Ordre dans ℝ — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Relation d'ordre dans ℝ

La relation ≤ dans ℝ est une relation d'ordre total : pour tous a, b ∈ ℝ, on a a ≤ b ou b ≤ a.

Propriétés de l'ordre

Si a ≤ b et c ∈ ℝ, alors a + c ≤ b + c
Si a ≤ b et c > 0, alors a×c ≤ b×c
Si a ≤ b et c < 0, alors a×c ≥ b×c (changement de sens)
Si 0 < a ≤ b, alors 1/b ≤ 1/a
Si a ≤ b < 0, alors 1/b ≤ 1/a

Majorant, minorant, bornes

Majorant : M est un majorant de A si pour tout x ∈ A, x ≤ M.
Minorant : m est un minorant de A si pour tout x ∈ A, m ≤ x.
Borne supérieure (sup A) : Le plus petit des majorants.
Borne inférieure (inf A) : Le plus grand des minorants.

Encadrement et approximation

Si a ≤ x ≤ b et a ≤ y ≤ b', alors :
a + a' ≤ x + y ≤ b + b'

Pour le produit, il faut étudier les signes.

🔑 Formules clés à retenir

a ≤ b et c < 0 ⟹ ac ≥ bc
0 < a ≤ b ⟹ a² ≤ b²
0 < a ≤ b ⟹ √a ≤ √b

Ordre dans ℝ — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Comparaison de nombres

🟢 Facile

Énoncé

Comparer les nombres suivants :

√7 et 2√2
3 + √5 et 2 + √10

Ma réponse

Correction détaillée

1) √7 et 2√2

(√7)² = 7 et (2√2)² = 8

Comme 7 < 8 et les deux nombres sont positifs : √7 < 2√2

2) 3 + √5 et 2 + √10

Comparons (3+√5) - (2+√10) = 1 + √5 - √10

(√5)² = 5 et (√10)² = 10, donc √5 < √10, donc √10 - √5 > 0

Comparons 1 et √10 - √5 : (√10 - √5)² = 15 - 2√50 ≈ 15 - 14,14 ≈ 0,86

Donc √10 - √5 ≈ 0,93 < 1, donc 1 + √5 - √10 > 0

Ainsi 3 + √5 > 2 + √10

Inéquations avec valeur absolue : cas avancés

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

|3x − 6| > 9
|x + 4| ≤ 2x − 1

Ma réponse

Correction détaillée

1) |3x − 6| > 9

|u| > b ⟺ u < −b ou u > b (avec b > 0).

3x − 6 < −9 ou 3x − 6 > 9

Cas 1 : 3x < −3, donc x < −1

Cas 2 : 3x > 15, donc x > 5

S = ]−∞, −1[ ∪ ]5, +∞[

2) |x + 4| ≤ 2x − 1

Pour que l'inéquation ait un sens, il faut d'abord que le membre droit soit positif : 2x − 1 ≥ 0, soit x ≥ 1/2.

La condition |x + 4| ≤ 2x − 1 se décompose en deux cas selon le signe de x + 4.

Cas 1 : x ≥ −4, alors |x + 4| = x + 4.

x + 4 ≤ 2x − 1 ⟹ 5 ≤ x, donc x ≥ 5.

Avec la contrainte x ≥ 1/2 : solutions x ≥ 5.

Cas 2 : x < −4, alors |x + 4| = −(x + 4) = −x − 4.

−x − 4 ≤ 2x − 1 ⟹ −3 ≤ 3x ⟹ x ≥ −1.

Contradiction avec x < −4 : aucune solution dans ce cas.

S = [5, +∞[

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Inéquations avec valeur absolue

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Résoudre et représenter sur une droite :

3x - 1 ≤ 2x + 5
(x - 2)(x + 3) > 0
(2x - 1)/(x + 2) ≤ 0

Ma réponse

Correction détaillée

1) 3x - 1 ≤ 2x + 5

3x - 2x ≤ 5 + 1 ⟹ x ≤ 6

S = ]-∞, 6]

2) (x - 2)(x + 3) > 0

Racines : x = 2 et x = -3

Tableau de signes : positif sur ]-∞, -3[ ∪ ]2, +∞[

S = ]-∞, -3[ ∪ ]2, +∞[

3) (2x - 1)/(x + 2) ≤ 0

Valeurs critiques : x = 1/2 (numérateur) et x = -2 (dénominateur, exclu)

Tableau de signes :

x < -2 : (+)/(−) = − ≤ 0 ✓
-2 < x < 1/2 : (−)/(+) = − ≤ 0 ✓
x > 1/2 : (+)/(+) = + > 0 ✗

S = ]-∞, -2[ ∪ [-2... non, -2 exclu] = ]-∞, -2[ ∪ ]-2, 1/2]

Encadrements et enchaînement

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Si 2 < x < 3 et 1 < y < 2, encadrer :

x + y
x - y
x × y
x²

2) Résoudre l'inégalité : |x - 3| ≤ 2

3) Montrer que si 0 < a < b, alors a < √(ab) < (a+b)/2 < b

Ma réponse

Correction détaillée

1) Encadrements

x + y : 2 < x < 3 et 1 < y < 2 ⟹ 3 < x + y < 5

x - y : 2 < x < 3 et 1 < y < 2 ⟹ -2 < x - y < 2

Plus précis : 2 < x < 3 et 1 < y < 2 ⟹ x - 2 < x - y < x - 1

0 < x - 2 < 1 et 1 < x - 1 < 2, donc 0 < x - y < 2

x × y : 2 < x < 3 et 1 < y < 2 ⟹ 2×1 < xy < 3×2, soit 2 < xy < 6

x² : 2 < x < 3 ⟹ 4 < x² < 9

2) Résolution |x - 3| ≤ 2

|x - 3| ≤ 2 ⟺ -2 ≤ x - 3 ≤ 2

⟺ 1 ≤ x ≤ 5

S = [1, 5]

3) Démonstration

Soit 0 < a < b.

