I. Cardinal d'un ensemble fini
Un ensemble E est fini s'il contient un nombre fini d'éléments. Ce nombre est appelé cardinal de E et noté card(E) ou |E|.
Dénombrer un ensemble, c'est déterminer son cardinal.
II. Principe additif et principe multiplicatif
Principe additif (ou des choix exclusifs) : si A et B sont deux ensembles finis disjoints (A ∩ B = ∅), alors :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B)
Cas général (A et B quelconques) :
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)
Principe multiplicatif (ou des choix successifs) : si une situation se décompose en k étapes successives offrant respectivement n₁, n₂, …, nk possibilités, alors le nombre total de résultats est :
n₁ × n₂ × … × nk
Exemple : pour former un code à 4 chiffres (chaque chiffre de 0 à 9, avec répétition autorisée), on a 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 codes.
III. Factorielle
Pour tout entier n ≥ 1, on appelle factorielle de n, noté n!, le produit :
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1
Par convention : 0! = 1.
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5 040.
Relation utile : n! = n × (n−1)!
IV. Permutations
Une permutation d'un ensemble E à n éléments est un arrangement ordonné de tous ses éléments (chaque élément apparaît une fois).
Le nombre de permutations de n éléments est :
n!
Nombre de façons d'ordonner 5 livres sur une étagère : 5! = 120.
V. Arrangements
Soit E un ensemble à n éléments et p un entier avec 0 ≤ p ≤ n. Un arrangement de p éléments de E est une suite ordonnée de p éléments distincts choisis parmi les n.
Le nombre d'arrangements de p éléments parmi n est :
Anp = n × (n−1) × (n−2) × … × (n−p+1) = n!/(n−p)!
Cas particuliers : An⁰ = 1, An¹ = n, Ann = n!
Quand utiliser un arrangement ?
- On choisit p éléments parmi n.
- L'ordre compte (≠ combinaisons).
- Sans répétition (≠ p-listes).
Exemple : nombre de podiums (or, argent, bronze) parmi 10 coureurs = A₁₀³ = 10·9·8 = 720.
VI. Combinaisons
Soit E un ensemble à n éléments et p un entier avec 0 ≤ p ≤ n. Une combinaison de p éléments de E est une partie (sous-ensemble) de E à p éléments — sans ordre, sans répétition.
Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est :
Cnp = (n choisir p) = n! / (p! · (n−p)!) = Anp / p!
Propriétés des Cnp :
- Cn⁰ = Cnn = 1 ; Cn¹ = Cnn−1 = n.
- Symétrie : Cnp = Cnn−p.
- Relation de Pascal : Cnp + Cnp+1 = Cn+1p+1.
- Somme : ∑p=0n Cnp = 2ⁿ (nombre de parties d'un ensemble à n éléments).
Quand utiliser une combinaison ?
- On choisit p éléments parmi n.
- L'ordre ne compte pas (choix simultané, équipe, comité, mains de cartes).
- Sans répétition.
Exemple : nombre d'équipes de 3 joueurs parmi 10 = C₁₀³ = 120.
VII. Formule du binôme de Newton
Pour tout entier n ≥ 0 et tous réels a, b :
(a + b)ⁿ = ∑p=0n Cnp · an−p · bp
Exemples : (a+b)² = a² + 2ab + b² ; (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
VIII. Récapitulatif — choisir p parmi n
| Type | Ordre | Répétition | Nombre |
|---|---|---|---|
| p-liste (tirage avec remise) | oui | oui | np |
| Arrangement | oui | non | Anp |
| Permutation (p = n) | oui | non | n! |
| Combinaison | non | non | Cnp |