I. Axiomes et notions de base
L'espace est constitué de points, droites et plans. On admet :
- Par deux points distincts passe une unique droite.
- Par trois points non alignés passe un unique plan.
- Si deux points distincts d'une droite (D) appartiennent à un plan (P), alors toute la droite est incluse dans (P) : (D) ⊂ (P).
- Dans tout plan de l'espace, la géométrie plane s'applique.
II. Détermination d'un plan
Un plan est déterminé de façon unique par l'une des données suivantes :
- Trois points non alignés A, B, C — plan noté (ABC).
- Une droite (D) et un point M ∉ (D).
- Deux droites sécantes (D) ∩ (D') = {M}.
- Deux droites strictement parallèles.
III. Positions relatives de deux droites
Deux droites (D) et (D') de l'espace sont, de façon exclusive :
- Coplanaires (incluses dans un même plan) :
- Sécantes : (D) ∩ (D') = {un point}.
- Parallèles strictes : (D) ∥ (D'), (D) ≠ (D'), (D) ∩ (D') = ∅.
- Confondues : (D) = (D').
- Non coplanaires (pas de plan commun) : (D) ∩ (D') = ∅ mais non parallèles.
IV. Positions relatives d'une droite et d'un plan
Une droite (D) et un plan (P) sont, de façon exclusive :
- (D) ⊂ (P) : la droite est contenue dans le plan.
- (D) ∩ (P) = {un point} : la droite est sécante au plan.
- (D) ∥ (P) : (D) ∩ (P) = ∅.
Critère de parallélisme droite-plan : une droite (D) est parallèle à un plan (P) ssi (D) est parallèle à au moins une droite contenue dans (P).
V. Positions relatives de deux plans
Deux plans (P) et (P') sont, de façon exclusive :
- Parallèles : (P) ∩ (P') = ∅ (parallèles stricts) ou (P) = (P') (confondus).
- Sécants : (P) ∩ (P') est une droite.
Critères de parallélisme de deux plans :
- (P) ∥ (P') ssi (P) contient deux droites sécantes parallèles à (P').
- Si (P) ∥ (P') et si un plan (Q) coupe (P) en (D), alors (Q) coupe (P') en (D') avec (D) ∥ (D').
VI. Théorème du toit
Soient (P) et (P') deux plans sécants suivant une droite (Δ). Si (D) ⊂ (P) et (D') ⊂ (P') sont deux droites parallèles, alors (D), (D') et (Δ) sont parallèles entre elles.
VII. Orthogonalité dans l'espace
Deux droites (D) et (D') sont dites orthogonales si leurs parallèles passant par un même point sont perpendiculaires. (Attention : contrairement au plan, deux droites orthogonales dans l'espace ne sont pas nécessairement sécantes.)
Une droite (D) est perpendiculaire à un plan (P) ssi elle est orthogonale à toute droite de (P).
Critère : (D) ⊥ (P) ssi (D) est orthogonale à deux droites sécantes de (P).
Si (D) ⊥ (P) et (D') ∥ (D), alors (D') ⊥ (P). Si (D) ⊥ (P) et (P) ∥ (P'), alors (D) ⊥ (P').
VIII. Solides usuels — aires et volumes
| Solide | Volume | Aire totale |
|---|---|---|
| Cube (arête a) | a³ | 6a² |
| Pavé droit (L, l, h) | L·l·h | 2(Ll + Lh + lh) |
| Prisme droit | B × h | 2B + P·h |
| Pyramide | (1/3)·B·h | B + Alatérale |
| Cylindre droit (R, h) | πR²h | 2πR² + 2πRh |
| Cône droit (R, h) | (1/3)πR²h | πR² + πR·ℓ (ℓ = génératrice) |
| Sphère (R) | (4/3)πR³ | 4πR² |
B = aire de la base, P = périmètre de la base.