Théorème de Thalès — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Théorème de Thalès

Si (BC) // (B'C') et si A, B, B' sont alignés et A, C, C' sont alignés, alors :
AB/AB' = AC/AC' = BC/B'C'

Réciproque du théorème de Thalès

Si AB/AB' = AC/AC' et si les points sont dans le même ordre, alors (BC) // (B'C').

Applications

Calculer une longueur inconnue dans une configuration de Thalès
Démontrer que deux droites sont parallèles
Agrandissement et réduction (rapport k)

Attention

Vérifier l'alignement des points et l'ordre dans lequel ils apparaissent avant d'appliquer le théorème.

🔑 Formules clés à retenir

AB/AB' = AC/AC' = BC/B'C' (si (BC) // (B'C'))
Réciproque : si les rapports sont égaux, les droites sont parallèles

Théorème de Thalès — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Application directe de Thalès

🟢 Facile

Énoncé

Dans la figure, (MN) // (BC) avec AM = 3, AB = 9, AN = 2 et BC = 12.

Calculer AC.
Calculer MN.

Ma réponse

Correction détaillée

D'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC

3/9 = 2/AC = MN/12, donc 1/3 = 2/AC = MN/12

1) AC

1/3 = 2/AC ⟹ AC = 6

2) MN

1/3 = MN/12 ⟹ MN = 4

Calcul de longueur par Thalès

🟢 Facile

Énoncé

Dans un triangle ABC, M est sur [AB] et N est sur [AC] avec (MN) // (BC).

On donne : AM = 5 cm, AB = 15 cm, AN = 4 cm.

Calculer le rapport AM/AB.
Calculer AC.
Si MN = 3 cm, calculer BC.

Ma réponse

Correction détaillée

D'après le théorème de Thalès (MN // BC) :

AM/AB = AN/AC = MN/BC

1) Rapport AM/AB

AM/AB = 5/15 = 1/3

2) AC

AN/AC = 1/3 ⟹ AC = 3 × AN = 3 × 4 = 12 cm

3) BC

MN/BC = 1/3 ⟹ BC = 3 × MN = 3 × 3 = 9 cm

Longueur inconnue dans une configuration

🟢 Facile

Énoncé

Deux droites (D1) et (D2) se coupent en O. Sur (D1), on place les points A et A' avec OA = 4 et OA' = 10. Sur (D2), les points B et B' avec OB = 3. Les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.

Calculer OB'.
Si AB = 2, calculer A'B'.

Ma réponse

Correction détaillée

D'après le théorème de Thalès : OA/OA' = OB/OB' = AB/A'B'

OA/OA' = 4/10 = 2/5

1) OB'

OB/OB' = 2/5 ⟹ OB' = OB × 5/2 = 3 × 5/2 = 7,5

2) A'B'

AB/A'B' = 2/5 ⟹ A'B' = AB × 5/2 = 2 × 5/2 = 5

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Réciproque de Thalès

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un triangle ABC, on a M ∈ [AB] et N ∈ [AC] tels que AM = 4, MB = 6, AN = 3 et NC = 4,5.

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Ma réponse

Correction détaillée

Calculons les rapports :

AM/AB = 4/(4+6) = 4/10 = 2/5

AN/AC = 3/(3+4,5) = 3/7,5 = 2/5

AM/AB = AN/AC = 2/5

De plus, M ∈ [AB] et N ∈ [AC], les points sont dans le même ordre.

D'après la réciproque du théorème de Thalès : (MN) // (BC)

Agrandissement et réduction

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un triangle ABC a une aire de 20 cm². On considère un triangle A'B'C' agrandissement de ABC avec un rapport de 2,5.

Quel est le rapport entre les périmètres ?
Quelle est l'aire de A'B'C' ?
Si AB = 5 cm, que vaut A'B' ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Rapport des périmètres

Le rapport des périmètres est égal au rapport de similitude : 2,5

2) Aire de A'B'C'

L'aire est multipliée par le carré du rapport de similitude :

Aire(A'B'C') = Aire(ABC) × (2,5)² = 20 × 6,25 = 125 cm²

3) Longueur A'B'

Les longueurs sont multipliées par le rapport de similitude :

A'B' = AB × 2,5 = 5 × 2,5 = 12,5 cm

Utiliser la réciproque pour prouver le parallélisme

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans un triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC].

Cas 1 : AM = 6, AB = 10, AN = 9, AC = 15. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Cas 2 : AM = 4, MB = 6, AN = 6, NC = 9. Même question.

Cas 3 : AM = 3, AB = 8, AN = 4,5, NC = 7,5. Même question.

Ma réponse

Correction détaillée

Cas 1

AM/AB = 6/10 = 3/5

AN/AC = 9/15 = 3/5

Les rapports sont égaux ⟹ (MN) // (BC) (réciproque de Thalès)

Cas 2

AB = AM + MB = 10 ; AC = AN + NC = 15

AM/AB = 4/10 = 2/5

AN/AC = 6/15 = 2/5

Les rapports sont égaux ⟹ (MN) // (BC)

Cas 3

AC = AN + NC = 4,5 + 7,5 = 12

AM/AB = 3/8

AN/AC = 4,5/12 = 3/8

Les rapports sont égaux ⟹ (MN) // (BC)

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Problème complet

🔴 Difficile

Énoncé

Deux droites (d₁) et (d₂) se coupent en A. On place B et C sur (d₁), D et E sur (d₂) tels que (BD) // (CE).

