univers (Ω) : ensemble de tous les résultats possibles.
Événement : sous-ensemble de Ω.

Probabilité d'un événement A :
Si les résultats sont équiprobables : P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles
Toujours : 0 ≤ P(A) ≤ 1

Événement certain : P(Ω) = 1
Événement impossible : P(∅) = 0
Événement contraire : P(Ā) = 1 − P(A)

V. Opérations sur les événements

A ∪ B : A ou B (au moins l'un des deux)
A ∩ B : A et B (les deux simultanément)
Événements incompatibles : A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Formule générale : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

🔑 Formules clés à retenir

Fréquence : f = nᵢ / N
Moyenne : x̄ = (Σ nᵢxᵢ) / N
Probabilité : P(A) = cas favorables / cas possibles
Événement contraire : P(Ā) = 1 − P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Statistiques et probabilités — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Calcul de moyenne et médiane

🟢 Facile

Énoncé

Les notes de 10 élèves en mathématiques sont : 8, 12, 15, 9, 14, 11, 7, 13, 10, 16.

Calculer la moyenne de cette série.
Déterminer la médiane.
Quel est le mode ? Quelle est l'étendue ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Moyenne

x̄ = (8+12+15+9+14+11+7+13+10+16) / 10 = 115 / 10 = 11,5

2) Médiane

Série ordonnée : 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

N = 10 (pair) → médiane = moyenne des rangs 5 et 6 = (11 + 12) / 2 = 11,5

3) Mode et étendue

Mode : il n'y en a pas (toutes les valeurs apparaissent une seule fois).

Étendue : 16 − 7 = 9

Tableau effectifs et fréquences

🟢 Facile

Énoncé

Dans une classe de 30 élèves, on relève le nombre de frères et sœurs :

Nombre de frères/sœurs	0	1	2	3	4
Effectif	6	11	8	4	1

Compléter avec les fréquences (en %).
Calculer la moyenne.
Déterminer la médiane et le mode.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Fréquences

f(0) = 6/30 = 20% | f(1) = 11/30 ≈ 36,7% | f(2) = 8/30 ≈ 26,7% | f(3) = 4/30 ≈ 13,3% | f(4) = 1/30 ≈ 3,3%

2) Moyenne

x̄ = (0×6 + 1×11 + 2×8 + 3×4 + 4×1) / 30 = (0+11+16+12+4) / 30 = 43/30 ≈ 1,43

3) Médiane et mode

Rangs 15 et 16 : en cumulant les effectifs → 6 élèves ont 0, 17 ont 0 ou 1 → les rangs 15 et 16 sont dans la valeur 1.

Médiane = 1 | Mode = 1 (effectif 11, le plus grand)

Probabilité — lancer de dé

🟢 Facile

Énoncé

On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.

Quelle est la probabilité d'obtenir un 4 ?
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 ?
Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un 6 ?

Ma réponse

Correction détaillée

Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tous équiprobables.

P(4) = 1/6 ≈ 0,167
Nombres pairs : {2, 4, 6} → P(pair) = 3/6 = 1/2
Supérieur à 4 : {5, 6} → P(>4) = 2/6 = 1/3
P(pas 6) = 1 − P(6) = 1 − 1/6 = 5/6

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Données groupées en classes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Les tailles (en cm) de 40 élèves sont regroupées dans ce tableau :

Classe	[150;155[	[155;160[	[160;165[	[165;170[	[170;175[
Effectif	4	10	14	8	4

Calculer la moyenne (utiliser les centres de classes).
Déterminer la classe modale.
Estimer la médiane.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Centres de classe et moyenne

Centres : 152,5 | 157,5 | 162,5 | 167,5 | 172,5

x̄ = (4×152,5 + 10×157,5 + 14×162,5 + 8×167,5 + 4×172,5) / 40

= (610 + 1575 + 2275 + 1340 + 690) / 40 = 6490 / 40 = 162,25 cm

2) Classe modale

La classe d'effectif le plus élevé (14) est [160 ; 165[

3) Médiane

N/2 = 20. Effectifs cumulés : 4, 14, 28... La valeur de rang 20 est dans [160;165[.

Médiane ≈ 160 + (20−14)/14 × 5 = 160 + 30/14 ≈ 162,1 cm

Probabilités — tirage de cartes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : ♠ ♥ ♦ ♣, chacune avec les valeurs 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As).

Calculer la probabilité de tirer un As.
Calculer la probabilité de tirer un cœur (♥).
Calculer la probabilité de tirer un As de cœur.
Calculer la probabilité de tirer un As ou un cœur.

Ma réponse

Correction détaillée

N = 32 cartes équiprobables.

