Calcul trigonométrique — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 muni d'un sens direct (sens contraire des aiguilles d'une montre).

Radian et degré

π rad = 180° ⟹ 1 rad = 180°/π ≈ 57,3°

Cosinus et sinus

Pour tout réel x, le point M du cercle trigonométrique associé à x a pour coordonnées (cos x, sin x).

cos²x + sin²x = 1

Valeurs remarquables

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2
cos x	1	√3/2	√2/2	1/2	0
sin x	0	1/2	√2/2	√3/2	1

Formules d'addition

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

Formules de duplication

cos(2a) = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a
sin(2a) = 2 sin a cos a

Angles associés

cos(π - x) = -cos x ; sin(π - x) = sin x
cos(π + x) = -cos x ; sin(π + x) = -sin x
cos(-x) = cos x ; sin(-x) = -sin x
cos(π/2 - x) = sin x ; sin(π/2 - x) = cos x

🔑 Formules clés à retenir

cos²x + sin²x = 1
cos(a±b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
sin(a±b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(2a) = 2cos²a - 1
sin(2a) = 2 sin a cos a

Calcul trigonométrique — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Valeurs exactes

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les valeurs exactes de :

cos(5π/6) et sin(5π/6)
cos(7π/4) et sin(7π/4)
cos(-π/3) et sin(-π/3)

Ma réponse

Correction détaillée

1) 5π/6 = π - π/6

cos(5π/6) = cos(π - π/6) = -cos(π/6) = -√3/2

sin(5π/6) = sin(π - π/6) = sin(π/6) = 1/2

2) 7π/4 = 2π - π/4

cos(7π/4) = cos(-π/4) = cos(π/4) = √2/2

sin(7π/4) = sin(-π/4) = -sin(π/4) = -√2/2

3) -π/3

cos(-π/3) = cos(π/3) = 1/2

sin(-π/3) = -sin(π/3) = -√3/2

Simplification par formules d'addition

🟢 Facile

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les formules d'addition :

cos(π/3 + x) + cos(π/3 − x)
sin(x + π/4) − sin(x − π/4)
cos(x + π) + cos(x − π)

Ma réponse

Correction détaillée

1) cos(π/3 + x) + cos(π/3 − x)

On développe chaque terme :

cos(π/3 + x) = cos(π/3)cos(x) − sin(π/3)sin(x) = (1/2)cos x − (√3/2)sin x

cos(π/3 − x) = cos(π/3)cos(x) + sin(π/3)sin(x) = (1/2)cos x + (√3/2)sin x

Somme = (1/2)cos x − (√3/2)sin x + (1/2)cos x + (√3/2)sin x

= 2 × (1/2)cos x = cos x

2) sin(x + π/4) − sin(x − π/4)

sin(x + π/4) = sin x cos(π/4) + cos x sin(π/4) = (√2/2)(sin x + cos x)

sin(x − π/4) = sin x cos(π/4) − cos x sin(π/4) = (√2/2)(sin x − cos x)

Différence = (√2/2)(sin x + cos x) − (√2/2)(sin x − cos x)

= (√2/2) × 2cos x = √2 cos x

3) cos(x + π) + cos(x − π)

cos(x + π) = cos x cos π − sin x sin π = −cos x − 0 = −cos x

cos(x − π) = cos x cos π + sin x sin π = −cos x + 0 = −cos x

Somme = −cos x + (−cos x) = −2cos x

🟡 Exercices Intermédiaires

2 exercices

Formules d'addition

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer cos(π/12) et sin(π/12).
Simplifier : cos(x + π/3) + cos(x - π/3).
Linéariser cos²(x) (exprimer sans puissance).

Ma réponse

Correction détaillée

1) π/12 = π/3 - π/4

cos(π/12) = cos(π/3 - π/4) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4)

= (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = √2/4 + √6/4 = (√2 + √6)/4

sin(π/12) = sin(π/3 - π/4) = sin(π/3)cos(π/4) - cos(π/3)sin(π/4)

= (√3/2)(√2/2) - (1/2)(√2/2) = √6/4 - √2/4 = (√6 - √2)/4

2) Simplification

cos(x + π/3) + cos(x - π/3)

= [cos x cos(π/3) - sin x sin(π/3)] + [cos x cos(π/3) + sin x sin(π/3)]

= 2cos x cos(π/3) = 2 × (1/2) × cos x = cos x

3) Linéarisation

cos(2x) = 2cos²x - 1 ⟹ cos²x = (1 + cos 2x)/2

Équation sin(2x) = cos(x)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans [0, 2π] l'équation :

sin(2x) = cos(x)

Indication : transformer le membre gauche à l'aide de la formule de duplication, puis factoriser.

Ma réponse

Correction détaillée

Transformation

sin(2x) = cos(x)

On applique sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) :

2 sin(x) cos(x) = cos(x)

2 sin(x) cos(x) − cos(x) = 0

cos(x) (2 sin(x) − 1) = 0

Résolution

Le produit est nul si et seulement si :

Cas 1 : cos(x) = 0

x = π/2 + kπ, k ∈ ℤ.

Dans [0, 2π] : x = π/2 et x = 3π/2.

Cas 2 : 2 sin(x) − 1 = 0, soit sin(x) = 1/2

x = π/6 + 2kπ ou x = π − π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ.

Dans [0, 2π] : x = π/6 et x = 5π/6.

