Théorème de Pythagore — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A : BC² = AB² + AC²

Réciproque

Si BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

Contraposée

Si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A.

Applications

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
Démontrer qu'un triangle est (ou n'est pas) rectangle
Distance entre deux points dans un repère : d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

🔑 Formules clés à retenir

BC² = AB² + AC² (rectangle en A)
d(A,B) = √[(xB-xA)² + (yB-yA)²]

Théorème de Pythagore — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Calcul de l'hypoténuse

🟢 Facile

Énoncé

ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3 cm et AC = 4 cm.

Calculer BC.

Ma réponse

Correction détaillée

D'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²

BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

BC = √25 = 5 cm

Triangle rectangle — calculs directs

🟢 Facile

Énoncé

Pour chaque triangle rectangle, calculer la longueur manquante :

Hypoténuse : c = ? ; jambes : a = 6, b = 8
Jambe : b = ? ; hypoténuse c = 10, jambe a = 6
Hypoténuse : c = ? ; jambes : a = 5, b = 12
Jambe : a = ? ; hypoténuse c = 17, jambe b = 15

Ma réponse

Correction détaillée

c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ⟹ c = 10
b² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64 ⟹ b = 8
c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 ⟹ c = 13
a² = 17² - 15² = 289 - 225 = 64 ⟹ a = 8

Ces triplets (6,8,10), (6,8,10), (5,12,13), (8,15,17) sont des triplets pythagoriciens.

Reconnaître un triangle rectangle

🟢 Facile

Énoncé

Pour chaque triangle, déterminer s'il est rectangle. Si oui, indiquer le sommet de l'angle droit.

AB = 9, BC = 40, AC = 41
AB = 6, BC = 7, AC = 10
AB = 8, BC = 15, AC = 17
AB = 4, BC = 4, AC = 4√2

Ma réponse

Correction détaillée

1) AB=9, BC=40, AC=41

Plus grand côté : AC = 41. AC² = 1681 et AB² + BC² = 81 + 1600 = 1681 ✓

Triangle rectangle en B.

2) AB=6, BC=7, AC=10

AC² = 100 et AB² + BC² = 36 + 49 = 85 ≠ 100

Pas rectangle.

3) AB=8, BC=15, AC=17

AC² = 289 et AB² + BC² = 64 + 225 = 289 ✓

Triangle rectangle en B.

4) AB=4, BC=4, AC=4√2

AC² = (4√2)² = 32 et AB² + BC² = 16 + 16 = 32 ✓

Triangle isocèle rectangle en B.

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Vérifier si un triangle est rectangle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un triangle a pour côtés a = 5, b = 12, c = 13.

Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
Même question avec a = 7, b = 8, c = 11.

Ma réponse

Correction détaillée

1) a=5, b=12, c=13

Le plus grand côté est c = 13.

c² = 169 et a² + b² = 25 + 144 = 169

c² = a² + b² : le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté c.

2) a=7, b=8, c=11

Le plus grand côté est c = 11.

c² = 121 et a² + b² = 49 + 64 = 113

c² ≠ a² + b² (121 ≠ 113) : le triangle n'est pas rectangle.

(De plus 121 > 113, donc le triangle est obtusangle.)

Application concrète — Problèmes de la vie courante

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Problème 1 : Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à 2 m du mur. À quelle hauteur du sol atteint-elle le mur ?

Problème 2 : Un terrain rectangulaire mesure 24 m × 10 m. Quelle est la longueur de sa diagonale ?

Problème 3 : Un triangle isocèle ABC a sa base BC = 10 cm et sa hauteur AH = 12 cm (H milieu de BC). Calculer AB.

Ma réponse

Correction détaillée

Problème 1 — Échelle

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle.

Échelle = hypoténuse = 5 m, pied = 2 m

h² + 2² = 5² ⟹ h² = 25 - 4 = 21 ⟹ h = √21 ≈ 4,58 m

Problème 2 — Terrain

d² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676

d = √676 = 26 m

Problème 3 — Triangle isocèle

H est le milieu de BC, donc BH = 5 cm. Le triangle ABH est rectangle en H.

AB² = AH² + BH² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

AB = 13 cm

Pythagore dans le repère

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(0, 0), B(6, 0), C(6, 8) et D(0, 8).

Montrer que ABCD est un rectangle.
Calculer les diagonales AC et BD.
Soit M le milieu de [AB] et N le milieu de [CD]. Calculer MN.
Le point P(3, 4) est-il à égale distance de A et C ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) ABCD est un rectangle

AB est horizontal (de A(0,0) à B(6,0)), longueur = 6

BC est vertical (de B(6,0) à C(6,8)), longueur = 8

CD est horizontal, DA est vertical → ABCD est bien un rectangle.

