Équations et inéquations — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Équations du premier degré

ax + b = 0 ⟹ x = -b/a (si a ≠ 0)

Équations du second degré

Voir chapitre Polynômes pour le discriminant.

Inéquations du premier degré

ax + b > 0 : si a > 0 alors x > -b/a ; si a < 0 alors x < -b/a

Inéquations du second degré

Pour résoudre ax² + bx + c > 0 (ou <, ≤, ≥) :
1. Calculer Δ
2. Trouver les racines (si elles existent)
3. Étudier le signe selon le tableau de signes

Signe de ax² + bx + c

Si Δ < 0 : même signe que a pour tout x
Si Δ = 0 : même signe que a sauf en x₀ où il vaut 0
Si Δ > 0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre les racines

Systèmes d'équations linéaires

Système : ax + by = e et cx + dy = f
Méthodes : substitution, combinaison, Cramer (si ad - bc ≠ 0)

🔑 Formules clés à retenir

Méthode de Cramer : x = (ed - bf)/(ad - bc), y = (af - ce)/(ad - bc)
Signe de ax² + bx + c : signe de a à l'extérieur des racines

Équations et inéquations — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Systèmes linéaires

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre les systèmes suivants :

2x + y = 7 et x - y = 2
3x + 2y = 12 et x - y = 1

Ma réponse

Correction détaillée

1) 2x + y = 7 et x - y = 2

Par addition : 3x = 9 ⟹ x = 3

x - y = 2 ⟹ y = 1

S = {(3, 1)}

2) 3x + 2y = 12 et x - y = 1

De la 2ème : x = y + 1. Substitution dans la 1ère :

3(y+1) + 2y = 12 ⟹ 5y + 3 = 12 ⟹ y = 9/5

x = 9/5 + 1 = 14/5

S = {(14/5, 9/5)}

Équation avec valeur absolue : deux cas

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ les équations suivantes en distinguant les cas :

|2x − 3| = x + 1
|x + 5| = 2x − 1

Ma réponse

Correction détaillée

1) |2x − 3| = x + 1

Condition préliminaire : le membre droit doit être ≥ 0, donc x + 1 ≥ 0, soit x ≥ −1.

Cas 1 : 2x − 3 ≥ 0 (x ≥ 3/2)

|2x − 3| = 2x − 3, donc : 2x − 3 = x + 1 ⟹ x = 4.

4 ≥ 3/2 ✓ et 4 ≥ −1 ✓ : x = 4 est solution.

Cas 2 : 2x − 3 < 0 (x < 3/2)

|2x − 3| = −(2x − 3) = 3 − 2x, donc : 3 − 2x = x + 1 ⟹ 2 = 3x ⟹ x = 2/3.

2/3 < 3/2 ✓ et 2/3 ≥ −1 ✓ : x = 2/3 est solution.

S = {2/3, 4}

Vérification : |2(4)−3| = |5| = 5 = 4+1 ✓ ; |2(2/3)−3| = |4/3−9/3| = 5/3 = 2/3+1 = 5/3 ✓

2) |x + 5| = 2x − 1

Condition préliminaire : 2x − 1 ≥ 0, soit x ≥ 1/2.

Cas 1 : x + 5 ≥ 0 (x ≥ −5)

x + 5 = 2x − 1 ⟹ 6 = x.

6 ≥ 1/2 ✓ : x = 6 est solution.

Cas 2 : x + 5 < 0 (x < −5)

−(x + 5) = 2x − 1 ⟹ −x − 5 = 2x − 1 ⟹ −4 = 3x ⟹ x = −4/3.

−4/3 ≥ −5 mais −4/3 < 1/2 : condition préliminaire non satisfaite. Rejeté.

S = {6}

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Inéquations du second degré

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

x² - 3x - 4 ≤ 0
-x² + 2x + 3 > 0
2x² - x + 1 > 0

Ma réponse

Correction détaillée

1) x² - 3x - 4 ≤ 0

Δ = 9 + 16 = 25, racines : x = -1 et x = 4

a = 1 > 0, donc négatif entre les racines : S = [-1, 4]

2) -x² + 2x + 3 > 0

Δ = 4 + 12 = 16, racines : x = (2-4)/(-2) = 1... recalculons.

-x² + 2x + 3 = 0 ⟹ x² - 2x - 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16, racines : x = -1 et x = 3

a = -1 < 0, donc positif entre les racines : S = ]-1, 3[

3) 2x² - x + 1 > 0

Δ = 1 - 8 = -7 < 0

a = 2 > 0 et Δ < 0, donc 2x² - x + 1 > 0 pour tout x ∈ ℝ

S = ℝ

Problèmes et applications

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Un rectangle a un périmètre de 26 cm et une aire de 40 cm². Déterminer ses dimensions.

2) Deux nombres consécutifs ont un produit de 156. Les trouver.

3) Un projectile est lancé verticalement. Sa hauteur (en mètres) à l'instant t (en secondes) est h(t) = -5t² + 20t + 2. À quel instant revient-il au sol (h = 0) ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Dimensions du rectangle

Soit l et L la longueur et largeur.