(√b - √a)² > 0 ⟹ b - 2√(ab) + a > 0 ⟹ a + b > 2√(ab) ⟹ (a+b)/2 > √(ab)

√(ab) - √a² = √a(√b - √a) > 0, donc √(ab) > a

√b² - √(ab) = √b(√b - √a) > 0, donc b > √(ab)

Donc : a < √(ab) < (a+b)/2 < b ✓

Encadrements de racines carrées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Encadrer √7 entre deux entiers consécutifs, puis trouver une valeur approchée à 0,1 près.
On sait que 1 ≤ x ≤ 4. Encadrer √x, puis 2√x − 1.
Comparer √5 + √3 et √(5 + 3) = √8. Lequel est le plus grand ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Encadrement de √7

On cherche n ∈ ℕ tel que n² ≤ 7 < (n+1)².

2² = 4 ≤ 7 < 9 = 3², donc 2 < √7 < 3.

Pour l'approximation à 0,1 : on teste 2,6² = 6,76 et 2,7² = 7,29.

Comme 6,76 ≤ 7 < 7,29, on a 2,6 < √7 < 2,7.

√7 ≈ 2,6 à 0,1 près par défaut.

2) Encadrement de √x et 2√x − 1

1 ≤ x ≤ 4. La fonction racine carrée est croissante, donc :

√1 ≤ √x ≤ √4, soit 1 ≤ √x ≤ 2.

On multiplie par 2 : 2 ≤ 2√x ≤ 4.

On soustrait 1 : 1 ≤ 2√x − 1 ≤ 3.

3) Comparer √5 + √3 et √8

On étudie le signe de (√5 + √3) − √8.

On élève au carré les deux membres (tous les deux positifs) :

(√5 + √3)² = 5 + 2√15 + 3 = 8 + 2√15

(√8)² = 8

Comme 2√15 > 0, on a (√5 + √3)² > (√8)² = 8.

Les deux expressions étant positives, on conclut : √5 + √3 > √8.

En général, pour a, b > 0 : √a + √b > √(a + b). C'est une conséquence de la concavité de la racine carrée.

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Encadrements et opérations

🔴 Difficile

Énoncé

On sait que 2 ≤ x ≤ 5 et -3 ≤ y ≤ -1.

Encadrer x + y, x - y, et 2x - 3y.
Encadrer xy.
Encadrer x/y.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Somme et différence

x + y : 2 + (-3) ≤ x + y ≤ 5 + (-1) ⟹ -1 ≤ x + y ≤ 4

x - y : On a 1 ≤ -y ≤ 3, donc 2 + 1 ≤ x - y ≤ 5 + 3 ⟹ 3 ≤ x - y ≤ 8

2x - 3y : 4 ≤ 2x ≤ 10 et 3 ≤ -3y ≤ 9, donc 7 ≤ 2x - 3y ≤ 19

2) Produit xy

x > 0 et y < 0, donc xy < 0.

Candidats : 2×(-3)=-6, 2×(-1)=-2, 5×(-3)=-15, 5×(-1)=-5

Min = -15, Max = -2, donc -15 ≤ xy ≤ -2

3) Quotient x/y

y < 0, donc -1 ≤ 1/y ≤ -1/3 (inversion d'inégalité avec négatifs)

Attention : 1/(-3) ≤ 1/y ≤ 1/(-1), soit -1/3 ≤ 1/y ≤ -1... non.

Correction : -3 ≤ y ≤ -1 et y < 0, donc 1/(-1) ≤ 1/y ≤ 1/(-3), soit -1 ≤ 1/y ≤ -1/3

Candidats pour x/y : 2/(-3), 2/(-1), 5/(-3), 5/(-1) = -2/3, -2, -5/3, -5

Donc -5 ≤ x/y ≤ -2/3

Inéquation mixte : valeur absolue et produit

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre dans ℝ l'inéquation :

|2x − 1| ≤ 3x

Donner l'ensemble solution sous forme d'intervalle.

Ma réponse

Correction détaillée

Analyse préliminaire

Pour que |2x − 1| ≤ 3x soit possible, le membre droit doit être ≥ 0, donc x ≥ 0.

On distingue deux cas selon le signe de 2x − 1.

Cas 1 : 2x − 1 ≥ 0, soit x ≥ 1/2

|2x − 1| = 2x − 1, donc l'inéquation devient :

2x − 1 ≤ 3x

−1 ≤ x, soit x ≥ −1.

En intersectant avec x ≥ 1/2 : x ≥ 1/2.

Cas 2 : 2x − 1 < 0, soit 0 ≤ x < 1/2

(on garde x ≥ 0 de l'analyse préliminaire)

|2x − 1| = −(2x − 1) = 1 − 2x, donc l'inéquation devient :

1 − 2x ≤ 3x

1 ≤ 5x

x ≥ 1/5.

En intersectant avec 0 ≤ x < 1/2 : 1/5 ≤ x < 1/2.

Réunion des deux cas

S = [1/5, 1/2[ ∪ [1/2, +∞[ = [1/5, +∞[

Vérification : x = 0 ∈ S ? |−1| = 1 ≤ 0 ? Non ✓ (0 ∉ S).

x = 1 ∈ S ? |1| = 1 ≤ 3 ? Oui ✓.

x = 1/5 ∈ S ? |2/5 − 1| = 3/5 ≤ 3/5 ? Oui ✓.