2) Diagonales

AC = √[(6-0)² + (8-0)²] = √[36 + 64] = √100 = 10

BD = √[(0-6)² + (8-0)²] = √[36 + 64] = 10

Les diagonales sont égales ✓ (propriété du rectangle)

3) Milieux M et N

M = milieu de AB = (3, 0), N = milieu de CD = (3, 8)

MN = √[(3-3)² + (8-0)²] = √64 = 8

4) P(3, 4) et égalité des distances

PA = √[(3-0)² + (4-0)²] = √[9+16] = √25 = 5

PC = √[(3-6)² + (4-8)²] = √[9+16] = √25 = 5

PA = PC = 5 ✓ → P est équidistant de A et C (c'est le centre du rectangle)

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Problème dans un repère

🔴 Difficile

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne A(1, 2), B(4, 6) et C(7, 2).

Calculer les distances AB, BC et AC.
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Calculer l'aire du triangle ABC.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Distances

AB = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5

BC = √[(7-4)² + (2-6)²] = √[9 + 16] = √25 = 5

AC = √[(7-1)² + (2-2)²] = √[36 + 0] = 6

2) Triangle rectangle ?

Le plus grand côté est AC = 6.

AC² = 36 et AB² + BC² = 25 + 25 = 50

36 ≠ 50, donc ABC n'est pas rectangle.

Vérifions AB² + AC² = 25 + 36 = 61 ≠ 25 = BC²

BC² + AC² = 25 + 36 = 61 ≠ 25 = AB²

Le triangle ABC n'est pas rectangle (c'est un triangle isocèle en B avec AB = BC = 5).

3) Aire

AC est horizontal (même ordonnée y = 2), donc base = AC = 6.

La hauteur depuis B est |yB - 2| = |6 - 2| = 4.

Aire = (1/2) × base × hauteur = (1/2) × 6 × 4 = 12

Problèmes et figures complexes

🔴 Difficile

Énoncé

1) Un écran de télévision a une largeur de 60 cm et une hauteur de 45 cm. Calculer la diagonale en cm et donner le résultat arrondi.

2) Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 m et un côté de 5 m. Calculer l'autre côté.

3) Dans un carré ABCD de côté a, calculer la diagonale AC en fonction de a.

4) Un triangle a pour côtés 7 cm, 8 cm et 5 cm. Déterminer s'il est rectangle et calculer son aire.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Diagonale de l'écran

D² = 60² + 45² = 3600 + 2025 = 5625

D = √5625 = 75 cm

2) Autre côté du triangle rectangle

c² + 5² = 13²

c² + 25 = 169

c² = 144

c = 12 m

3) Diagonale du carré

AC² = a² + a² = 2a²

AC = a√2

4) Triangle de côtés 7, 8, 5

Vérifions si c'est un triangle rectangle : 5² + 7² = 25 + 49 = 74 ≠ 64 = 8²

Le triangle n'est pas rectangle.

Pour l'aire, utilisons la formule de Héron : s = (5+7+8)/2 = 10

Aire = √[10(10-5)(10-7)(10-8)] = √[10 × 5 × 3 × 2] = √300 = 10√3 ≈ 17,32 cm²

Problème géométrique complexe

🔴 Difficile

Énoncé

Un triangle ABC est rectangle en B. On sait que BC = 7 cm et AC = 25 cm.

Calculer AB.
D est le pied de la hauteur issue de B vers [AC]. Calculer BD, AD et DC.
Aide : utiliser les formules BD = AB×BC/AC, AD = AB²/AC, DC = BC²/AC
Vérifier que AD × AC = AB².
Calculer l'aire du triangle ABC de deux façons différentes.

Ma réponse

Correction détaillée

1) AB

AB² = AC² - BC² = 625 - 49 = 576 ⟹ AB = 24 cm

2) BD, AD, DC

BD = AB × BC / AC = 24 × 7 / 25 = 168/25 = 6,72 cm

AD = AB² / AC = 576 / 25 = 23,04 cm

DC = BC² / AC = 49 / 25 = 1,96 cm

Vérification : AD + DC = 23,04 + 1,96 = 25 = AC ✓

3) Vérification AD × AC = AB²

AD × AC = (576/25) × 25 = 576 = AB² ✓

4) Aire du triangle ABC

Méthode 1 (base × hauteur / 2 avec base BC et hauteur AB) :

Aire = (1/2) × BC × AB = (1/2) × 7 × 24 = 84 cm²

Méthode 2 (base × hauteur / 2 avec base AC et hauteur BD) :

Aire = (1/2) × AC × BD = (1/2) × 25 × (168/25) = (1/2) × 168 = 84 cm² ✓