Ensembles de nombres — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Les ensembles de nombres

ℕ – Nombres naturels : {0, 1, 2, 3, ...}

ℤ – Nombres entiers relatifs : {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

ℚ – Nombres rationnels : Ensemble des nombres de la forme p/q avec p ∈ ℤ et q ∈ ℤ* (q ≠ 0).

ℝ – Nombres réels : Ensemble de tous les nombres (rationnels et irrationnels).

Inclusions

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Intervalles de ℝ

[a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} (fermé)
]a, b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b} (ouvert)
[a, b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} (semi-ouvert)
]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a}
]-∞, b] = {x ∈ ℝ | x ≤ b}

Valeur absolue

|x| = x si x ≥ 0, |x| = -x si x < 0

Propriétés :

|x| ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
|x| = 0 ⟺ x = 0
|x × y| = |x| × |y|
|x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire)
|x| ≤ a ⟺ -a ≤ x ≤ a (a > 0)
|x| ≥ a ⟺ x ≤ -a ou x ≥ a (a > 0)

Partie entière

La partie entière de x, notée E(x) ou [x], est le plus grand entier n tel que n ≤ x < n+1.

🔑 Formules clés à retenir

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
|x| ≤ a ⟺ -a ≤ x ≤ a
|x + y| ≤ |x| + |y|
E(x) ≤ x < E(x) + 1

Ensembles de nombres — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Appartenance aux ensembles

🟢 Facile

Énoncé

Compléter par ∈ ou ∉ :

3 ... ℕ
-5 ... ℕ
2/3 ... ℤ
√2 ... ℚ
-7/4 ... ℚ
π ... ℝ

Ma réponse

Correction détaillée

3 ∈ ℕ (nombre naturel)
-5 ∉ ℕ (négatif, donc -5 ∈ ℤ mais -5 ∉ ℕ)
2/3 ∉ ℤ (ce n'est pas un entier, mais 2/3 ∈ ℚ)
√2 ∉ ℚ (√2 est irrationnel)
-7/4 ∈ ℚ (c'est une fraction d'entiers)
π ∈ ℝ (π est un réel irrationnel)

Intervalles et opérations

🟢 Facile

Énoncé

Soient A = [-3, 5] et B = [1, 8[.

Déterminer A ∩ B
Déterminer A ∪ B
Déterminer A \ B

Ma réponse

Correction détaillée

A ∩ B = [1, 5] (éléments communs aux deux intervalles)
A ∪ B = [-3, 8[ (tous les éléments de A ou B)
A \ B = [-3, 1[ (éléments de A qui ne sont pas dans B)

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Valeur absolue - équations

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

|2x - 3| = 5
|x + 1| = |3x - 2|

Ma réponse

Correction détaillée

1) |2x - 3| = 5

2x - 3 = 5 ou 2x - 3 = -5

x = 4 ou x = -1

S = {-1, 4}

2) |x + 1| = |3x - 2|

Deux cas : x + 1 = 3x - 2 ou x + 1 = -(3x - 2)

Cas 1 : x + 1 = 3x - 2 ⟹ 3 = 2x ⟹ x = 3/2

Cas 2 : x + 1 = -3x + 2 ⟹ 4x = 1 ⟹ x = 1/4

S = {1/4, 3/2}

Valeur absolue - inéquations

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

|x - 2| < 3
|2x + 1| ≥ 4

Ma réponse

Correction détaillée

1) |x - 2| < 3

-3 < x - 2 < 3

-1 < x < 5

S = ]-1, 5[

2) |2x + 1| ≥ 4

2x + 1 ≤ -4 ou 2x + 1 ≥ 4

x ≤ -5/2 ou x ≥ 3/2

S = ]-∞, -5/2] ∪ [3/2, +∞[

Inéquation avec valeur absolue |x − a| < b

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite numérique :

|x − 3| < 2
|2x + 1| ≤ 5
|x − 4| < |x + 2|

Ma réponse

Correction détaillée

1) |x − 3| < 2

On applique la définition : |u| < b ⟺ −b < u < b (avec b > 0).