4 As → P(As) = 4/32 = 1/8
8 cœurs → P(♥) = 8/32 = 1/4
1 As de cœur → P(As ∩ ♥) = 1/32
P(As ∪ ♥) = P(As) + P(♥) − P(As ∩ ♥) = 4/32 + 8/32 − 1/32 = 11/32

Comparaison de séries statistiques

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Deux classes A et B ont passé le même contrôle. Voici les résultats :

Classe A (25 élèves) : moyenne = 12, médiane = 13, étendue = 14

Classe B (25 élèves) : moyenne = 12, médiane = 10, étendue = 6

Quelle classe a les résultats les plus homogènes ? Justifier.
Dans quelle classe y a-t-il probablement plus d'élèves ayant une note supérieure à la moyenne ? Justifier.
Un élève qui a 15 préfère être dans quelle classe pour son classement ? Pourquoi ?

Ma réponse

Correction détaillée

La classe B est plus homogène : son étendue (6) est beaucoup plus faible que celle de A (14), donc les notes sont moins dispersées.
Dans la classe A, la médiane (13) est supérieure à la moyenne (12), ce qui signifie que plus de la moitié des élèves ont une note ≥ 13 > 12. Donc plus d'élèves au-dessus de la moyenne.
L'élève préfère être dans la classe B : l'étendue est faible et la médiane est 10, donc 15 est nettement au-dessus de la majorité. Dans A, la médiane est 13, donc 15 est moins exceptionnel.

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Problème de probabilité — urne

🔴 Difficile

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules vertes.

On tire successivement 2 boules sans remise.

Combien y a-t-il de façons de choisir 2 boules parmi 10 ?
Calculer la probabilité que les 2 boules soient rouges.
Calculer la probabilité que les 2 boules soient de la même couleur.
Calculer la probabilité qu'au moins une boule soit rouge.

Ma réponse

Correction détaillée

C¹⁰₂ = 10×9/2 = 45 paires
2 rouges parmi 5 : C⁵₂ = 10 → P(2 rouges) = 10/45 = 2/9
Même couleur : C⁵₂ + C³₂ + C²₂ = 10 + 3 + 1 = 14 → P = 14/45
P(au moins 1 rouge) = 1 − P(aucune rouge) = 1 − C⁵₂/C¹⁰₂ = 1 − (5×4/2)/(45) = 1 − 10/45 = 35/45 = 7/9

Statistiques — moyenne pondérée

🔴 Difficile

Énoncé

La note finale d'un élève est calculée avec les coefficients suivants : Contrôle continu (coeff. 2), Devoir surveillé (coeff. 3), Examen final (coeff. 5).

Ahmed a obtenu : CC = 14, DS = 11, Examen = 13.

Fatima a obtenu : CC = 18, DS = 16, Examen = 10.

Calculer la note finale de chaque élève.
Qui obtient la meilleure note finale ?
Quelle note minimum Ahmed devait-il avoir à l'examen pour avoir une moyenne ≥ 12 ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Notes finales

Ahmed : (14×2 + 11×3 + 13×5) / (2+3+5) = (28 + 33 + 65) / 10 = 126/10 = 12,6

Fatima : (18×2 + 16×3 + 10×5) / 10 = (36 + 48 + 50) / 10 = 134/10 = 13,4

2)

Fatima a la meilleure note (13,4 > 12,6).

3) Note minimum à l'examen pour Ahmed

Soit x la note à l'examen : (28 + 33 + 5x) / 10 ≥ 12 → 61 + 5x ≥ 120 → 5x ≥ 59 → x ≥ 11,8

Ahmed devait avoir au moins 11,8/20 à l'examen.

Problème complet — Brevet

🔴 Difficile

Énoncé

On interroge 100 élèves sur leur temps de trajet (en minutes) pour aller à l'école :

Durée	[0;10[	[10;20[	[20;30[	[30;40[	[40;60[
Effectif	15	30	25	20	10

Calculer la moyenne du temps de trajet.
Déterminer la médiane.
On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il mette moins de 20 minutes ?
Quelle est la probabilité qu'il mette au moins 30 minutes ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Moyenne (centres : 5, 15, 25, 35, 50)

x̄ = (15×5 + 30×15 + 25×25 + 20×35 + 10×50) / 100

= (75 + 450 + 625 + 700 + 500) / 100 = 2350/100 = 23,5 minutes

2) Médiane (rang 50)

Effectifs cumulés : 15, 45, 70... Le rang 50 est dans [20;30[.

Médiane ≈ 20 + (50−45)/25 × 10 = 20 + 2 = 22 minutes

3) P(trajet < 20 min)

Effectifs : 15 + 30 = 45 → P = 45/100 = 0,45

4) P(trajet ≥ 30 min)

Effectifs : 20 + 10 = 30 → P = 30/100 = 0,30