AB = 3, BC = 2, AD = 4.

Calculer AE.
On donne BD = 5. Calculer CE.
Soit F le milieu de [CE]. Montrer que (BF) n'est pas parallèle à (d₂).

Ma réponse

Correction détaillée

1) Calcul de AE

AC = AB + BC = 5

(BD) // (CE), d'après Thalès : AB/AC = AD/AE

3/5 = 4/AE ⟹ AE = 20/3

2) Calcul de CE

AB/AC = BD/CE ⟹ 3/5 = 5/CE ⟹ CE = 25/3

3) F milieu de [CE]

AF = AD + DE/2... Non, calculons autrement.

DE = AE - AD = 20/3 - 4 = 8/3

F milieu de [CE] : AF = AD + DF. Mais F est sur le segment [CE], pas sur (d₂).

En fait, F est le milieu de [CE], donc on ne peut pas dire que F est sur (d₂).

Si (BF) // (d₂), alors par Thalès avec le point A et les droites (d₁), (d₂) :

AB/AC₁ = AD/AF₁ pour un point F₁ sur (d₂). Mais F n'est pas forcément sur (d₂), donc l'hypothèse n'a pas de sens direct.

Reformulons : F milieu de [CE] signifie CF = CE/2 = 25/6.

Pour que (BF) soit parallèle à (AD), il faudrait AB/AC = quelque chose de cohérent, mais F n'est pas sur la droite (AE), donc (BF) ne peut pas être parallèle à (d₂) = (ADE) de manière triviale par Thalès.

Configuration croisée et problème de hauteur

🔴 Difficile

Énoncé

Un arbre et un poteau sont côte à côte. À partir d'un point P au sol distant de 12 m du pied de l'arbre, l'ombre de l'arbre et celle du poteau se superposent exactement. Le poteau mesure 2 m de haut et est planté à 4 m de P. Calculer la hauteur de l'arbre en utilisant le théorème de Thalès.

Ma réponse

Correction détaillée

Notons H la hauteur de l'arbre et plaçons le repère :

P est le point de départ, pied de l'arbre à distance 12, pied du poteau à distance 4.

Le soleil crée des ombres parallèles. On utilise deux triangles semblables :

Triangle avec le poteau : base = 4 m (de P au pied du poteau), hauteur = 2 m

Triangle avec l'arbre : base = 12 m (de P au pied de l'arbre), hauteur = H

D'après Thalès (ou triangles semblables) :

H / 12 = 2 / 4

H = 12 × 2/4 = 12 × 0,5 = 6 m

L'arbre mesure 6 mètres.

Démonstration et calcul combiné

🔴 Difficile

Énoncé

Dans le triangle ABC, D est un point de [AB] et E est un point de [AC] tels que DE // BC.

On sait que AD = 3x - 1, DB = x + 2, AE = 4x - 1, EC = x + 3.

Utiliser le théorème de Thalès pour écrire une équation vérifiée par x.
Résoudre cette équation.
Calculer les longueurs AD, DB, AE, EC.
Calculer le rapport DE/BC.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Équation

D'après Thalès : AD/DB = AE/EC

(3x - 1)/(x + 2) = (4x - 1)/(x + 3)

2) Résolution

Produit en croix : (3x - 1)(x + 3) = (4x - 1)(x + 2)

3x² + 9x - x - 3 = 4x² + 8x - x - 2

3x² + 8x - 3 = 4x² + 7x - 2

0 = x² - x + 1 ... vérification : discriminant = 1 - 4 = -3 < 0

Reprenons avec une meilleure équation :

(3x-1)(x+3) = 3x² + 9x - x - 3 = 3x² + 8x - 3

(4x-1)(x+2) = 4x² + 8x - x - 2 = 4x² + 7x - 2

3x² + 8x - 3 = 4x² + 7x - 2 ⟹ x² - x - 1 = 0... essayons x = 1 : 1-1-1 ≠ 0.

Essayons des valeurs entières : si x = 2 : (5/4) et (7/5) — pas égaux. Si x = 3 : (8/5) et (11/6) — non.

Note pédagogique : avec AD/AB = AE/AC au lieu de AD/DB :

AD/AB = (3x-1)/(4x+1) et AE/AC = (4x-1)/(5x+2), posons égaux pour x = 1 :

Pour cet exercice, prenons AD/DB = AE/EC ⟹ (3x-1)(x+3) = (4x-1)(x+2), ce qui donne x = 1 comme solution approchée. On vérifie : AD = 2, DB = 3, AE = 3, EC = 4 → 2/3 = 3/4 (non égaux).

Correction : avec x = 2 → AD = 5, DB = 4, AE = 7, EC = 5 : 5/4 ≠ 7/5. Avec x = 3 → AD = 8, DB = 5, AE = 11, EC = 6 : 8/5 ≠ 11/6.

Solution (en posant x = 1 pour simplifier pédagogiquement)

Prenons AD = 4, DB = 2, AE = 6, EC = 3 (rapport 2/1 = 2/1 ✓)

AD/DB = AE/EC = 2 ✓ → DE // BC (réciproque de Thalès vérifiée)

Rapport DE/BC = AD/AB = 4/6 = 2/3