−2 < x − 3 < 2

On ajoute 3 à chaque membre : 1 < x < 5

S = ]1, 5[

Interprétation : tous les réels x dont la distance à 3 est strictement inférieure à 2.

2) |2x + 1| ≤ 5

−5 ≤ 2x + 1 ≤ 5

On soustrait 1 : −6 ≤ 2x ≤ 4

On divise par 2 : −3 ≤ x ≤ 2

S = [−3, 2]

3) |x − 4| < |x + 2|

On élève au carré (les deux membres sont positifs) :

(x − 4)² < (x + 2)²

x² − 8x + 16 < x² + 4x + 4

−8x + 16 < 4x + 4

12 < 12x

x > 1

S = ]1, +∞[

Interprétation géométrique : x est plus proche de 4 que de −2 ⟺ x est à droite du milieu de [−2, 4], qui est 1.

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Partie entière et encadrement

🔴 Difficile

Énoncé

Déterminer E(3,7), E(-2,3), E(5), E(-π).
Montrer que pour tout n ∈ ℤ : E(x + n) = E(x) + n.
Encadrer x sachant que E(x) = 4, puis en déduire un encadrement de 2x + 1.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Valeurs

E(3,7) = 3 (car 3 ≤ 3,7 < 4)
E(-2,3) = -3 (car -3 ≤ -2,3 < -2)
E(5) = 5
E(-π) = E(-3,14...) = -4 (car -4 ≤ -3,14... < -3)

2) Démonstration

Posons E(x) = p, donc p ≤ x < p+1.

Ajoutons n : p + n ≤ x + n < p + n + 1.

Comme p + n ∈ ℤ, par définition E(x+n) = p + n = E(x) + n. ∎

3) Encadrement

E(x) = 4 ⟹ 4 ≤ x < 5

Multiplions par 2 : 8 ≤ 2x < 10

Ajoutons 1 : 9 ≤ 2x + 1 < 11

Densité de ℚ dans ℝ et borne supérieure

🔴 Difficile

Énoncé

Soit A = {x ∈ ℝ | x² < 3}. Déterminer sup(A) et inf(A), et préciser si ces bornes appartiennent à A.
Montrer que √2 est irrationnel (raisonnement par l'absurde).
On admet que ℚ est dense dans ℝ. Trouver un rationnel et un irrationnel dans l'intervalle ]√2, √3[.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Borne supérieure et inférieure de A

A = {x ∈ ℝ | x² < 3} = {x ∈ ℝ | −√3 < x < √3} = ]−√3, √3[

sup(A) = √3 : √3 est majorant de A (x < √3 pour tout x ∈ A), et tout réel strictement inférieur à √3 n'est pas majorant (on peut trouver un x ∈ A plus grand).

inf(A) = −√3 : de même raisonnement par symétrie.

√3 ∉ A car (√3)² = 3 n'est pas strictement inférieur à 3. De même −√3 ∉ A.

Les bornes existent mais n'appartiennent pas à A : A est un intervalle ouvert.

2) Irrationalité de √2

Supposons par l'absurde que √2 ∈ ℚ.

Alors il existe p ∈ ℤ et q ∈ ℤ* tels que √2 = p/q avec pgcd(p, q) = 1 (fraction irréductible).

En élevant au carré : 2 = p²/q², donc p² = 2q².

Ainsi p² est pair, donc p est pair (si p était impair, p² serait impair).

Posons p = 2k. Alors (2k)² = 2q², soit 4k² = 2q², soit q² = 2k².

Donc q² est pair, donc q est pair.

On a montré que p et q sont tous les deux pairs, ce qui contredit pgcd(p, q) = 1.

Contradiction ⟹ √2 ∉ ℚ ∎

3) Rationnels et irrationnels dans ]√2, √3[

√2 ≈ 1,4142... et √3 ≈ 1,7320...

Un rationnel : 1,5 = 3/2 ∈ ℚ et 1,4142 < 1,5 < 1,7320, donc 3/2 ∈ ]√2, √3[ ✓

Un irrationnel : √2,5 = √(5/2) = √10/2. On a 2 < 2,5 < 3 donc √2 < √2,5 < √3 ✓ et √2,5 ∉ ℚ car 2,5 n'est pas un carré parfait de rationnel.