Ensemble solution

S = {π/6, π/2, 5π/6, 3π/2}

Vérification

x = π/6 : sin(π/3) = √3/2 et cos(π/6) = √3/2 ✓

x = π/2 : sin(π) = 0 et cos(π/2) = 0 ✓

x = 5π/6 : sin(5π/3) = −√3/2 et cos(5π/6) = −√3/2 ✓

x = 3π/2 : sin(3π) = 0 et cos(3π/2) = 0 ✓

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Équations trigonométriques

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre dans [0, 2π[ :

2cos²x - 3cos x + 1 = 0
sin(2x) = sin(x + π/6)

Ma réponse

Correction détaillée

1) 2cos²x - 3cos x + 1 = 0

Posons t = cos x. On a 2t² - 3t + 1 = 0.

Δ = 9 - 8 = 1, t₁ = 1 et t₂ = 1/2

cos x = 1 : x = 0

cos x = 1/2 : x = π/3 ou x = 5π/3

S = {0, π/3, 5π/3}

2) sin(2x) = sin(x + π/6)

sin A = sin B ⟹ A = B + 2kπ ou A = π - B + 2kπ

Cas 1 : 2x = x + π/6 + 2kπ ⟹ x = π/6 + 2kπ

Dans [0, 2π[ : x = π/6

Cas 2 : 2x = π - (x + π/6) + 2kπ ⟹ 3x = 5π/6 + 2kπ ⟹ x = 5π/18 + 2kπ/3

Dans [0, 2π[ :

k=0 : x = 5π/18
k=1 : x = 5π/18 + 12π/18 = 17π/18
k=2 : x = 5π/18 + 24π/18 = 29π/18

S = {π/6, 5π/18, 17π/18, 29π/18}

Angles et applications

🔴 Difficile

Énoncé

1) Exprimer cos(3α) en fonction de cos(α).

2) Montrer que sin(π/8) = √(2 - √2)/2

3) Résoudre : cos(x) = sin(x) pour x ∈ [0, 2π[

4) Un triangle ABC a AB = 5, AC = 7 et ∠BAC = 60°. Calculer BC (loi des cosinus).

Ma réponse

Correction détaillée

1) cos(3α)

cos(3α) = cos(2α + α) = cos(2α)cos(α) - sin(2α)sin(α)

= (2cos²α - 1)cos(α) - 2sin(α)cos(α)sin(α)

= 2cos³(α) - cos(α) - 2sin²(α)cos(α)

= 2cos³(α) - cos(α) - 2(1-cos²(α))cos(α)

= 2cos³(α) - cos(α) - 2cos(α) + 2cos³(α)

cos(3α) = 4cos³(α) - 3cos(α)

2) sin(π/8)

sin²(π/8) = (1 - cos(π/4))/2 = (1 - √2/2)/2 = (2 - √2)/4

sin(π/8) = √[(2 - √2)/4] = √(2 - √2)/2

3) cos(x) = sin(x)

cos(x) = sin(x) ⟹ tan(x) = 1 (pour cos(x) ≠ 0)

x = π/4 + kπ pour k ∈ ℤ

Pour x ∈ [0, 2π[ : x = π/4 ou x = 5π/4

4) Loi des cosinus

BC² = AB² + AC² - 2(AB)(AC)cos(∠BAC)

BC² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(60°)

BC² = 25 + 49 - 70(1/2) = 74 - 35 = 39

BC = √39 ≈ 6,24

Linéarisation des expressions trigonométriques

🔴 Difficile

Énoncé

Linéariser (exprimer sans puissance) les expressions suivantes :

cos²(x)
sin²(x)
sin(x)cos(x)
cos²(x) sin²(x)
cos³(x)

Ma réponse

Correction détaillée

1) Linéarisation de cos²(x)

On part de la formule de duplication : cos(2x) = 2cos²(x) − 1.

On en déduit : cos²(x) = (1 + cos(2x))/2.

cos²(x) = 1/2 + cos(2x)/2

2) Linéarisation de sin²(x)

On utilise : cos(2x) = 1 − 2sin²(x), donc sin²(x) = (1 − cos(2x))/2.

sin²(x) = 1/2 − cos(2x)/2

3) Linéarisation de sin(x)cos(x)

On utilise la formule de duplication : sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Donc : sin(x)cos(x) = sin(2x)/2.

sin(x)cos(x) = sin(2x)/2

4) Linéarisation de cos²(x) sin²(x)

cos²(x) sin²(x) = [sin(x)cos(x)]² = [sin(2x)/2]² = sin²(2x)/4.

On applique la linéarisation de sin²(2x) = (1 − cos(4x))/2 :

cos²(x) sin²(x) = (1 − cos(4x))/8.

cos²(x) sin²(x) = 1/8 − cos(4x)/8

5) Linéarisation de cos³(x)

On écrit cos³(x) = cos²(x) · cos(x) = [(1 + cos(2x))/2] · cos(x).

= cos(x)/2 + cos(x)cos(2x)/2.

On développe cos(x)cos(2x) = [cos(x − 2x) + cos(x + 2x)]/2 = [cos(−x) + cos(3x)]/2 = [cos(x) + cos(3x)]/2.

Donc : cos³(x) = cos(x)/2 + [cos(x) + cos(3x)]/4

= cos(x)/2 + cos(x)/4 + cos(3x)/4

= 3cos(x)/4 + cos(3x)/4.

cos³(x) = (3cos(x) + cos(3x))/4