Périmètre : 2(l + L) = 26 ⟹ l + L = 13

Aire : l × L = 40

Donc l et L sont solutions de : X² - 13X + 40 = 0

Δ = 169 - 160 = 9, √Δ = 3

X = (13 ± 3)/2, donc X₁ = 8, X₂ = 5

Les dimensions sont 8 cm × 5 cm

2) Deux nombres consécutifs

Soit n et n+1 les deux nombres.

n(n+1) = 156 ⟹ n² + n - 156 = 0

Δ = 1 + 624 = 625, √Δ = 25

n = (-1 ± 25)/2, donc n₁ = 12, n₂ = -13

Solutions : 12 et 13, ou -13 et -12

3) Instant où h = 0

-5t² + 20t + 2 = 0 ⟹ 5t² - 20t - 2 = 0

Δ = 400 + 40 = 440, √Δ = 2√110

t = (20 ± 2√110)/10 = 2 ± (√110)/5

√110 ≈ 10,49, donc (√110)/5 ≈ 2,10

t₁ ≈ -0,10 (négatif, rejeté), t₂ ≈ 4,10

Le projectile revient au sol après environ 4,10 secondes

Inéquation produit et tableau de signes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes à l'aide d'un tableau de signes :

(x − 1)(x + 3) > 0
(2x + 1)(x − 4) ≤ 0
(x − 2)(x + 1)(3 − x) > 0

Ma réponse

Correction détaillée

1) (x − 1)(x + 3) > 0

Racines : x = 1 (de x − 1) et x = −3 (de x + 3).

x	−∞	−3		1		+∞
x + 3	−	0	+	+		+
x − 1	−	−		0	+	+
Produit	+	0	−	0	+	+

S = ]−∞, −3[ ∪ ]1, +∞[

2) (2x + 1)(x − 4) ≤ 0

Racines : 2x + 1 = 0 ⟹ x = −1/2 et x − 4 = 0 ⟹ x = 4.

Le produit est ≤ 0 entre les deux racines (signe − au milieu) :

S = [−1/2, 4]

3) (x − 2)(x + 1)(3 − x) > 0

Racines : x = 2, x = −1, x = 3.

Ordre sur l'axe : −1 < 2 < 3.

x	−∞	−1		2		3		+∞
x + 1	−	0	+	+		+		+
x − 2	−	−		0	+	+		+
3 − x	+	+		+		0	−	−
Produit	−	0	+	0	−	0	+	−

S = ]−1, 2[ ∪ ]3, +∞[

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Équations avec radicaux

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

√(x + 3) = x - 3
√(2x + 1) + √(x - 1) = 3

Ma réponse

Correction détaillée

1) √(x + 3) = x - 3

Conditions : x + 3 ≥ 0 (x ≥ -3) et x - 3 ≥ 0 (x ≥ 3)

Domaine : x ≥ 3

Élevons au carré : x + 3 = (x-3)² = x² - 6x + 9

x² - 7x + 6 = 0, Δ = 49 - 24 = 25

x = 1 ou x = 6

Vérification : x = 1 < 3 → rejeté. x = 6 : √9 = 3 = 6-3 ✓

S = {6}

2) √(2x+1) + √(x-1) = 3

Conditions : 2x+1 ≥ 0 et x-1 ≥ 0, donc x ≥ 1

Posons √(2x+1) = 3 - √(x-1). Élevons au carré :

2x + 1 = 9 - 6√(x-1) + (x-1)

2x + 1 = x + 8 - 6√(x-1)

x - 7 = -6√(x-1)

6√(x-1) = 7 - x (nécessite 7-x ≥ 0, donc x ≤ 7)

36(x-1) = (7-x)² = 49 - 14x + x²

36x - 36 = x² - 14x + 49

x² - 50x + 85 = 0

Δ = 2500 - 340 = 2160, √Δ = 6√60 = 12√15

x = (50 ± 12√15)/2 = 25 ± 6√15

6√15 ≈ 23,24, donc x₁ ≈ 1,76 et x₂ ≈ 48,24

x₂ > 7 → rejeté. Vérifions x₁ ≈ 1,76 : √(4,52) + √(0,76) ≈ 2,13 + 0,87 = 3 ✓

S = {25 - 6√15}

Système à 3 inconnues — méthode de Gauss

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre le système suivant par la méthode d'élimination de Gauss :

(S) : x + y + z = 6
2x − y + z = 3
x + 2y − z = 4

Ma réponse

Correction détaillée

Étape 1 : Écriture du système

L₁ : x + y + z = 6

L₂ : 2x − y + z = 3

L₃ : x + 2y − z = 4

Étape 2 : Élimination de x dans L₂ et L₃

L₂ ← L₂ − 2L₁ : (2x − y + z) − 2(x + y + z) = 3 − 12

⟹ −3y − z = −9, soit L₂' : 3y + z = 9

L₃ ← L₃ − L₁ : (x + 2y − z) − (x + y + z) = 4 − 6

⟹ y − 2z = −2, soit L₃' : y − 2z = −2

Étape 3 : Élimination de y dans L₃'

On a le sous-système :

L₂' : 3y + z = 9

L₃' : y − 2z = −2

L₂'' ← L₂' − 3L₃' : (3y + z) − 3(y − 2z) = 9 − 3(−2)

⟹ 3y + z − 3y + 6z = 9 + 6

⟹ 7z = 15, donc z = 15/7

Étape 4 : Remontée

De L₃' : y = −2 + 2z = −2 + 30/7 = −14/7 + 30/7 = 16/7

De L₁ : x = 6 − y − z = 6 − 16/7 − 15/7 = 42/7 − 31/7 = 11/7

Vérification dans L₂

2(11/7) − (16/7) + (15/7) = 22/7 − 16/7 + 15/7 = 21/7 = 3 ✓

S = {(11/7, 16/7, 15/7)}